matem-up1

ветствует данный столбец. Столбец свободных членов не пере ставляют. Если возникнут в расширенной матрице нулевые строки, то их можно не писать. В результате этой работы воз можны три случая.

Случай 1. Полученная матрица имеет вид:

где b ≠ 0 . Соответствующая система уравнений несовместна,

так как содержит уравнение: 0 = b . Значит, несовместна и ис ходная система.

Заметим, что в этом случае r (A)= r , а r (A B)= r + 1 .

Случай 2. Возможно, что r (A)= r (A B)= n , т. е. ранг мат рицы системы и ранг расширенной матрицы совпадают с коли чеством неизвестных. В этом случае расширенная матрица при

обретает такую трапециевидную форму:

Напомним, что все элементы c11 , c22 , ... , cnn – не равные нулю числа.

82

Из уравнения, соответствующего последней ненулевой строке, можно найти значение одной из неизвестных. Затем,

поднимаясь вверх, по очереди найдём значения всех остальных неизвестных. Значит, в этом случае система имеет единственное решение.

В этом случае система имеет бесконечно много решений. Неиз вестные, соответствующие первым r столбцам, назовём базис ными, а остальные – свободными. Свободные неизвестные мо гут принимать любые значения. Значения базисных неизвестных определяются единственным обpазом через значения свобод ных. В результате получаются формулы, выражающие базисные неизвестные через свободные. Эти формулы описывают всё множество решений системы – это и есть общее решение сис темы уравнений.

Итак, алгоритм метода Гаусса показывает, что несовмест ность линейной системы связана с несовпадением r (A) и

r (A | B).

83

Теорема 2.7 (Кронекера Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Полученные в случае 2 и 3 результаты можно также запи сать в виде теоремы.

Теорема 2.8 (о числе решений). Совместная система имеет единственное решение, если ранг матрицы системы r равен числу неизвестных n , т. е. r = n. Система имеет бесконечное множество решений, если r < n.

Поясним метод Гаусса на примерах.

Пример 1.15. Решить системы методом Гаусса:

Решение. Для каждой системы выпишем расширенную матрицу и приведём её к трапециевидной форме. Знак те перь будет обозначать не только совпадение рангов, но и экви валентность соответствующих систем уравнений.

84

а)

Здесь последовательно выполнены следующие элементарные преобразования:

1) 1 я строка прибавлена ко 2 й, затем 1 я строка, умножен ная на (–3), прибавлена к 3 й;

2) 2 я строка, умноженная на 2, прибавлена к 3 й строке.

Последняя строка соответствует невозможному равенству:

0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = −1 . Система несовместна.

Здесь последовательно выполнены следующие элементар ные преобразования:

1) 1 я строка, умноженная на (–2), прибавлена ко 2 й, затем

1 я строка, умноженная на (–1), прибавлена к 3 й, затем 1 я

строка, умноженная на (–3), прибавлена к 4 й;

85

2)для простоты вычислений переставлены местами 2 й и 3

йстолбцы, при этом порядок неизвестных изменился;

3)2 я строка прибавлена к 3 й, затем 2 я строка, умножен

ная на 2, прибавлена к 4 й строке; 4) 3 я строка, умноженная на (–3), прибавлена к 4 й.

Полученной расширенной матрице соответствует система:

Из последнего уравнения x2 = 2 , подставляя это значение во 2

е уравнение, получим x3 = 3 , а затем из 1 го уравнения нахо дим x1 = 1 . Итак, система имеет единственное решение: x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 . Это решение можно записать в виде

86

Столбцы были переставлены потому, что в трапециевид ной матрице на главной диагонали должны стоять ненулевые элементы.

Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы ра вен 3. Так как система имеет 5 неизвестных, то две из них сво бодные. Неизвестные, соответствующие первым трём столбцам

(у нас это x1 , x3 , x4 ) объявляются базисными, а остальные

( x2 , x5 ) – свободные. Придадим свободным неизвестным про

Из последнего уравнения находим x4 = −2 − 13x5 = −2 − 13β .

Поднимаясь вверх, находим из второго уравнения

x3 = 2 − 2x4 − 9x5 = 2 − 2(−2 − 13β )− 9β = 6 + 17 β .

Наконец, из первого уравнения находим x1 :

x1 = 1 + x3 + 2 x4 + 4 x5 − x2 = 1 + 6 + 17 β + 2(−2 − 13β )+ 4β −α =

= 3 −α − 5β .

87

Записываем общее решение системы:

x1 = 3 −α − 5β , x2 =α , x3 = 6 + 17 β , x4 = −2 − 13β , x5 = β .

Общее решение можно записать в виде матрицы столбца:

решение.

Система линейных уравнений называется однородной, ес ли все её свободные члены равны нулю.

Независимо от того, будет ли число уравнений m системы меньше, равно или больше числа неизвестных n, однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение

x1 = x2 = ... = xn = 0 .

Важным является вопрос о том, имеются ли у однородной системы решения, отличные от нулевого.

Так как однородная система является частным случаем общей системы, то все результаты, ранее полученные для сис

88

тем линейных уравнений, будут справедливы и для однородных систем. Заметим, что однородную систему полностью опреде ляет матрица коэффициентов А, поэтому использовать расши ренную матрицу не нужно (добавление нулевого столбца ниче го не изменит).

Запишем основные результаты для однородной системы. 1) Если r (A)= n (ранг матрицы равен числу неизвестных),

то однородная система имеет единственное решение – нуле вое.

2) Если r (A)< n , то однородная система имеет бесконеч ное множество решений. Это всегда выполняется, если число

уравнений меньше числа неизвестных, т. е. m < n.

Для квадратной матрицы порядка n условие r (A) = n

равносильно условию | A | ≠ 0 . Поэтому для однородной систе мы уравнений с квадратной матрицей получаем: если | A | ≠ 0 ,

то система имеет только нулевое решение, если | A | = 0 , то есть и другие решения.

Пpимеp 2.16. Решить однородные системы уpавнений:

Решение. а) Приведём матрицу А системы к трапециевид

89

Последняя строка соответствует равенству x4 = 0 . Поднимаясь вверх, легко убедиться, что и значения всех остальных неиз вестных – нулевые. Система имеет только нулевое решение: x1 = x2 = x3 = x4 = 0 .

б)

Получили две ненулевые строки, а число неизвестных три. Сис

тема имеет бесконечное множество решений. Неизвестные

исходная система уpавнений сводится к системе 2 х уpавнений:

90