matem-up1

привести к каноническому виду. Определить тип этой линии, её основные параметры. Сделать рисунок.

Решение. Группируем слагаемые, содержащие одну переменную:

9(x2 – 10x) + 16(y2 + 2y) + 97 = 0.

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

9(x2 – 10x + 25 – 25) + 16(y2 + 2y + 1 – 1) + 97 = 0,

9(x – 5)2 – 225 + 16(y + 1)2 – 16 + 97 = 0,

9(x – 5)2 + 16(y + 1)2 = 144.

Введём новые пеpеменные:

x1 = x −5, y1 = y + 1 .

Геометрически эта замена означает собой параллельный пере нос осей координат. Начало новой системы координат находит ся в точке O1(5, –1). В новой системе O1X1Y1 уравнение запишет ся в виде

9 x12 + 16 y12 − 144 = 0

или (после переноса вправо свободного члена и деления на него) в канонической форме

147

Пример 4.12. Уравнение линии 2 го порядка

x2 + 4x – 4y + 8 = 0

привести к каноническому виду. Определить тип этой линии, её основные параметры. Сделать рисунок.

Решение. Группируем члены, содержащие x, выделяем полный квадрат:

(x2 + 4 x + 4)− 4 − 4 y + 8 = 0 (x + 2)2 = 4 (y − 1).

Сделаем замену переменных (или, с точки зрения геомет рии, параллельный перенос): x1 = x + 2, y1 = y − 1 . Начало но вой системы координат – точка O1(–2, 1). В системе координат

O1X1Y1 получили каноническое уравнение параболы:

x12 = 4 y1 .

O1

сы y1 = −1 . В старой системе коорди –2 O X

наты фокуса F (−2, 2), уравнение директрисы y = 0 (ось OX).

Пример 4.13. Составить уравнение линии, расстояния каж дой точки которой от точки A(2, 0) и от прямой 5 x + 8 = 0 от

148

носятся как 5:4.

Решение. Пусть M(x, y) – любая точка линии. По условию:

чим:

4 (x − 2)2 + y2 = 5 x + 58 .

Проведём необходимые преобразования:

16 (x − 2)2 + 16 y2 = 25 x2 + 80 x + 64 9 x2 + 144 x − 16 y2 = 0 .

Приведём уравнение к каноническому виду, выделяя полный

квадрат:

9(x2 + 16 x + 64 −64)− 16 y2 = 0 9(x + 8)2 − 16 y2 = 9 64 .

Сделаем замену переменных: x1 = x + 8, y1 = y . Получаем ка ноническое уравнение гиперболы:

149

ках F1 (−10 , 0 ), F2 (10 , 0 ) .

Уравнения асимптот: y1 = ± 43 x1 .

5. Полярная система координат

Декартова прямоугольная система координат – не единст венный способ задания положения точки на плоскости или в пространстве с помощью чисел. Рассмотрим удобную для мно гих задач полярную систему координат.

Говорят, что на плоскости выбрана полярная система ко ординат, если указана точка О, которую называют полюсом, и

исходящая из неё полупрямая (луч) OP – полярная ось.

Полярными координатами точки M

отрезком ОM. То, что точка М имеет полярные координаты r и

ϕ, записывают так: M (r ,ϕ). Ясно, что r ≥ 0 . Угол ϕ считается положительным при отсчёте против часовой стрелки и отрица тельным – по часовой стрелке. Изменение полярного угла мож но ограничить промежутком (−π ,π ]. Для полюса угол не опре делён, а r = 0 .

150

Рассмотрим на плоскости и декартову прямоугольную сис тему координат, и полярную. Эти системы называются согласо ванными, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с по ложительным направлением оси ОХ.

Одну и ту же точку M в согласованных системах координат можно задать декартовыми координатами и полярными коор динатами: M (x, y), M (r ,ϕ). С помощью рисунка легко полу чить формулы, выражающие декартовы координаты через по лярные:

Пример 4.14. Построить точки, заданные полярными коор

Решение. Подробно рассмотрим построение точки M1. От ложим угол ϕ = π4 от полярной оси против часовой стрелки и на

полученном луче построим точку M1 на расстоянии r = 2 . Мож

151

Аналогично строятся и остальные точки (см. рисунок).

Уравнение линии в полярных координатах в общем случае записывается так: F (r ,ϕ) = 0 .

Пример 4.15. Задано уравнение в декартовой системе ко

152

4

уравнением: r = 1 + cosϕ .

Решение. Возьмём несколько значений ϕ на [0,π ], при ко

торых легко вычислить cosϕ , найдём соответствующие значе ния r :

r (−ϕ) = r (ϕ ) . Значит, выбирая отрицательные углы (от поляр ной оси по часовой стрелке), будем получать точки, симметрич ные найденным относительно полярной оси. Соединяя все най денные точки плавной линей, получим так называемую кардио иду.

6. Плоскость в пространстве

Дадим точное определение понятия «плоскость». Пусть n –

ненулевой вектор, M0 – точка. Плоскостью называется множе

uuuuur

ство точек M таких, что векторы M0 M и n перпендикулярны:

153

кости: 2 x − 4 y + z + 3 = 0 .

Известно, что три точки пространства, не лежащие на од

ной прямой, определяют единственную плоскость.

Задача. Найти уравнение плоскости P, проходящей через 3

жат в плоскости Р, а это означает, что эти векторы компланарны.

Воспользуемся критерием компланарности 3 х векторов (их смешанное произведение должно быть равно нулю):

(uuuuuur uuuuuuur) uuuuuuur

M1 M × M1 M2 M1 M3 = 0 .

Вкоординатной форме получаем уравнение плоскости:

Эту задачу можно решить и другим способом, если заме

uuuuuur uuuuuuur

тить, что векторное произведение M1 M2 × M1 M3 даёт нам вектор нормали для рассматриваемой плоскости.

155