matem-up1

Решение. Используя свойства 3), 5), 6), получим:

ar + 2br = (ar + 2br) (ar + 2br)=

= ar ar + ar (2br)+ (2br) ar + (2br) (2br)= ar ar + 4ar br + 4br br =

Научимся вычислять скалярное произведение векторов,

заданных своими координатами. Пусть

ar = ax ir + ay rj + az kr, br = bx ir + by rj + bz kr .

Используя свойства 5), 6), найдём: ar br = (ax ir + ay rj + az kr) (bx ir + by rj + bz kr)=

= axbx i ir + axb y ir j + axbz iv kv + aybx vj iv + ayby vj vj +

109

+aybz j kr + az bx kr ir + az by kr rj + az bz kr kr . Так как i ir = rj rj = kr kr = 1, ir rj = ir kr = rj kr = 0 , то, учиты

вая свойство 1), окончательно получаем важную формулу:

ar b = axbx + ayby + azbz .

Отметим, что угол между векторами a и b можно опреде лить из равенства:

110

жения, двигаясь прямолинейно, перемещается из начала коор

динат О в точку В(2, 1, 3).

Решение. Равнодействующая сила

uur

Вектор перемещения OB = (2, 1, 3).

r uuur

Работа A = F OB = 6 + 0 + 3 = 9 .

6. Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов a и b называ

ется новый вектор, обозначаемый ar× b , такой, что:

векторами a и b ;

2)ar× b перпендикулярен и a , и b ;

3)векторы ar, b и ar× b образуют правую тройку. Напом

ним, что это значит: вектор ar× b направлен так, что кратчайший

поворот от a к b виден с его конца как поворот против часовой стрелки.

Рассмотрим основные свойства векторного произведения.

1) Модуль векторного произведения векторов a и b равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

111

Это следует из определения векторного произведения и

известной формулы площади параллелограмма. 2) br× ar = − (ar× br).

Действительно: − (ar× br) = ar× br = ar br sinϕ = br× ar ;

3) ar | | br ar× br = 0r , так как синус угла между коллинеар ными векторами равен нулю. Это свойство можно использовать

как критерий коллинеарности векторов. В частности, ar×ar = 0 .

4)ar×(λbr)= (λar)×br = λ (ar×br) .

5)ar× (br + cr) = ar× br + ar× cr .

Доказательство свойств 4) и 5) не приводим.

Пример 3.10. Найти площадь S параллелограмма, постро

112

Получим формулу для вычисления векторного произведе

ния векторов, заданных своими координатами.

Тогда ar×b = (aybz − az by )ir−(ax bz − az bx )rj + (axby − aybx )kr .

Полученное выражение можно записать в более удобном для запоминания виде – в виде «формального» определителя:

113

Определитель назван «формальным» потому, что в его первой строке – не числа, а векторы. Но по форме и способу вычисле ния – определитель.

Пример 3.11. Найти площадь ∆ABC с вершинами

А(1, –1, 2), В(0, 1, 1), С(–1, 3, 1).

Решение. Можно считать, что ∆ABC построен на векторах

uuur uuur

AB и AC . Ясно, что площадь ∆ABC равна половине площади

параллелограмма, построенного на этих векторах. Найдём ко

Тогда

r

А F

114

Отметим, что объём треугольной пирамиды, построенной

на векторах ar,br,cr , равен Vпир. = 61 Vпар. = 61 (ar×br) cr .

2) Критерий компланарности трёх векторов:

(ar×br) cr = 0 ar,br,cr – компланарные векторы.

Это свойство следует из предыдущего.

Используя формулы вычисления векторного и скалярного произведения векторов, легко получить формулу вычисления смешанного произведения в координатах. Пусть ar = (ax , ay , az ), b = (bx ,by ,bz ), cr = (cx , cy , cz ). Имеем:

116

Полученную формулу можно записать ещё короче:

Объём пирамиды Vпир. = 61 1 = 61 .

Пример 3.14. Проверить, лежат ли в одной плоскости че тыре точки A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1), D(1, 1, 1)?

Решение. Рассмотрим векторы

117

рассмотренные векторы некомпланарны, поэтому точки A, B, C,

D не лежат в одной плоскости.

8. Преобразование системы координат на плоскости

Прямоугольная декартова система координат определяет ся положением начала координат и положением ортонорми рованного базиса. При изменении одного из этих элементов изменится и система координат. Рассмотрим только преобразо вание системы координат на плоскости.

Случай 1. Оставим базис неизменным, а изменим лишь положение начала координат. Такое преобразование называет ся параллельным переносом. Положение новой системы коор динат О1X1Y1 в этом случае полностью определяется заданием координат нового начала О1 в старой системе координат: О1(a,

b O1 X1

118

X

O a