matem-up1

Нетрудно убедиться, что графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x .

2.3. Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называют постоянные функции y = C (для различных чисел С), степенные функ-

ции y = xa (для различных a), показательные и логарифмиче-

y = ctg x и обратные к ним. Напомним их графики и некоторые свойства.

1) График постоянной функции y = C – прямая, параллельная оси OX (горизонтальная прямая) и проходящая через точку (0, C ) на оси OY. В частности, графиком функции y = 0 является ось OX.

2) Область определения и свойства степенной функции y = xa , a существенно зависят от показателя степени a.

Приведём графики постоянной и степенных функций, соответствующие некоторым показателям степени a.

31

Если a – чётное число, то y = xa – чётная функция, её график симметричен относительно оси OY (например, y = x2 ,

y = x−2 ). Если a – нечётно, то y = xa – нечётная функция, её

график симметричен относительно начала координат (например, y = x3 , y = x−1 ).

Пусть n . Нетрудно показать, что функция y = x2n имеет такие же свойства и похожий график, что и функция

ратной функций на одном чертеже, пользуясь симметрией относительно прямой y = x .

32

Область определения показательной функции – множество , множество её значений – + ={x | x > 0} .

Напомним основные свойства степеней, используемые при работе с показательной функцией:

x

x1 , x2 a x1 +x2 = a x1 a x2 , a x1 −x2 = ax1 , a x1 x2 = (a x1 )x2 = (a x2 )x1

a 2

4)Так как функция y = a x задаёт биективное отображение

→+ , то существует обратная функция

loga x : + → ,

которую называют логарифмической (при a > 0, a ≠ 1 ). Значит,

графики логарифмических функций (для различных a) симметричны графикам соответствующих показательных функций относительно прямой y = x :

Используя определение взаимно обратных функций, получаем

( x + ):

aloga x = x .

Из этого основного логарифмического тождества и свойств степеней легко получить свойства логарифмической функции:

33

Приведём некоторые важные тригонометрические формулы, полезные при работе с тригонометрическими функциями:

основное тригонометрическое тождество: sin2 x + cos2 x = 1 ;

формулы сложения:

sin(x1 ± x2 ) = sin x1 cos x2 ± cos x1 sin x2 , cos(x1 ± x2 )= cos x1 cos x2 m sin x1 sin x2 ;

формулы преобразования суммы функций в произведение:

34

Другие полезные формулы легко получить из приведённых, например:

cos 2 x = cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos2 x − sin2 x =

=2 cos2 x − 1 .

6)Для построения обратных тригонометрических функций

поступим так же, как и в случае функции y = x2 .

Функция sin x : →[−1, 1] – не биективна, но будет биек-

Построим график арксинуса, используя симметрию (график sin x изображён пунктиром). Как и sin x , функция arcsin x –

35

Обратной для этой функции является функция арккосинус arccos x : [−1, 1]→[0,π ].

Графики cos x и arccos x симметричны друг другу относительно прямой y = x . Рекомендуем читателю доказать равенст-

во: arccos(−x) = π − arccos x .

Аналогично, для определения арктангенса сужаем область определения тангенса, рассмотрим биективную функцию

Обратная к ней функция называется арктангенсом:

arctg x : → −π , π .

2 2

−π2

Элементарными называются функции, получаемые из основных элементарных функций с помощью арифметических операций и суперпозиций (взятия функций от функций), применённых конечное число раз. Примеры элементарных функций:

f = 2 sin(x2 )+10x arctg5x, f = 1 −log(3 − x) и т. д. Класс эле-

ментарных функций наиболее изучен и чаще всего применяется в приложениях. Однако некоторые задачи приводят к рассмот-

36

рению функций, не являющихся элементарными (например, интегрирование, решение дифференциальных уравнений, суммирование рядов).

2.4. Преобразование графиков

Полным исследованием функций и построением их графиков мы будем заниматься позже, в разделе 7. Сейчас освоим несколько приёмов построения графиков, не требующих глубокого исследования функций. Пусть график какой-либо функции

f (x) известен:

37

(сдвигать нужно вверх, если a > 0 , или вниз, если a < 0 ).

(сдвигать нужно влево, если a > 0 , или вправо (на рисунке), если a < 0 ).

G f сжатием по оси OХ в b раз, а при 0 < b < 1 – растяжением.

Итак, последовательно выполняя рассмотренные преобразования графика функции f (x), можно построить график

функции bf (k (x + a))+ d .

Пример 1.22. Построить график функции f (x)= −0,5 arccos x 2− 2 +π .

Решение. Будем строить график путём последовательных преобразований известного графика функции

f1 = arccos x, x [−1, 1].

1) Строим график f2 = − f1 = −arccos x симметрично графику f1 относительно оси OX.

38

2.5. Многочлены

Многочленом называется функция, заданная формулой: f (x) = a0 xn + a1 xn−1 +K+ an−1 x + an .

Здесь a0 , a1 ,K, an – действительные числа, коэффициенты многочлена f (x) . Ясно, что f (x) – элементарная функция, её область определения . Если a0 ≠ 0 , то целое неотрицательное число n называется степенью многочлена.

39

Примеры многочленов: 2 x4 − 5 x3 + 3x + 9 – многочлен 4-й степени, 5 x + 2 – многочлен 1-й степени; любая константа (число) – многочлен степени 0. Особый случай – число 0, степень

a0 = b0 , a1 = b1 , K. Это следует из основной теоремы алгебры

(см. ниже).

Для многочленов, как и для других функций, определены алгебраические операции. Причём сумма, разность, произведение многочленов снова являются многочленами. Однако частное двух многочленов уже не обязательно является многочле-

ном. Действительно, равенство x23+ 5 = f (x) равносильно ра-

венству 3 = (x2 + 5) f (x), которое, очевидно, не может выпол-

няться ни для какого многочлена f (x). С этой точки зрения,

алгебра многочленов похожа на алгебру целых чисел: частное двух целых чисел тоже не всегда является целым числом. Однако можно разделить одно целое число на другое с остатком. Оказывается, деление с остатком можно выполнять и для многочленов.

Теорема 1.2 (о делении многочленов с остатком). Для любых многочленов f (x) и g (x) существуют многочлены h(x)

и r (x), такие, что

f (x)= g (x) h(x)+ r (x),

причём степень остатка r (x) меньше степени делителя g (x).

Вместо доказательства рассмотрим на примере алгоритм деления многочлена на другой многочлен.

40