- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
348 |
|
Гл. 14. Теория поля |
7. |
а = жг 4- 2yj^ |
х -\- у + z = 1. |
8. |
а = yj + zk^ |
2х-\-2у-\-z = 1. |
9. |
a = xi + 2yj + zk, |
x/2 + y + z/S = l. |
10. a=:xi + yj + 2zk, |
ж/З -f 2//2 + г = 1. |
|
Ответы. 1. 1/3 ед. потока. 2. 1/2ед. потока. 3. 1/6 ед. потока. 4. 1/6 ед. потока. 5. 1/8 ед. потока. 6. 1/8 ед. потока. 7. 1/2 ед. потока. 8. 1/8 ед. потока. 9. 4ед. потока. 10. 4ед. потока.
14.3.Поток векторного поля через часть цилиндра
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти |
поток |
векторного поля |
|
|
а = Р{х, у, z)i-V Q(x, у, z)J-f Я(х, у, z)^ |
||
через часть |
поверхности |
|
|
|
2 , 2 |
2 |
|
|
х^ -{-у |
= г^, |
|
вырезаемую |
плоскостями г: = О и z = h {нормаль внешняя к замкну |
||
той поверхности^ образуемой данными |
поверхностями). |
||
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а через поверхность Е с полем единичных нормалей щ определяется форму лой
П = ff{a,no)da. |
(1) |
S
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{x^ у, z) = О, определяется формулой
gradF
^0 = ±1
'IgradFI*
В данном случае F{x, у, z) = х^ + 2/^ — "^^ и, следовательно,
14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра |
349 |
Учитывая, что нормали должны образовывать острый угол с осью ОХ при ж > О, т.е. cos а > О при ж > О, и тупой угол с осью ОХ при X < О, т.е. cos а < О при х < О, выбираем в этой формуле знак плюс.
2. Находим скалярное произведение
(а,По) = |
7 = т = ? |
^ fi^^y.z). |
|
V ^ + У^ |
|
3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным ин тегралом:
11= |
{a,no)d(7= |
f{x,y,z)dcT. |
ss
4.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты
"^ X = |
gcosif, |
y = |
gsm(p, |
z— z.
вэтих координатах поверхность задается условиями
д= г,
О< (у9 < 27Г,
0<z<h.
Поскольку da = rd(pdz, имеем
|
27Г |
h |
li = Г |
d(f |
f {г cos(f J г s'm(p,z)dz. |
00
5.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ, не забы вая о размерности.
ПРИМЕР. Найти поток векторного поля
а= xi + yj + zk
через часть поверхности
вырезаемую плоскостями 2 = О и z = 2. (нормаль внешняя к замкну той поверхности, образуемой данными поверхностями).
350 |
Гл. 14. Теория поля |
РЕШЕНИЕ.
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{x^y^z) == О, определяется формулой
. grad F
Щ = ±-.
"|gradF|'
В данном случае F{x^ ?/, z) = ж^ + т/^ — 1 и, следовательно,
По = ±\Jx^ + у'^
Учитывая что нормали должны образовывать острый угол с осью ОХ при X > О, т.е. cos о; > О при ж > О, и тупой угол с осью ОХ при а: < О, т.е. cos а < О при х < О, выбираем в этой формуле знак плюс.
2. Находим скалярное произведение
^ P{x,y,z)x-VQ{x,y,z)y |
/ 0 . |
2 |
|
(а. По) = |
7 = т = ? |
"" V ^ |
+ 2/ • |
3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным ин тегралом:
П = |
{a,no)da = / / у/х^~+^da. |
4. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты
"^ X = gcosif, у = gsiiKf,
Z — Z.
вэтих координатах поверхность задается условиями
О< (^ < 27Г,
О< Z < 2.
Поскольку с/а = 1- с/<^с?гиж^4-2/^ = 1, имеем
27Г^ Z2
dz.
оо
14.4. Поток векторного поля через часть сферы |
351 |
5. Вычисляем повторный интеграл
|
|
|
|
|
|
27Г |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
П = |
|
dip |
dz = Атг. |
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
Ответ. |
П = 47Г ед. потока. |
|
|
|
|
|
|||||
Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного |
поля а через часть |
||||||||||
цилиндрической |
поверхности |
|
Е, |
вырезаемую |
заданными плоскос |
||||||
тями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
а = х?+ yj + 2z'^k, |
Е = {х2 + 2/^ = 1}, |
z = О, z = 3. |
||||||||
2. |
а = xi-\-yj |
-\- x^yzk, |
|
Е = {ж^ + 2/^=4}, |
г = 2, z = 5. |
||||||
3. |
а = (х-\-zy)X-{xz-y)^-^xk, |
|
Е = {ж^ 4-2/^ = 4}, z = О, z = 2. |
||||||||
4. |
а = а;?+ yj-\-xz'^k, |
Е = {х^ + г/^ = 9}, |
z = О, z == 3. |
||||||||
5. |
а = хг + yj - |
2z^, |
Е = {ж^ + у^ = 4}, |
г = О, z =. 2. |
|||||||
6. |
5 = a:?-f yj-{-yz^k, |
Е = |
{ж^ + у^ = 3}, |
z = О, z = 2. |
|||||||
7. |
а = |
(x-32/)?+(3a: + 2/)jH-z2^, |
Е = {ж^+2/^ = 5}, z = О, z = 2. |
||||||||
8. |
а = хГ+ yj-f |
sin^ zk, |
Е = {х^ + у2 = 4}, |
z = 1, z = 3. |
|||||||
9. |
a = xi-{-yj-\- |
х'^к, |
Е = {ж^ + г/2 = 3}, |
z = 2, |
z = 4. |
||||||
10. |
а = |
3?+ 2/J + zfc, Е = |
{х^ + 2/2 == 2}, |
z === 2, |
z = 4. |
||||||
Ответы. 1. бтг ед. потока. 2. 247г ед. потока. 3. 327г ед. потока. 4. 547Г ед. потока. 5. IGTT ед. потока. 6. 127г ед. потока. 7. 207г ед. потока. 8. 1б7г ед. потока. 9. 127г ед. потока. 10. 47г ед. потока.
14.4.Поток векторного поля через часть сферы
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти |
поток |
векторного поля |
|
а = Р(х, 2/, z)i-\- |
Q{x, у, z)j |
+ Я(х, у, z)k |
|
через часть сферы |
|
|
|
2 , |
2 , |
2 |
2 |
а^ +2/ +z^ = г^,
352 |
Гл. 14. Теория полл |
вырезаемую плоскостью |
z = О {z > 0) {нормаль внешняя к замкну |
той поверхностей^ образуемой данными поверхностями).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а через поверхность S с полем единичных нормалей по определяется форму
лой |
|
П = ff{a,rio)da. |
(1) |
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{xj 2/, z) — О, определяется формулой
grad F
По = ±-:IgradFr
У сферы, очевидно, внешняя нормаль в каждой точке совпадает с радиусом-вектором этой точки, т.е.
{x,y,z}
По —V/X2 + i/2 + z2
2. Находим скалярное произведение:
._ ^ . P{x,y,z)x-\-Q{x,y,z)y-hR{x,y,z)z
V^^ -\-у^ + z^
3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным ин тегралом:
П = |
{a,no)dcr= / / |
f{x,y,z)da. |
ЕЕ
4.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные коор динаты
^ж = ^ cos (^ sin б,
у = ^sin(^sin^,
Z = QCOSO.
вэтих координатах поверхность задается условиями
О< (/? < 27Г,
О< ^ < 7г/2.
14.4. Поток векторного поля через часть сферы |
353 |
|||
Поскольку dа |
= г'^ sm9dif |
dв^ имеем |
|
|
|
27Г |
7г/2 |
|
|
Il = r^ |
|
dip |
f{rcos(fsine^rsm(psme^rcose)smei |
|
5. Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ, не забы вал о размерности.
ПРИМЕР. Найти поток векторного поля
5 = жг + (у + z)j + (г - у)к
через часть поверхности
x^ + y^ + z^ = 9,
вырезаемую плоскостью z = О (>г: > 0) (нормаль внешняя к замкну той поверхности, образуемой данными поверхностями).
РЕШЕНИЕ.
1.Внешняя нормаль в каждой точке сферы a:^ +1/^ + ^^ = 9 сов падает с радиусом-вектором, т.е.
|
По — |
|
2. Находим скалярное произведение |
|
|
._ _. |
х"^ + у{у -\-z) + z{z - у) |
I |
(а. По) = |
\Jx^ -\гу^ л- z^ |
= V^2 4-2/2 + ^2. |
|
|
|
3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным ин тегралом:
П -= и {а, тгЬ) da ^ ff ^х'^ + у'^ + z'^ da.
SЕ
4.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные коор динаты
X = QCOSifSinO^
у = ^sinc^sin^,
Z = QCOSO.
354 |
Гл. 14. Теория ПОЛЛ |
Вэтих координатах поверхность задается условиями
^= 3,
О< V? < 27Г.
Поскольку dcr = 9 sin^d^^c?^, имеем
|
|
|
|
|
|
27Г |
7г/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
= |
/ |
" " |
/ 9-3sini9dl9 = 547r. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
П = 547Г ед. потока. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условия |
ЗАДАЧ. Найти |
поток векторного поля а через |
часть |
|||||||||||
сферы., вырезаемую |
плоскостью |
z = О (^ > 0). |
|
|
|
|||||||||
1. |
а = |
(х + x'^z)i + yj |
+ {z — х^)к, |
x^ 4- 2/^ + 2^ = 4. |
|
|||||||||
2. |
а- |
хгЛ- {у + y'^z'^)] + {z - |
|
zy^)k, |
x^ -f 2/^ + z^ = 4. |
|
||||||||
3. |
а = {х + z)i + УЗ -\- {z — х)к, |
x2 + 2/^ + ^2 = 4. |
|
|||||||||||
4. |
а = {х -\- х'^у)г + {у — x^)j |
|
-f- zk^ |
x^ H- 2/^ + z^ = |
1. |
|
||||||||
5. |
а = {х + yz)i |
+ yj |
+ {z - |
xy)k, |
x2+2/2 4-z2 = 1. |
|
||||||||
6. |
a = |
жг 4- (2/ 4- xyz)j |
-\-{z - |
xy'^)k, |
x2 + 2/^ + 2:2 = ;^ |
|
||||||||
7. |
a = {x - |
xy'^)i + {x'^y + у)з |
+ zk, |
x2 + 2/2 4-z2 = 1. |
|
|||||||||
8. |
a = |
(x + |
2/>2:^)г + yj |
Л- {z - |
|
xyz)k, |
x^ + 2/^ + ^^ = 9. |
|
||||||
9. |
a = |
(x + 2/'2;)г + |
(^ — xz)j + |
zk, |
x^ + 2/2 + 2;^ = 4. |
|
||||||||
10. a = |
(x + xy'^z)i |
-\- {y — x'^yz)j + 2;^, |
x2 + 2/^ + 2^2 = 9. |
|
||||||||||
Ответы. |
1. |
1б7г ед. потока. 2. |
Хбтг ед. потока. |
3. Хбтг ед. потока. |
||||||||||
4. 27Г ед. |
потока. |
5. |
27г ед. |
потока. 6. |
27г ед. |
потока. |
7. |
27г ед. |
||||||
потока. 8. |
547Г ед. потока. 9. |
1б7г ед. потока. 10. ЪАтт ед. |
потока. |
|||||||||||