- •Линейная алгебра
- •§1. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителя методом Гаусса
- •§2.Матрицы Виды матриц
- •Действиянад матрицами.
- •Cвойства сложения
- •Умножение матиц
- •Обратная матрица
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •§3. Матричная запись и матричное решение систем линейных уравнений.
- •§4. Системы линейных уравнений.
- •Формулы Крамера.
- •§5. Ранг матрицы и способы его вычисления.
- •Элементарные преобразования матриц.
- •§6. Системы линейных уравнений общего вида.
- •Правило решения произвольной системы линейных уравнений:
- •Однородная система.
- •Метод Гаусса.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Решение типового варианта
Обратная матрица
Определение 19: Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называетсятранспонированнойматрицей относительно данной, и обозначается.
Пример 10:
Пример 11:
Определение 20: Обратнoй матрицей к квадратной
матрице А называется квадратная матрица ,
удовлетворяющая условию .
Действия умножения матриц, в общем случае,
не подчиняется переместительному закону распределения, т.е.
Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела себе обратную необходимо и достаточно, чтобы матрица А была не вырожденная, т.е. определитель отличен от нуля.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
1.
2. транспонировать матрицу А
3. вычислить алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы
4.составляем матрицу А*(союзная или присоединенная)
5.
Пример 12:Найти обратную матрицу для матрицы
А=
Решение: Т.к. определитель равен , то обратная матрица имеет место быть.
Транспонируем матрицу
Вычислим все алгебраические дополнения
транспонированной матрицы
Т.о. союзная матрица имеет вид
Обратная матрица имеет вид .
Замечание: иногда обратную матрицу записывают.
Пример 13: При каких значениях матрица не имеет обратную?
Решение: Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица не имеет обратной. Нужно вычислить определитель данной матрицы и приравнять его к нулю. Получим уравнение первого порядка, из которого и найдем значение
илиследовательно
Пример 14: При каких значениях матрицы
и перестановочны?
Сравнив матрицы С и D, находим.
Пример 15: Вычислить
Найдем матрицу
Затем найдем матрицу
§3. Матричная запись и матричное решение систем линейных уравнений.
Пусть дана (6)
, где матрица А=- основная матрица системы.
Х=- матрица-столбец неизвестных
В=- матрица-столбец свободных членов.
Очевидно (7) - матричное уравнение системы.
Если , то система (7) решается следующим образом
.Перепишем его в другом виде
(т.к.- единичная матрица), то
(т.к.), то- решение системы (7)
Пример 16:Решить систему матричным методом
Решение:А=В=Х=
Т.к. обратная матрица уже найдена в примере№12, то
=
Пример 17: Решить матричное уравнение:
Решение: Составим это уравнение в буквенной форме
, его решение разобрано чуть выше.
Найдем обратную для матрицы А.
, т.к.,то.
§4. Системы линейных уравнений.
Определение 21: Системойmлинейных уравнений сnнеизвестныминазывается система вида:
(6)
, где - коэффициенты при неизвестных (числа);
- свободные коэффициенты (числа).
Система линейная, т. к. все иксы в первой степени.
Определение 22:Линейная система (6) называетсянеоднородной, если среди свободных коэффициентов хотя бы один отличен от нуля. Если все свободные коэффициенты равны нулю, то система называетсяоднородной.
Определение 23: Решением линейной системы (6) называется упорядоченная совокупность чиселподстановка которых вместообращает в тождество каждое из уравнений системы.
Определение 24:Система, имеющая хотя бы одно решение, называетсясовместной. Система, не имеющая ни одного решения, называетсянесовместной.
Формулы Крамера.
Рассмотрим систему
Определение 25:Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называетсяглавным определителем системы.
Составим определитель Δ1=
Назовем его первый вспомогательный определитель системы. Аналогично
Δ2=и Δ3=.
- называются формулы Крамера (8)
Замечание:Формулы Крамера верны и для системыn-го порядка, но только для квадратной системы.