10.(р = arccos '

1.10.Канонические уравнения прямой

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать канонические уравнения пря­ мой^ заданной как линия пересечения двух плоскост^ей {общими урав­ нениями)

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Проверяем, что векторы п\ = {Ai,5i,Ci} и П2 = {Ач^Вч^Сч} неколлинеарны и, следовательно, плоскости пересекаются по некото­ рой прямой.

Канонические уравнения прямой с направляющим вектором а = = {/, т , п}, проходящей через данную точку Мо(а:о, yo^zo), имеют вид

Поэтому чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти ее на­ правляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.

2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор а ортогонален нормальным векторам

обеих плоскостей, т.е. а -L ni = {Ai,Bi,Ci} и а ± П2 = {Аг, JB2,C2}. Следовательно, направляющий вектор а находим по формуле

3.Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку на­ правляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из коорди­ натных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плос­ кость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.

4.Подставляем найденные направляющий вектор и точку в урав­ нения прямой (1) и записываем ответ.

ПРИМЕР. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

Г 2х-^ Ъу Л-Z-% = {),

\ X - 2?/ - 2z -h 1 = 0.

РЕШЕНИЕ.

1.Проверим, что векторы пх = {2,3,1} и П2 = {1, —2, —2} неколлинеарны (см. задачу 1.2). Имеем

Следовательно, направляюющий вектор а находим по формуле

3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку на­ правляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.

1.11.Точка пересечения прямой и плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти точку пересечения прямой

и плоскости

АхЛ-Ву + Сг + П = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Проверим, что прямая не параллельна плоскости. Это означает, что направляющий вектор прямой а = {/, т , п} и нормальный вектор плоскости п = {А, -В, С} не ортогональны, т.е. их скалярное произ­ ведение не равно нулю:

А1-\-Вт + Спу^ 0.

В этом случае существует единственная точка пересечения прямой и плоскости.

2. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще говоря, надо репшть систему трех уравнений с тремя неизвестными (два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Однако удобнее использовать параметрические уравнения прямой.

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

X = It -\- Xi^ y = mt-{-yi, z = nt-\- zi.

3.Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости

ирешая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

4.Найденное значение to подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

XQ = Но + Xi, уо = mto + yi, ZQ = nto + Zi.

Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются

вточке (хо,2/о,^о).

ПР И М Е Р . Найти точку пересечения прямой

РЕШЕНИЕ.

1.Имеем

(а, п) = 2 • 2 Ч-О • (-3 + (-1) • 1 = 3 7^ 0.

Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются в единственной точке.

2. Положим

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

3. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

2(2t + 1) - 3(-1) 4- l{-t) - 8 = О = > to = 1.

4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 1, получаем

2^0 = 3, 2/0 = - 1 , Zo = - 1 .

Ответ. Прямая и плоскость пересекаются в точке ( 3 , - 1 , - 1 ) .

Условия ЗАДАЧ. Найти точку пересечения прямой и плоскости,

10. ( - 1,2, - 1) .