Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. И.И.Ползунова»

Е.В. Мартынова, Л.М. Кобзарь,

В.М. Кайгородова

Линейная алгебра

Изд-во АлтГТУ

Барнаул 2013

УДК 51(075.8)

Мартынова Е.В.Линейная алгебра/ Е.В. Мартынова, Л.М. Кобзарь, В.М. Кайгородова; Алт. гос. техн. ун-т им. И.И.Ползунова. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2013. – 94с.

В учебно-методическом пособии приводятся лекции и решение типичных задач по линейной алгебре, и в помощь преподавателю даны 30 вариантов тестовых заданий для самостоятельной работы студентов и организации практических занятий, охватывающие весь курс линейной алгебры. Содержание задач соответствует программе по математике для всех специальностей. В помощь студентам разобраны наиболее типичные задачи и методы их решения, приведены необходимые формулы.

Пособие предназначено для студентов вузов, может быть полезно преподавателям для организации практических занятий и контроля знаний студентов по данной теме.

Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики и математического моделирования.

Протокол № 6 от 12 февраля 2013 г.

Рецензент Лев Г.Ш., кандидат физико – математических наук, доцент (кафедра высшей математики и математического моделирования АГТУ)

§1. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства

Определение 1:Прямоугольная таблица чисел виданазывается матрицейn-го порядка, где числаa_ij– элементы матрицы, причемi– номер строки,j- номер столбца,i,jN(натуральных чисел).

Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла, образуют главную диагональ.

Элементы, стоящие на диагонали, идущей из правого верхнего угла, образуют побочную диагональ.

Пример:Для элемента а₂₃ – цифра 2 - вторая строка и цифра 3 - третий столбец (i,j- это индексы элемента)

Каждой матрице можно поставить в соответствие определенное число.

Определение 2: Определителем (детерминантом) второго порядка называется число, обозначаемое символом ∆ и записываемое в виде

(1)

Числа называются элементами определителя. Далее все как у матрицы.

Символика: ∆, ,detA- обозначение определителя на письме.

Определение 3: Определителем 3-го порядка называется число равное

(2)

Схематическое изображение вычисления определителя третьего порядка

(метод вычисления по правилу треугольников):

+-

Определение 4: Минором элементакакого-либо определителя называется определитель, полученный из данного, вычеркиванием той строки и того столбца на пересечении которых находится данный элемент.

Пример 1: Найтиэлемента, если

Решение:

Определение 5: Алгебраическим дополнением элементаопределителя называется его минор, взятый со знаком, т. е.(3)

Пример 2: Найтиэлемента, если

Решение:

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, и наоборот.

2. При замене двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

6. Определитель не изменит своей величины, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и тоже число.

Определение 6: Определителем n-го порядка называется число равное сумме произведений вида:

=(4)

Формула (4) выражает правило составления определителя n-го порядка по элементам первой строки и их алгебраическим дополнениям.

Теорема: Каков бы ни был номер столбца для определителя n-го порядка справедлива формула:

∆= (5)

Пример 3: Вычислить определитель, разложением его какой-либо строке (столбцу) используя понятие алгебраическое дополнение

Решение: