2.5. Линейные операторы

2.5. Линейные операторы

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пусть в некотором базисе линейного пространст,ва Хп задан произвольный вектор х = {xi,a;2, •. • ,Жп}. Явллет,ся ли линейным оператор А : Хп »-> Хп такой^ что

2<?е / i , /г, • • •, /п — некоторые функции п переменных^

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Х = {a:i,X2,... ,а:п} и у = {2/1,2/2, • • • ,2/п} — произвольные векторы пространства Х„, то ж4-2/ = {^i+T/i, ^2+2/2, • • •, 2^п + 2/п} и аж = {axi, ах2, ... , ажп}.

Проверяем условия линейности оператора:

А{х + у) = Ах + А2/,

А{ах) = аАх.

Если условия линейности выполнены, т.е.

fi{axi,ax2,..., ахп) = Q:/i(xi, Ж2,..., Жп)

при г = 1,2,..., п, то оператор Л линеен, в противном случае опера­ тор А нелинеен.

ПРИМЕР . Пусть в некотором базисе линейного пространства Х^ задан произвольный вектор х = {х1,Х2,хз}' Является ли линейным оператор А : Х^ ^ Х^ такой, что

Ах = {xi - Х2,2x1 + ^3, Зжх}?

РЕШЕНИЕ. Пусть х — {xi,X2,x^} и г/ = {t/i, 2/2,2/з} - произвольные векторы пространства ХзТогда х -\-у — {xi + 2/I) ^2 + 2/2, а:з + 2/з} и ах = {axi, аж2, скжз}.

*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравне­ ний и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановки в уравнения.

Проверяем условия линейности оператора:

А{х-\-у) = {(xi+2/i)-(a;2-f2/2),2(a;i+2/i) + (x3+?/3),3(xi+yi)} =

= {xi - Х2,2x1 + жз, 3xi} + {yi - 2/2,2yi + г/3, ^Vi} = Аж + Ay,

Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор А линеен.

Ответ. Оператор А линеен.

Условия ЗАДАЧ. Являются ли линейными операторы А, В иС1

2. Строим по определению матриц^^ оператора А. Для этого на­ ходим образы базисных векторов г, j , fc и записываем их координаты в базисе i^j^k. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат образов базисных векторов.

3. Раходим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из их определений.

ПРИМЕР. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i,j,^), образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов Vs на плоскость XOY.

РЕШЕНИЕ.

1.Докажем по определению линейность оператора проецирова­ ния. Пусть в базисе г, j , fc имеем произвольный вектор х = {^i, Х2, жз}. Тогда его образ (проекция) есть Рх = {ж1,а:2,0}.

По правилам операций с геометрическими векторами в коорди­ натной форме Vf ={xi,X2,xs} е Уз, Уу = {у1,2/2,2/з} G Vs и Va G R имеем

Р{х + ^) = {xi Н- 2/1, Х2 Ч- 2/2,0} = {жх, д;2,0} + {2/1,2/2,0} = Рх + Ру,

Р{ах) = {axi,ax2,0} = Q:{xi,X2,0} = аРх.

2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов г, jf, fc и запишем их координаты в базисе г, j , /с:

Р? = ? = {1,0,0}, P j = j = {0,1,0}, Pfc=:6= {0,0,0}.

Таким образом, матрица оператора проецирования Р есть

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из определений. ^

Образ оператора проецирования Р — это множество векторов, лежащих в плоскости XOY, следовательно, в базисе г, j , к

lmgP = {iy: у = аг + Рз, а,/ЗеМ}.

Отсюда R g P = 2.

КегР — это множество векторов, коллинеарных оси 0 Z , следова­ тельно, в базисе г, j , ^

КегР = {Ух: x = jk, 7 ^ Щ-

Отсюда Def Р = 1.

Заметим, что Rg Р + Def Р = 2 + 1 = dim V3

Ответ. Оператор Р линеен. Его матрица в базисе i^j^k есть

Условия ЗАДАЧ. Доказать линейность, найт,и матрицу (в ба­ зисе i^j^k), образ, ядро, ранг и дефект оператора.

1.Оператор проецирования на ось ОХ.

2.Оператор отражения относительно плоскости YOZ.

3.Оператор поворота относительно оси ОХ на угол тг/З в поло­ жительном направлении.

4.Оператор отражения относительно плоскости х — z = 0.

5.Оператор проецирования на плоскость у -\- z = 0.

6.Оператор поворота относительно оси 0Z на угол тг/б в поло­ жительном направлении.

7.Оператор проецирования на плоскость х -\-у = 0.

8.Оператор отражения относительно плоскости у — z = 0.

9.Оператор проецирования на плоскость л/Зу + z = 0.

10.Оператор поворота относительно оси 0Y на угол 7г/4 в поло­ жительном направлении.