matem-up1
.pdfточку M1(1, –1, –1), причём одна плоскость содержит ось OX, а
другая – ось OZ.
17. Написать уравнение плоскости, зная, что точки
A(4, 0, –3) и B(1, –5, 2) симметричны относительно этой плоско
сти.
18. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
uuuuuuur
M1(5, 3, 4) параллельно вектору M2 M3 , где M2(–1, 1, 5),
M3(1, 6, –3).
19. Найти уравнения прямой, проходящей через точку
(2, –5, 3):
а) параллельно оси OZ;
б) параллельно прямой x 4− 1 = y−−62 = z +9 3 ;
2 x − y + 3 z − 1 = 0,
в) параллельно прямой 5 x + 4 y − z −7 = 0.
20. Составить уравнения прямой L, лежащей в плоскости
OYZ, проходящей через начало координат и перпендикулярной
прямой
2 x − y = 2, L1 : y + 2z = −2.
21. Найти точку A пересечения прямой L, проходящей через
точки M1(–3, –9, –6) и M2(1, –1, –2), с плоскостью
167
P : 4x – 3z – 5 = 0.
10. Ответы к упражнениям
1. а) 2 x + 3 y + 4 = 0 ; б) x − 2 y + 2 = 0 ; в) x − 1 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
г) x − y − 1 = 0 ; д) 2 x + y − 5 = 0 ; е) x + y − 1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
22 |
|
|
30 |
|
|
|
|||||
2. а) 2 x − y = 0 ; б) 3 x + 4 y + 11 = 0 ; в) M |
− |
|
|
|
|
, |
− |
|
|
; г) |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
17 |
17 |
|
|
13 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. 4 x − 11 y + 43 = 0 . |
|
4. x − y −7 = 0 , x − 2 y − 10 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. 3 x + 2 y − 4 = 0, 3x + 2 y + 22 = 0 . |
|
6. а) λ = 2 ; б) λ = − |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
7. 45o . |
|
8. а) a = 3, b = 2 ; б) F1 (− 5 , 0), F2 |
|
( 5 , 0); в) ε = |
|
5 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. а) |
|
x2 |
− |
y2 |
|
= 1 ; б) |
|
x2 |
− |
y2 |
= 1 |
; в) |
|
x2 |
− |
y2 |
|
|
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
9 |
|
9 |
16 |
36 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. а) |
|
y2 |
= ±12 x ; б) |
|
y2 = −16 x ; |
в) x2 = 8 y . |
|
|
11. x2 + y2 = 4 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
12. а) |
( |
x −3 |
2 |
+ |
( |
y+4 |
) |
2 |
=25; |
б) (x +2)2 |
+ (y −1)2 |
=1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) (x+3)2 − |
y2 |
=1; г) (y − 1)2 = 10 (x + 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. x + y − 2z + 4 = 0 , r = |
1,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
14. а) |
|
9 y − z − 2 = 0 ; |
б) 2 x − y − z = 0 ; в) x ± |
|
|
26 y + 3z − 3 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
15. 5 x + 14 y −74z + 31 = 0 . 16. 60o . |
17. 6 x + 10 y − 10z + 5 = 0 . |
|
168
18. |
|
|
x − 5 |
= |
|
y − 3 |
= |
z − 4 |
. 19. а) |
{xy +− |
52 == |
00 ; |
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
−8 |
|
|
|
||||||||||||||||
б) |
x − 2 |
= |
|
y + 5 |
= |
z − 3 |
; в) |
x − 2 |
= |
y + 5 |
|
= |
z − 3 |
. |
|
|||||||||||||
4 |
|
|
|
−6 |
|
−11 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
17 |
|
13 |
|
|
|||||||||||
20. |
|
|
x |
= |
|
y |
= |
z |
. |
21. A(−4, −11, −7 ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Образец контрольного задания |
|
|||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
расстояние |
|
|
между |
точками |
||||||||||||||
A(2, − 4, − 5), B (3, − 12, − 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Найти расстояние от точки A(1, 1) до прямой, проходящей через точки B (2, 3) и C (−1, − 1).
3.Определить угловой коэффициент прямой, лежащей на плоскости OXY и проходящей через точки A(3,7 ), B (1, − 3).
4.Найти радиус окружности x2 + y2 + 4 x − 10 y − 35 = 0 .
5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M1 (1, − 1, 2), M2 (2, 1, 2), M3 (1, 1, 4).
Вответе указать аппликату точки пересечения этой плоскости с осью OZ.
6.Составить канонические уравнения прямой L, проходящей через точки M1 (−2, 2, 3), M2 (−1, 0 , 4). В ответе указать зна
чение t, при котором точка M3 (1, − 4 , t ) L .
169
7. Найти точку пересечения прямой |
x − 1 |
= |
y + 1 |
= |
z |
с плос |
2 |
1 |
|
||||
|
|
3 |
|
костью 2 x − y + z + 3 = 0 . В ответе указать наименьшую коор динату этой точки.
8. Определить угол между плоскостями 2 x −6 y − 4z + 5 = 0 и 3 x − 9 y −6z − 1 = 0 .
170
Раздел 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1.Предел функции
1.1.Определение
Мы продолжим изучение функций одной действительной переменной, начатое в разделе 1 «Введение». Напомним, такая функция представляет собой отображение f : D → , областью
определения является некоторое множество действительных чисел D . Числа x отождествляются с точками число-
вой прямой, поэтому термины «число» и «точка» в этом разделе означают одно и то же.
Для определения предела функции используется понятие проколотой окрестности. Множество
Uεo (x0 ) ={ x : 0 < x − x0 < ε}
называется проколотой ε-окрестностью точки x0 . Другими словами, из окрестности Uε (x0 ) удаляется сама точка x0.
Проколотые окрестности бесконечно удалённых точек +∞,
–∞ не отличаются от обычных.
Точка x0 называется предельной точкой множества D ,
если любая её проколотая окрестность имеет непустое пересечение с D. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству. Важно, что к предельной точке можно стремиться, в D есть точки, произвольно близкие к x0.
Введём понятие предела функции f (x) в точке x0. При
этом x0 должна быть предельной точкой области определения D рассматриваемой функции.
Говоря нестрого, то, что число b является пределом функции f (x) в точке x0 , означает: если переменная x, изменяясь,
стремится к x0, то значения функции f (x) стремятся к числу b.
155
Приведём теперь более строгое определение, использующее понятие проколотой окрестности.
Число b называют пределом функции f (x) в точке x0 , ес-
ли для любой окрестности точки b (даже очень маленькой) найдётся такая проколотая окрестность точки x0, что любое число x
из неё переводится функцией f (x) в окрестность точки b.
Обозначение: b = lim f (x).
x→x0
Это определение коротко можно записать так:
x→x |
( |
x |
) |
= b U |
ε ( |
b |
) |
δ ( |
0 ) |
δ |
( |
0 ) |
f |
( |
) |
U |
ε ( |
b |
) |
. |
lim f |
|
|
|
|
Uo |
x |
: x Uo |
|
x |
|
x |
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это достаточно общее определение предела функции, в нём x0 и b не обязательно конечны. Можно дать определение и подругому – как говорят, на языке «ε – δ». Но тогда приходится рассматривать несколько случаев. Например, если x0 и b конечны, определение предела можно записать в таком виде:
x→x |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
||
lim f |
|
|
x |
|
= b ε > 0 δ > 0 : 0 < |
x − x |
<δ |
f |
|
x |
|
− b |
< ε . |
|||||||||||||||||
0 |
Пример 5.1. |
Пусть |
|
|
f (x) = C |
|
– постоянная функция. По- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
казать, |
|
что lim f (x) = lim C = C |
|
(предел постоянной равен |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
этой постоянной). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Действительно, для любого положительного числа |
||||||||||||||||||||||||||||||
ε и для любого x выполняется |
|
|
f (x)− b |
|
= C −C = 0 < ε . По- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
этому в качестве δ |
|
можно взять любое положительное число. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 5.2. Пусть |
f (x)= x . Показать, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
f |
( |
x |
) |
= lim x = x |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→x |
|
|
|
x→x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Возьмём произвольное число ε > 0 и потребуем, |
|||||||||||||||||||||||||||||
чтобы |
|
|
f (x)− b |
|
= |
|
x − x0 |
|
|
< ε . |
Это неравенство будет справед- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ливо для любого x из Uδo |
|
|
(x0 ) |
, если взять δ = ε . |
|
|
|
|
|
|
Пример 5.3. Показать, что lim a x = 1 .
x→0
156
Решение. Согласно определению предела, нужно показать,
что
ε > 0 δ > 0 : 0 < x <δ a x − 1 < ε .
Решим последнее |
неравенство, считая, для определённости, |
|||
a > 1 : |
|
|||
|
a x − 1 |
|
< ε 1 −ε < a x < 1 +ε loga (1 −ε )< x < loga (1 +ε ). |
|
|
|
|||
Если в качестве δ |
взять любое число, по модулю меньшее каж- |
|||
дого из этих логарифмов (см. рисунок), то верно |
x <δ loga (1−ε)< x <loga (1+ε) 1−ε <ax <1+ε ax −1 <ε ,
что и требовалось.
|
−δ |
δ |
|
−ε |
׀ |
ε |
|
׀ |
( ׀ |
) ׀ |
׀ |
( |
) |
׀ |
|
loga (1 −ε ) |
0 |
loga (1 +ε ) |
1 −ε |
|
1 |
|
1 +ε |
Конечно, если ε > 1 , то неравенство 1 −ε < a x нельзя логарифмировать. Да и не нужно – оно справедливо при любых x.
Если хотя бы одно из x0 , b бесконечно, то для определения предела на языке «ε – δ» получаются другие записи. Например, если x0 конечно, а b = +∞ :
lim f (x ) = +∞ N > 0 δ > 0 : 0 < |
|
x − x0 |
|
< δ f (x ) > N . |
|
|
|||
x→x0 |
|
|
|
|
Рекомендуем читателю записать и другие возможные слу- |
||||
чаи. |
|
|
||
Замечание. Нетрудно доказать (проведя рассуждение «от |
||||
противного»), что у функции f (x) в точке |
|
x0 не может быть |
двух разных пределов, т.е. если предел существует, то он единственный. Это доказательство – хорошее упражнение на понимание определения предела.
Введём понятия односторонних пределов. Если x → x0 и при этом x < x0 , то говорят, что x стремится к x0 слева и пишут: x → x0 −0 . Аналогично, если x → x0 и x > x0 , то x стремится
157
к |
x |
0 |
справа и пишут: x → x |
0 |
+ 0 . В таких случаях |
lim |
f |
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
x→x −0 |
|
|
||||
называют левосторонним пределом функции f (x) |
0 |
|
|
|
|
||||||
в точке x0, |
|||||||||||
а |
lim |
f (x) – правосторонним пределом. |
|
|
|
|
|
||||
|
x→x0 +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения предела функции следует, что предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны:
lim f (x) = b |
f (x0 −0) = f (x0 + 0) = b . |
x→x0 |
|
Здесь приняты обозначения |
f (x0 −0), f (x0 + 0) для левосто- |
роннего и правостороннего пределов соответственно. Если же
f (x0 −0) ≠ f (x0 + 0), то lim f (x) не существует.
x→x0
Пример 5.4. Показать, что функция
−1 sgn x = 0
1
не имеет предела в точке
при x < 0
при x = 0 (функция знака)
при x > 0 x0 = 0 .
Y |
|
Решение. Вычислим односторонние пределы |
|||
1 |
в данной точке: |
|
= lim (−1) = −1, |
||
|
lim |
sgn x |
|||
|
|
||||
O |
X |
x→0−0 |
|
x→0−0 |
|
lim |
sgn x |
= lim 1 = 1. |
|||
|
–1 |
||||
|
x→0+0 |
|
x→0+0 |
||
Односторонние пределы не совпадают, поэтому lim sgn x не |
|||||
|
|
|
|
x →0 |
|
существует. |
|
|
|
||
Замечание. Обратим внимание на то, что в определении |
|||||
предела функции |
f (x) требуется, |
чтобы переменная x, при- |
ближаясь к x0, не принимала значения x0. Это делается для того, чтобы значение f (x0 ) не влияло на величину предела. Дейст-
вительно, функция в точке x0 может быть и не определена, а если и определена, то не обязательно предел совпадает со значением функции в предельной точке.
158