matem-up1

лограмма»). Очевидно, что оба правила дают одинаковый ре зультат.

Если требуется сложить большое число векторов, то удобнее пользоваться первым правилом: начало каждого следующего вектора совмещают с концом предыдущего. Суммой этих векто ров будет вектор, соединяющий начало первого вектора с кон цом последнего вектора («правило

висит от знака числа λ:

λar ↑↑ ar , если λ > 0 ;

λar ↑↓ ar , если λ < 0 ;

λar = 0 , если λ = 0 .

Вектор (−1)ar = − ar называется противоположным к a .

правлен с вектором a , его называют ортом вектора a и обо значают ar0 .

90

Из определения произведения вектора на число следует довольно важный результат.

Теорема 3.1 (свойство коллинеарных векторов).

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда,

когда они отличаются только числовым множителем:

Значит, длина вектора b в 23 раза больше. Направление векто

ров противоположное, поэтому br = − 23 ar. Ясно, что ar = − 23 br.

Рассмотренные операции над векторами обладают сле дующими свойствами:

1) ar + br = br + ar ; 2) (ar + br)+ cr = ar + (br + cr);

3) α (ar + br)=αar +αbr ; 4) (α + β )ar =α ar + β ar;

5) α (β ar) = (α β )ar.

91

Советуем читателю проверить эти свойства с помощью рисун ков.

С помощью основных операций сложения векторов и умно жения вектора на число можно определить ещё одно полезное

Kдины сторон четырёхугольника

ABCD буквами M, N, K, T (см. ри

92

ar = b ПрLar = ПрLbr.

Отметим, что обратное утверждение неверно: из равенства проекций не следует, в общем случае, равенство векторов.

Свойство 2.

ПрLar = ar cosϕ , где ϕ – угол между вектором a и осью L.

Это равенство следует из определения косинуса угла как отношения прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном

треугольнике. Заметим, что если угол ϕ – острый, то cosϕ и

ПрLa положительны, а если угол ϕ – тупой, то cosϕ и ПрLa

отрицательны.

Свойство 3.

ПрL (ar + br)= ПрLar + ПрLbr , ПрL (λar)= λ ПрLar .

Проверить эти свойства проекций на рисунках нетрудно,

читатель может сделать это самостоятельно.

Замечание. Можно также говорить о проекции вектора a

на некоторый другой вектор b . В этом случае рассматривают

94

линейно зависимы.

Теорема 3.3. Два вектора линейно зависимы они кол

линеарны.

Доказательство следует из теорем 3.1 и 3.2.

Утверждение теоремы 3.3 можно сформулировать и по

другому:

два вектора линейно независимы они неколлинеарны.

При решении некоторых задач можно ограничиться только векторами, параллельными одной и той же плоскости. Будем обозначать множество таких (компланарных между собой) век

торов 2 . Заметим, что множество 2 замкнуто относительно

сложения векторов и умножения вектора на число, т. е. приме няя эти операции к векторам из 2 мы не выйдем за пределы

2 . Множество с такими свойствами называется векторным пространством (или линейным пространством).

Базисом в 2 называется любая пара линейно независи мых векторов er1 , er2 .

96

зываются координатами вектора a в базисе e1 , er2 . Из теоре мы 3.4 следует, что любые 3 вектора в 2 линейно зависимы.

A M D

Если векторы, которые участвуют в решении задачи, не яв

ляются компланарными, то нужно рассматривать 3 – множе ство всех векторов пространства. Аналогично «плоскому» слу чаю, базисом в 3 являются любые линейно независимые век торы er1 , er2 , er3 .

Заметим, что линейная независимость векторов e1 , er2 , er3

равносильна их некомпланарности. Действительно, 3 линейно независимых вектора не могут быть компланарными – по тео реме 3.4. Обратно, если e1 , er2 , er3 линейно зависимы, то, по тео реме 3.2, один из них линейно выражается через другие, а зна чит лежит в одной с ними плоскости.

98