Однородная система.

Теорема 1.Однородная система всегда совместна.

Теорема 2.Для того, чтобы однородная система имела не нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю

Следствие:Для того, чтобы однородная система имела не нулевое решение необходимо и достаточно , чтобы.

Пример 21:Исследовать однородную систему:

Решение:~~~

Система имеет множество решений, базисные неизвестныеи- свободная переменная равнас.или

Метод Гаусса.

Пусть дана система №9. Идея метода состоит в следующем: пусть коэффициент при в первом уравнении системы №1.

1. Исключим неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части уравнения сист-мы№1 на коэффициент. Получим новую систему, равносильную данной.

2. Умножим первое уравнение на и вычтем его из второго уравнения системы; затем умножим первое уравнение наи вычтем его из третьего уравнения и т. д. В результате этого шага приходим к системе вида №2:

, где---(10)

3. Исключим из всех уравнений системы №2, кроме первого и второго. Для этого разделим обе части второго уравнения системы №2 на; затем умножим второе уравнение последовательно наи вычтем поочередно из соответствующих уравнений, кроме 1-го и 2-го.

4. Продолжая этот процесс далее, мы придем либо к системе вида:

--- (11) в случае ее совместности, либо к системе вида:

---(12)

5) система вида (11) называется ступенчатой, система вида (12) – треугольной. В случае системы (12) из последнего уравнения определяется , подставляется в предыдущее уравнение системы (12), определяемнеизвестное и т. д. из 1-го уравнения найдемнеизвестное.

В случае системы (11) имеем систему совместную, но не определенную, которая имеет множество решений. Выделяем базисный минор и базисные неизвестные, остальные неизвестные назовем свободные и приведем систему (11) к виду (12).

Все выше указанные описания на практике производят над матрицами, составленными из коэффициентов перед неизвестными и столбца свободных коэффициентов.

Пример 22:1) Исследовать систему, и в случае ее совместности найти решение

Решение: ~~

~

- свободные переменные

последней матрице соответствует система

равносильная исходной

Вариант 1

А1. Вычислить определитель:

а) б).

А2. Решить уравнение:

.

А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:

.

А4. Найти алгеброические дополнения элементов иопределителя (см. задачу А3).

А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:.

А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.

а)

б)

А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матрици:

.

;

А8. Вычислить: _.

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

_{А10. Решить матричное уравнение:}

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):

.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а)

б)

В3. Умножить матрицы:

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?

В5. Найти обратную матрицу:

В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:

В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:

.

С1. Умножить матрицы:

.

С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).

С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а) ,	б)
в).