matem-up1

Чтобы запомнить, какие произведения берутся со знаком «+», а

какие со знаком «–», полезно использовать правило треуголь ников (правило Саррюса):

ческие дополнения элементов a11 , a21 и вычислить определи тель.

Решение. Найдём алгебраические дополнения:

Пользуясь правилом треугольников, получим тот же ре

зультат:

A = 2 4 2 +(−1) 3 1 + 3 0 (−2)− 3 4 3 − 2 (−2) 1 −0 (−1) 2 = −19 .

61

Перейдём теперь к общему случаю. Определителем квад ратной матрицы любого порядка n называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом:

A = a11 A11 + a12 A12 + ...+ a1n A1n .

Эта формула называется разложением определителя по 1 й

строке.

определителя n го порядка сводится к вычислению n определи телей (n – 1) го порядка, вычисление каждого из которых сво дится в свою очередь к вычислению определителей (n – 2) го порядка и т. д.

Рассмотрим основные свойства определителей. Доказа тельство каждого свойства рекомендуем провести самостоя тельно, хотя бы для определителей 3 го порядка.

Свойство 1. Определитель матрицы А совпадает с опре делителем транспонированной матрицы AT , т. е. | A | = | AT | .

Это свойство говорит о «равноправности» строк и столбцов определителя, дальнейшие свойства определителя будут фор мулироваться только для строк, хотя будут справедливы и для столбцов.

62

нулевые). Вычислять определители 3 го порядка мы уже умеем.

Однако и здесь можно выполнить действия, упрощающие вы числения. Прибавим к 3 й строке 2 ю, умноженную на (–1). За тем полученный определитель разложим по 3 й строке:

Свойство 9. Для квадратных матриц справедливо равенст

во:

A B = A B .

65

A−1 = A1 (A )T ,

где A = (Aij ) – матрица, составленная из алгебраических до

полнений элементов aij матрицы А.

Доказательство. Пусть для простоты матрица А имеет вто

рой порядок. Найдём произведение матриц A и A1 (A )T :

Здесь были использованы свойства 6 и 7 определителей.

Если умножать эти матрицы в другом порядке, то анало гично получается тот же результат.

Значит, A – невырожденная матрица и обратная для неё суще ствует. Найдём алгебраические дополнения:

67

Здесь А и В – заданные матрицы, а X – неизвестная матрица.

Покажем, как можно решить эти уравнения (найти матрицу X),

если А – квадратная невырожденная матрица.

Решение. Умножим обе части первого уравнения слева на матрицу A−1 (по условию задачи она существует). Получим:

A X = B A−1 (A X ) = A−1 B (A−1 A) X = A−1 B

E X = A−1 B X = A−1 B .

68

Аналогично, умножая обе части второго уравнения справа

на матрицу A−1 , получим:

X A = B (X A) A−1 = B A−1 X (A A−1 )= B A−1

X E = B A−1 X = B A−1 .

Пример 2.8. Решить матричное уравнение A X = B , где

4. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размером m ×n . Выделим в ней какие либо k строк и k столбцов ( k ≤ m , k ≤ n ). Из элементов,

стоящих на их пересечении, составим определитель. Он назы вается минором k го порядка матрицы А.

69

порядка – это элементы матрицы, их в нашем примере 12 штук.

Миноров 2 го порядка у этой матрицы довольно много, напри мер, пересечением 1 й, 2 й строк и 1 го, 3 го столбцов получает

(строки нужно включать все, а из столбцов один не включать).

всех строк с 2 м, 3 м и 4 м столбцами.

Если у матрицы А среди её миноров есть хотя бы один не нулевой минор порядка r, а все миноры больших порядков рав ны нулю, то число r называется рангом матрицы А и обозна чается r = r(A). Ясно, что ранг матрицы не может быть больше

70