matem-up1
.pdf5) |
f (x) = a x . Имеем |
|
|
lim ∆f (x) = lim (a x+∆x − a x ) |
= a x lim (a∆x − 1)= 0 , |
||
∆x→0 |
∆x→0 |
∆x→0 |
|
так как |
lim a∆x = 1 . Это было показано в примере 5.3. |
||
|
∆x→0 |
|
loga x, arcsin x, arccos x, |
6) |
Непрерывность функций |
||
arctgx, arcctgx |
следует из теоремы 5.12, так как эти функции |
являются обратными для уже рассмотренных непрерывных функций.
7) Степенную функцию с произвольным показателем можно записать в виде суперпозиции уже рассмотренных функций:
f (x) = xs = es ln x . Поэтому она непрерывна по теореме 5.9.
Функции из класса элементарных можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над основными элементарными функциями и их суперпозицией. Из теорем 5.8, 5.9 следует, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения. Теорема 5.13 доказана.
Замечание. Если функция является кусочноаналитической, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется её аналитическое выражение.
3. Вычисление пределов с помощью сравнения бесконечно малых
Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций – бесконечно малые. Этого, вообще гово-
ря, нельзя сказать о частном. Пусть α (x) и β (x) – бесконечно
малые функции в окрестности точки x0. Рассмотрим правила сравнения этих функций.
Функция α (x) называется бесконечно малой более высо-
кого порядка, чем |
β (x), если lim |
α (x) |
= 0 . Можно сказать, |
|
β (x) |
||||
|
x→x0 |
|
||
что в этом случае |
α (x) стремится к 0 быстрее, чем β (x). |
Употребляется запись: α (x) = o(β (x)), которая читается так:
181
α (x) |
есть «о малое» от |
β (x). Например, sin2 x = o(x) при |
||||
x → 0 |
, так как lim |
sin2 x |
= lim |
sin x |
lim sin x = 1 0 = 0 . |
|
x |
x |
|||||
|
x→0 |
x→0 |
x→0 |
Функции α (x), β (x) называются бесконечно малыми од-
ного порядка, если предел их отношения – конечное ненулевое число:
|
lim |
α (x) |
|
= A, A ≠ 0, |
A ≠ ∞ . |
|
|
β (x) |
|
||||
|
x→x0 |
|
|
|
||
При этом используется запись: α (x) = O(β (x)). |
и β (x) |
|||||
В частности, если этот предел равен 1, то α (x) |
||||||
называются |
эквивалентными. |
Применяется |
запись: |
|||
α (x) β (x). |
Например, |
бесконечно малые x2 + 2 x и |
3x3 + 2x при x → 0
lim |
x2 + 2 x |
|
3x3 + 2 x |
||
x→0 |
эквивалентны: |
|
|
|
|
|
= lim |
x (x + 2) |
= lim |
x + 2 |
|
= 1 . |
|
3x2 + |
|
|||
x→0 x (3x2 + 2) |
x→0 |
2 |
|
Приведём две простые теоремы, полезные при вычислении пределов.
Теорема 5.14. Если α (x)= o(β (x)), то α (x)+ β (x) β (x).
Доказательство. Действительно:
lim |
α (x)+ β (x) |
= |
lim |
α (x) |
+ 1 = 0 + 1 = 1 . |
|
β (x) |
β (x) |
|||||
x→x0 |
|
x→x0 |
|
Теорема 5.15. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Доказательство. Пусть α (x) α1 (x), β (x) |
β1 (x). Тогда |
|||||||||||||||||||
|
α |
|
α |
|
α |
1 |
|
β |
1 |
|
α |
|
|
α |
1 |
|
|
β |
1 |
|
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
lim |
|
lim |
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→x0 |
β |
x→x0 |
β |
|
α1 |
|
β1 x→x0 |
α1 x→x0 |
β1 x→x0 |
β |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 1 lim |
α1 |
= lim |
α1 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
β1 |
|
x→x0 |
β1 |
|
|
182
Приведём таблицу основных эквивалентностей при x → 0 , которые используются при вычислении пределов:
|
1) |
sin x |
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
arcsin x x ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
3) |
tgx |
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
arctgx |
x ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
5) |
logа ( |
1 + x) |
x |
1 |
|
; |
6) |
|
a x − 1 |
x lna ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
lna |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7) |
(1 + x)a − 1 x a a ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Докажем эти эквивалентности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) Следует из первого замечательного предела. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2) |
lim arcsin x = |
|
arcsin x = y x = sin y = lim |
y |
= 1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
y |
→ 0 |
|
|
|
|
y→0 |
sin y |
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
lim |
tgx |
= lim |
|
sin x |
|
1 |
|
|
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
lim arctgx |
= |
|
arctgx |
= y x = tgy |
= lim |
y |
= 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
x |
→ 0 y → 0 |
|
|
|
y→0 |
tgy |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
loga (1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lna lim loga (1 + x) |
|
|
= lna loga lim (1 + x) |
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lna loga e = 1 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь была использована непрерывность функции |
loga ( 1 + x ) , |
||||||||||||||||||||||||||||
а также второй замечательный предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6) lim ax −1 = |
ax −1 = y x = loga ( 1+ y ) |
= lim |
|
|
y |
|
=1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
lna |
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 xlna |
|
x →0 y →0 |
|
|
|
|
|
y→0 loga (1+ y) |
|
|
|
В последнем равенстве применили предыдущее утверждение 5).
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
(1 + x)a − 1 |
|
(1 + x) |
|
x a − 1 |
= lim |
eax − 1 |
|
|
7) lim |
= lim |
x |
= 1 . |
||||||
ax |
ax |
ax |
|||||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
|
В последнем равенстве применили утверждение 6): ex − 1 x .
183
Следует иметь в виду, что в таблице эквивалентностей аргумент x может быть заменён любой бесконечно малой функцией. Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + sin x − 1 |
|
|
1 |
sin x |
|
1 |
x |
при x → 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ln x = ln(1 + (x − 1)) |
|
|
x − 1 при x → 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 5.24. Вычислить lim |
arctg (2 x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
e−x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
arctg (2 x) |
|
0 |
|
arctg (2x) |
2 x, |
= lim |
2 x |
= −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
e |
−x |
− 1 −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
e |
−x |
− 1 |
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пример 5.25. Вычислить lim |
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos |
π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ |
π |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
x − 1 = t x = 1 + t |
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
2 |
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
2 |
= |
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 1 t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t − 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
−sin |
2 t |
|
= |
sin 2 t |
|
|
2 t |
t |
= lim |
− 2 t |
= −π . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t →0 |
1 + t − 1 |
|
|
|
1 + t − 1 |
|
t→0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пример 5.26. Вычислить lim lncos x ctgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+(cos x −1)) |
|
|||||||||||||||||||
limlncos x ctgx =(0 ∞) |
=lim |
lncos x |
0 |
|
=lim |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
ln(1 +(cos x −1)) |
|
cos x −1 = −2 sin |
2 x |
|
−2 |
x 2 |
= − |
x2 |
, |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184
|
− |
x2 |
|
1 |
|
= lim |
2 |
= − |
lim x = 0 . |
||
|
x |
|
|||
x→0 |
|
2 x→0 |
Замечание. Для бесконечно больших функций понятие эквивалентности вводится и используется аналогично.
Пример 5.27. Показать, что при x → ∞ целая рациональная функция
P |
(x)= a |
0 |
xn + a |
1 |
xn−1 |
+ ...+ a |
n |
(a |
0 |
≠ 0, n |
) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
(многочлен степени n) есть бесконечно большая функция, эквивалентная старшему члену a0 xn .
Решение. Действительно, |
|
|
|
||||||||||
lim |
Pn (x) |
= lim |
|
1 |
+ |
a |
1 |
|
1 |
+ |
K + |
a |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
a xn |
a |
|
x |
a |
|
||||||||
x→∞ |
x→∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x → ∞ .
1 |
|
= 1 P |
(x) |
a x |
n |
|
|
|
|||
|
|
||||
xn |
n |
|
0 |
|
4. Контрольные вопросы
1. |
Как |
определяется |
lim |
f (x) = b на |
«языке |
окрестно- |
|||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
стей»? |
|
|
|
|
lim f (x) = b на «языке ε −δ » в |
||||
2. |
Как сформулировать |
||||||||
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
следующих |
случаях: |
а) |
x0 |
и |
b |
конечны; |
б) x0 |
конечно, |
|
b = −∞ ; |
в) |
x0 = +∞ , |
b конечно; |
г) |
x0 = −∞ , |
b = +∞ ? |
|
3.Как связаны существование и величина предела функции в конечной точке с односторонними пределами в этой точке?
4.Какая функция называется бесконечно малой при x→x0 , каковы её основные свойства?
5.Какая функция называется бесконечно большой при
x→x0 , каковы её основные свойства?
6. Какова связь между функцией, её пределом и бесконечно малой?
185
7. В чём заключаются арифметические свойства предела функции?
8. Как показать, что lim |
sin x |
= 1 (1-й замечательный пре- |
|
x |
|||
x→0 |
|
дел)?
9.Что называют 2-м замечательным пределом?
10.Что называется числовой последовательностью? Приведите примеры.
11.Как определяется предел последовательности?
12.Какие последовательности называются сходящимися? Приведите примеры сходящейся и расходящейся последовательности.
13.В чём состоит достаточное условие сходимости монотонной числовой последовательности?
14.Какие равносильные определения непрерывности функции в точке Вы знаете? Сформулируйте их.
15.Какие точки называются точками разрыва функции?
Когда точка x0 является точкой разрыва 1-го рода; точкой разрыва 2-го рода; устранимой точкой разрыва?
16.Какие свойства функций, непрерывных в точке, Вы
знаете?
17.Какие свойства функций, непрерывных на отрезке, Вы
знаете?
18.В каких точках непрерывна любая элементарная функ-
ция?
19.Когда бесконечно малые (или бесконечно большие)
α(x) и β (x) называют эквивалентными при x→x0 ?
20.Какие основные эквивалентности бесконечно малых функций Вы знаете?
21.Чему эквивалентен многочлен
P |
(x) = a |
xn + a |
1 |
xn−1 |
+ ...+ a |
n |
(a ≠ 0, n |
) при x → ∞ ? |
n |
0 |
|
|
|
0 |
|
22.Как используют эквивалентности при вычислении пределов?
186
5.Упражнения
1.Сформулируйте определение предела на языке «ε – δ» в следующих случаях:
а) |
lim |
f (x) = b ; |
б) |
lim |
f (x) = −∞ ; |
|
x→−∞ |
|
|
x→+∞ |
|
в) |
lim |
f (x) = +∞ ; |
г) |
lim |
f (x) = +∞ ; |
|
x→−∞ |
|
|
x→x0 −0 |
|
д) |
lim |
f (x) = b ; |
е) |
lim |
f (x) = −∞ . |
|
x→x0 +0 |
|
x→x0 |
|
2.Пользуясь определением предела на языке «ε – δ», доказать, что:
|
а) |
lim |
(10 x −7 ) = 3 ; |
|
|
б) |
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
= +∞ ; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
(x + 1)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
в) |
lim 3 x = −∞ ; |
|
|
|
|
г) |
lim |
2 x + 3 |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
Вычислить пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
x − 2 x |
2 |
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3x + |
5 |
|
|
|
|
|
x2 −6 x + |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
2 x − 1 |
|
; |
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
x2 + 3x + 2 |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→−2 |
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 x3 + 2 x2 |
− x − 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
д) |
lim |
|
6 x − 5 |
; |
|
|
|
е) |
lim |
4 x3 + x − 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 − 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ ∞ x2 + 2x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ж) |
lim |
|
|
(x + 1)2 ; |
|
|
|
з) |
lim |
|
|
|
|
5 − x − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x3 + 1 |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
и) |
lim |
|
|
|
1 − x − 1 |
; |
|
|
к) |
lim |
|
|
|
x2 +1 − 2x |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 − |
|
|
2 + x |
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
л) |
lim |
|
|
x2 + 1 − 2x |
; |
м) lim |
|
|
|
x2 + x − |
|
|
x2 − x |
) |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
x→+∞( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Вычислить пределы последовательностей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) |
nlim→∞ n( n |
2 |
+ 1 − n); |
|
б) lim |
2n +7 n |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
n |
− |
7 |
n− |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
187
|
в) |
lim |
|
|
|
2 +4 +6 + K + 2n |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
+ 3 |
+5 +K +(2n − |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
n (n +1) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Найти и исследовать точки разрыва функций: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) f (x)= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
б) |
f (x)= |
x2 −6 x − 16 |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
(1 |
+ x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
f (x)= |
2 |
x+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
f (x)= arctg |
|
x |
|
; |
|
||||||||||||||||
в) |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
5 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) |
f (x)= sin |
|
1 |
|
; |
|
|
|
е) |
|
f (x)= |
|
|
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 3 x−3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва и построить графики:
а)
в)
7.
0, |
|
|
x < 0, |
|||
|
x |
, 0 |
≤ x < 2, б) |
|||
f (x)= 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
x ≥ 2; |
|
x + 2, |
||||||
|
|
2 |
− 4 |
|
||
|
x |
|
, x ≠ −2, |
|||
|
|
|
|
|||
f (x)= x + 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
x = −2; |
|
0, |
|
|
|
10 − x |
2 |
, |
|
x ≤ 3, |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x)= |
|
|
|
|
|
, 3 |
< x ≤ 4; |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
x − |
3 |
|
|
|
|
|
x > 4; |
||||||
log |
4 |
x, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) f (x) |
= |
x − 1 |
+ |
|
x − 2 |
|
|
. |
|||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x − 2 |
Вычислить пределы:
|
|
|
|
a x |
|
|
|
||
а) |
lim |
1 + |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
||
в) |
lim |
2x + 1 |
x−1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
+ 3 |
|||||||
|
x→−∞ |
4 x |
|
|
|
||||
д) |
lim ( |
1 + sin x)− |
1 |
; |
|||||
x |
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
г)
е)
3x + 1 3−x lim ; x→∞ 3x − 1
lim |
x + 1 |
x2 |
||
|
|
|
; |
|
|
||||
x→+∞ x + 2 |
|
|
1
lim (cos x)sin x .
x→0
188
8.Вычислить пределы с помощью эквивалентных бесконечно малых:
а) lim |
sin7 x |
; |
б) lim |
arc sin |
2 x |
; |
|
x→0 |
x2 +π x |
|
x→0 |
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
в)
д)
ж)
и)
lim |
cos 4 x − 1 |
; |
|
|
г) |
lim |
|
|
eπ x − 1 |
|
; |
|
|||||
x arctg2 x |
|
|
|
3 1 + x − 1 |
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||||||
lim |
|
|
ln(1 − 5 x) |
; |
е) |
lim |
|
log2 (1 + x2 ) |
; |
||||||||
sin(π (x +7 )) |
|
1 − cos x |
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π x |
|
|
|
||
lim |
1 − sin3 x |
; |
|
з) |
lim |
cos 2 |
|
|
; |
|
|
||||||
x→ |
π |
cos2 x |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
2x−1 − |
1 |
|
|
|
|
||
2 |
lg x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→10 |
x − 9 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Ответы к упражнениям
1. а) ε > 0 N > 0 : x < −N f (x)− b < ε ;
б) K > 0 N > 0 : x > N f (x)< −K ; в) K > 0 N > 0 : x < −N f (x)> K ;
г) K > 0 δ > 0 : x0 −δ < x < x0 f (x) > K ; д) ε > 0 δ > 0 : x0 < x < x0 +δ f (x)− b < ε ; е) K > 0 δ > 0 : 0 < x − x0 <δ f (x)< −K .
3. а) 0; б) −∞ ; |
в) не существует; г) – 0,5; д) –2; |
е) |
∞ ; |
|||||||
ж) 0; |
з) – 0,25; |
и) |
2 ; |
к) –1; |
л) – 3; |
м) 1. 4. а) 0,5; |
б) – 7; |
|||
в) 1; |
г) 1. |
5. |
а) |
x = −1 |
– точка разрыва 2-го рода, |
|||||
f (−1 ± 0) = −∞ ; |
б) |
x = −2 |
– |
точка |
устранимого |
разрыва, |
||||
f (−2 ± 0) = −10 ; |
в) |
x = 0 |
– точка |
разрыва |
2-го |
рода, |
||||
f (0 −0) = 0, f (0 + 0) = +∞ ; |
г) x = 5 – точка разрыва 1-го рода, |
189
f (5 ± 0)= ±π ; |
д) x = 0 |
|
– точка разрыва 2-го рода, lim sin |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
x = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||||
не |
существует; |
|
е) |
– |
|
|
|
точка |
разрыва |
2-го рода, |
|||||||||||||||||
f (1 ± 0)= ±∞ , |
|
x = 3 |
|
|
– |
точка |
разрыва |
|
1-го |
рода, |
|||||||||||||||||
f (3 −0)= 1, f (3 + 0)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. а) непрерывна во всех точках, кроме |
x = 0 ; |
|
в точке x = 0 |
||||||||||||||||||||||||
непрерывна справа ( f (0 + 0)= f (0)= 1 ), |
слева имеет разрыв |
||||||||||||||||||||||||||
1-го рода ( f (0 −0)= 0 ); |
|
б) непрерывна во всех точках, кроме |
|||||||||||||||||||||||||
x = 3 ; |
в точке x = 3 |
непрерывна |
|
|
слева ( f (3 −0)= f (3)= 1 ), |
||||||||||||||||||||||
справа |
имеет разрыв 2-го рода ( f (3 + 0)= +∞); |
в) непрерывна |
|||||||||||||||||||||||||
во всех точках, кроме |
x = −2 ; в точке |
x = −2 |
устранимый раз- |
||||||||||||||||||||||||
рыв |
f (−2 ± 0)= −4 ≠ f (−2)= 0 ); |
|
|
г) непрерывна во всех точках, |
|||||||||||||||||||||||
кроме |
x = 0 (разрыв 2-го рода, |
f (0 ± 0)= m∞ ) и |
x = 2 (разрыв |
||||||||||||||||||||||||
1-го рода, f (2 −0)= −0,5 , f (2 + 0)= 1,5 ). 7. |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
а) |
ea ; б) |
|
e− 3 ; |
||||||||||||||||||||||||
в) +∞ ; г) 0; д) |
1 |
; е) 1. |
|
8. а) |
7 |
|
; б) 4; в) 4; г) 3π ; д) |
5 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
π |
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
е) 0; ж) 1,5; з) −π lg 4 ; и) 0,2 lg e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
7. Образец контрольного задания |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1. Вычислить |
|
lim |
|
x2 + x − 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 − 4 x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2. Вычислить |
|
lim |
2 x + 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
4 x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. Вычислить |
|
lim |
|
|
2 + x − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x→2 |
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. Вычислить |
|
|
lim |
|
e4 x − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Сколько последовательностей из перечисленных являются сходящимися?
190