matem-up1

рого номера, должны были попасть в выбранную окрестность этой точки.

Сформулируем важную теорему.

Теорема 5.7 (теорема Вейерштрасса). Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел, т. е. сходится.

Пример 5.18. Доказать, что последовательность с общим элементом xn = nn!n сходится.

Решение. Напомним, что n! = 1 2 3 ... (n − 1) n – фак-

ториал натурального числа n.

Достаточно показать, что данная последовательность монотонна и ограничена. Для этого рассмотрим отношение

следовательность монотонно убывает. Ясно, что она ограничена сверху. Так как xn > 0, то она ограничена и снизу, например, нулём. Следовательно, последовательность монотонна и ограничена. По теореме Вейерштрасса она сходится.

Пример 5.19. Вычислить nlim→∞ (n − n2 + 5n ).

Решение. Здесь неопределённость вида (∞ −∞). Умножим и разделим выражение под знаком предела на (n + n2 + 5n ), а

затем разделим числитель и знаменатель полученной дроби на n:

171

2. Непрерывность и точки разрыва функции

2.1. Определения непрерывности

Функция f (x), определённая в некоторой окрестности

точки x0 , называется непрерывной в точке x0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

lim f (x)= f (x0 ).

x→x0

Раскроем содержание этого определения на языке «ε – δ»: f (x) непрерывна в точке x0

ε >0 δ >0 : x − x0 <δ f (x)− f (x0 ) <ε .

Как можно увидеть, есть небольшое отличие от определения предела: здесь не требуется говорить о проколотой окрестности.

Сделаем важное для практики наблюдение. Определение непрерывной функции на языке «ε – δ» говорит о том, что всегда можно добиться любой требуемой точности вычисления значения функции (ε), надо только чтобы аргументы были заданы с достаточной точностью (δ).

Если обозначить через ∆x = x − x0 – приращение аргумен-

та, ∆f = f (x)− f (x0 ) = f (x0 + ∆x)− f (x0 ) – соответствующее приращение функции, то определение непрерывности можно записать в другой форме:

Таким образом, функция непрерывна в точке, если малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

172

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке

[a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка и в точке x = a непрерывна справа, т. е. f (a + 0) = f (a), а в точке x = b непрерывна слева, т. е. f (b −0) = f (b).

2.2. Точки разрыва

Точка x0 называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) определена хотя бы в проколотой окрестности точки x0 и не является непрерывной в этой точке.

Например, функция y = 1x имеет разрыв в точке x = 0 , так

как в этой точке не определена, но определена в её проколотой окрестности. Функция y = lg x тоже не определена в точке

x = 0 , но эта точка не считается точкой разрыва, так как эта функция не определена в её проколотой окрестности.

Точки разрыва функции разделяют на точки разрыва 1-го и 2-го рода.

Если же хотя бы одно из этих равенств нарушено, то x0 называ-

этом не важно, определено значение f (x0 ) или нет.

2) Если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то x0 называется точкой разрыва 2-го рода.

Пример 5.20. Исследовать на непрерывность функцию

f(x)= x2 + x − 2 .

x+ 2

Решение. Область определения функции:

173

D = (−∞, − 2)U(−2, + ∞). Ясно, что по теореме 5.5

Точка x = −2 – точка разрыва функции, так как, хотя в самой точке функция не определена, но она определена в её проколотой окрестности. Вычислим односторонние пределы в этой точке, разлагая квадратный трёхчлен на сомножители:

этой прямой отсутствует.

Пример 5.21. Исследовать на непрерывность функцию

носторонние пределы в этой точке:

Вывод: x = 1 – точка разрыва 2-го рода.

174

Пример 5.22. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Данная функция определена на всей числовой прямой, задана кусочно-аналитическим способом. Она может иметь разрыв в точке x = 2 , где меняется её аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция непрерывна.

Вывод: функция в точке x = 2 непрерывна справа, а слева имеет разрыв 1-го рода.

2.3. Свойства непрерывных функций

Рассмотрим вначале теоремы, которые определяют основные свойства функций, непрерывных в данной точке.

Теорема 5.8 (арифметические операции с непрерывными функциями).

Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x0, то в этой же точке будут непрерывны и функции

f (x)± g (x), f (x) g (x), gf ((xx)) ,

при условии, что знаменатель не обращается в нуль.

Доказательство. Докажем, например, непрерывность произведения. Применяя теорему 5.4 о пределе произведения, получим:

175

т. е. для непрерывных функций операция предельного перехода перестановочна с операцией по вычислению значения функции в соответствующей точке.

Теоремы 5.8, 5.9 посвящены некоторым свойствам функций, непрерывных в данной точке x0. А теперь рассмотрим наиболее важные свойства функций, непрерывных в каждой точке

отрезка [a, b]. Ограничимся только формулировкой соответст-

вующих теорем, а основное внимание уделим обсуждению и иллюстрации этих свойств.

Теорема 5.10 (о промежуточных значениях функции). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Обо-

значим f (a) = A, f (b) = B . Пусть A ≠ B . Тогда, каково бы ни

176

было число С, лежащее между числами А и В, найдётся хотя бы одна такая точка c (a, b), что f (c) = C .

его концах принимает значения разных знаков. Тогда внутри отрезка [a, b] найдётся хотя бы одна точка с, в которой функция

обращается в нуль, т. е. f (c)= 0 .

Следствие имеет простой геометрический смысл: если график непрерывной функции расположен по обе стороны от оси ОХ, то график пересекает эту ось.

Можно применить это следствие для решения уравнения f (x) = 0 .

Действительно, пусть на концах отрезка [a, b] непрерывная функция f (x) принимает значения разных знаков. Приближённое значение корня уравнения f (x) = 0 на таком отрез-

ке можно найти с любой нужной точностью методом деления отрезка пополам. Суть этого метода заключается в следующем.

Разделим отрезок [a, b] пополам точкой x0 = a +2 b . Если

окажется, что f (x0 )= 0 , то корень уравнения найден: c = x0 . В

противном случае выберем тот из полученных отрезков, на концах которого функция f (x) имеет значения разных знаков,

обозначим его [a1 , b1 ]. Корень уравнения c [a1 , b1 ]. Повторяем этот приём: разделим [a1 , b1 ] пополам и обозначим [a2 , b2 ]

177

ту половину [a1 , b1 ], на которой f (x) меняет знак, тогда c [a2 , b2 ]. Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, когда длина отрезка [an , bn ] станет меньше заданной точности. В качестве искомого корня обычно принимается ве-

личина c = an +2 bn .

Пример 5.23. Показать, что уравнение x3 − x + 1 = 0 имеет действительный корень на отрезке [−2, − 1]. Вычислить этот корень методом деления отрезка пополам с точностью ε = 0,1 .

корнем данного уравнения. Найдём его значение с указанной точностью.

на 0,125 > ε .

178

и принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е.

чения.

Для монотонной и непрерывной на отрезке [a, b] функции

существует обратная функция, её свойства устанавливаются в следующей теореме.

Теорема 5.12 (об обратной функции).

Пусть функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает на отрезке [a, b]. Тогда обратная функция x = f −1 (y) опреде-

179

лена на отрезке f (a), f (b) , также строго возрастает и непрерывна.

2.4. Непрерывность элементарных функций

Важным свойством элементарных функций является их непрерывность в области определения. Это свойство (без доказательства) мы уже формулировали в теореме 5.5 и использовали при вычислении пределов элементарных функций. Сейчас проведём обоснование.

Теорема 5.13. Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Доказательство. Покажем вначале, что основные элементарные функции непрерывны.

0 ≤ ∆f (x) ≤ ∆x . Отсюда, по теореме о пределе промежуточной

4) Функции tg x, ctg x непрерывны по теореме 5.8.

180