matem-up1

Будем считать далее, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множе-

Замечания.

1)Операции объединения и пересечения естественным образом обобщаются на случай произвольного числа множеств.

2)Операции над множествами можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: множества изображают обычно в виде кругов, а универсальное множество U – прямоугольником. Множества, полученные в результате

рассмотренных операций, отмечены штриховкой (см. рисунки).

11

Задача. Пусть конечные множества A и В имеют n(A) и n(B) элементов соответственно. Найдём число элементов

n(A U B) .

n(B) − n(A I B). Значит,

n(A U B) = n(A)+ n(B)− n(A I B) .

Пример 1.2. Экзамен по математике сдавали 500 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 420 человек, а выдержали этот экзамен 460 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?

Решение. Пусть А – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В – множество абитуриентов, получивших оценки ниже 5. По условию

n(A) = 460, n(B) = 420, n(A U B) = 500 .

Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество A I B . Тогда получим:

n(A I B) = n(A)+ n(B)− n(A U B) = 460 + 420 − 500 = 380 .

При записи математических рассуждений целесообразно применять логические символы (знаки). В математической логике они являются важными понятиями и изучаются глубоко, однако мы будем считать их лишь удобными сокращениями слов. Рассмотрим некоторые из них:

Знак заменяет слова «если …, то …», «следовательно»;– «тогда и только тогда», «равносильно»;

– «для всех», «для любого», « любой»;

– «существует», «найдётся»;

! – «существует единственный».

гда:

1) запись x, y A x + y A означает, что сумма любых

2-х элементов множества А также является элементом этого множества;

12

2) запись a A b A : b = −a читается так: для любого

элемента a множества A найдётся элемент b множества A, такой что b = −a ; другими словами, для любого числа a из A противоположное число (–a) также принадлежит A.

Условие равенства двух множеств можно записать так:

X =Y (X Y иY X ),

в равносильности утверждений (до и после знака ) легко убедиться.

Пример 1.3. Используя определения операций, доказать,

также x A I B . Итак, A U B A I B .

Полученные два включения доказывают требуемое равен-

ство.

Рассмотрим ещё одну операцию над множествами. Декартовым произведением множеств A и В называется множество

A× B ={(a, b) a A, b B}.

Элементами A× B являются упорядоченные пары элементов, первый – из A, второй – из В. Обратите внимание на запись: мы употребляем круглые скобки, когда важен порядок элементов,

например, (1, 2) и (2, 1)– это разные упорядоченные пары. Если же порядок не важен, то будем писать фигурные скобки: {1, 2} ={2, 1}, так как это множество, состоящее из чисел 1 и 2.

13

Пример 1.4. Найти декартово произведение множеств

A ={x, y} , B ={1, 2, 3} .

множество упорядоченных троек действительных чисел. Эти множества встретятся нам в дальнейшем.

1.3.Числовые множества

Вматематике часто приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Из школьного курса читателю знакомы следующие числовые множества:

={1, 2, 3, ... } – множество натуральных чисел;

={..., − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, ... } – множество целых чисел;

– множество действительных чисел.

Для этих числовых множеств справедлива запись:

.

Напомним, что любое рациональное число, или, что то же,

простую дробь mn , можно, выполняя деление, представить в десятичной записи. При этом получается либо конечная деся-

тичная дробь (например, 53 = 0,6 ), либо бесконечная периоди-

ческая десятичная дробь (например, 65 = 0,833... = 0,8(3)). Вер-

но и обратное: любую периодическую десятичную дробь можно

14

представить в виде mn . Значит, бесконечные непериодические

десятичные дроби не являются рациональными числами, их на-

зывают иррациональными числами.

Множество действительных чисел – это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Можно записать

противоречит тому, что мы взяли несократимую дробь. Противоречие вызвано неверным предположением, что 2 – рациональное число. Значит, 2 – иррациональное число.

Для геометрического изображения множества действительных чисел рассмотрим какую-нибудь прямую линию. Выберем и отметим на ней стрелкой положительное направление, укажем начальную точку О (точку отсчёта), зададим масштабную единицу для измерения длин отрезков. Такую прямую называют осью. Каждой точке М этой оси соответствует действи-

тельное число x – длина отрезка OM , взятая со знаком «+»,

если точка М лежит в положительном направлении от О, и со знаком «–» – в противном

запись M (x).

15

Таким образом, множество действительных чисел можно сопоставить с множеством всех точек оси. Это означает, что каждому числу x на оси соответствует единственная точка M, для которой число x является её координатой. И наоборот, каждой точке M на оси соответствует действительное число x – её координата. Поэтому, вместо слова «число» часто говорят «точка», а координатную ось называют числовой прямой. Отождествление действительных чисел с точками на числовой прямой будет в дальнейшем очень полезным.

Часто будут рассматриваться подмножества множества

Числовую прямую можно расширить, добавляя две бесконечно удалённые точки: +∞, − ∞ . Их положение можно описать

с помощью окрестностей, которые определяются так:

U (+∞)= (N , + ∞)={x x > N},

U (−∞)= (−∞, − N )={x x < − N}.

Здесь N – cколь угодно большое положительное число. Алгебраические операции (сложение, умножение, деление) к точкам +∞, − ∞ не применяются.

Пример 1.7. Пусть A =[−1, 1], B = (−∞, 0), C =[0, 2).

Найти множества: A U B, A UC , A I B, B IC , (A U B)IC .

16

На множестве действительных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на 0). Операция извлечения корня выполнима не всегда. Например, оставаясь в пределах множества действительных чисел, нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Однако такое действие было бы очень полезно для разных разделов математики и её приложений. Поэтому требуется расширить понятие числа, ввести новые числа, отличные от действительных.

1.4. Комплексные числа

Пусть x, y , a i – некоторый символ. Комплексным

числом называется выражение вида x + iy .

Числа x и y называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа x + iy . Используются

обозначения:

. Если х = 0, то число 0 + iy обозначается просто iy и

называется чисто мнимым числом.

Два комплексных числа z = x + iy и z = x − iy , отличаю-

щиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными. Определим на множестве понятие равенства и алгеб-

раические операции.

17

Сложение и умножение комплексных чисел определяются так:

(x1 + iy1 )+ (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 )+ i (y1 + y2 ), (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 )+ i (x1 y2 + x2 y1 ).

Можно доказать, что эти операции обладают теми же свойствами, что и сложение и умножение действительных чисел.

Так как i 2 = (0 + 1i )(0 + 1i ) = −1 , то операцию умножения комплексных чисел можно выполнять по обычным правилам

раскрытия скобок, заменяя i 2 на –1. Комплексное число i назы-

вают мнимой единицей.

Заметим, что сумма и произведение сопряжённых чисел есть числа действительные:

z + z = (x + iy)+ (x − iy)= 2 x ,

z z = (x + iy)(x − iy)= x2 − ixy + iyx − i 2 y2 = x2 + y2 .

Операция деления комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Покажем, как это делается:

Итак, чтобы выполнить деление, нужно умножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.

18

си комплексного числа.

При этом действительные числа x = x + i0 будут изображаться точками оси OX – она называется действительной осью. Ось OY называется мнимой осью, её точки соответствуют чисто мнимым числам iy . Вся плоскость называется комплексной

расстоянию от точки, изображающей это число, до начала координат.

Угол ϕ между положительным направлением оси OX и от-

ОМ совершается против часовой стрелки. Аргумент определя-

Значение ϕ, удовлетворяющее условию −π <ϕ ≤π , называется главным значением аргумента и обозначается символом arg z .

Аргумент комплексного числа z = 0 не определён.

Числа r ,ϕ называют ещё полярными координатами точ-

ки М. Так как x = r cosϕ , y = r sinϕ , то можно записать: z = x + iy = r (cosϕ + i sinϕ).

Такая запись называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

19

Пример 1.9. Записать в тригонометрической форме число z = 1 − i .

Решение. Число z лежит в 4-й четверти комплексной плос-

Теорема 1.1. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

z2 =r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 ). Вычислим произведение:

z1z2 = r1r2 (cosϕ1 cosϕ2 +i cosϕ1 sinϕ2 +i sinϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2 )= = r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 )+ i sin(ϕ1 +ϕ2 )).

Получили число z1z2 в тригонометрической форме: r1r2 – модуль произведения, ϕ1 +ϕ2 – аргумент произведения. Теорема доказана.

Следствие. Применяя теорему 1.1 к произведению n сомножителей z z ... z = zn , получим формулу Муавра:

zn = r n (cos nϕ + i sinnϕ).

Пример 1.10. Вычислить (−2 + i2 3 )6 .

Решение. Сначала запишем число z = −2 + i2 3 в тригонометрической форме:

r = (−2)2 + (2 3 )2 = 4 , tgϕ = 2−23 = − 3 .

Так как число z лежит во 2-й четверти комплексной плос-

20