- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
Г л а ва 12 К Р А Т Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ
При изучении темы КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы научитесь за писывать области (на плоскости и в пространстве) с помощью нера венств в декартовых, полярных, цилиндрических и сферических ко ординатах, расставлять пределы интегрирования и сводить кратные интегралы к повторным. Вы научитесь также решать задачи гео метрии и механики с использованием двойных и тройных интегралов (в декартовых, полярных, обобщенных полярных, цилиндрических и сферических координатах).
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить неравен ства, вычислить полученные повторные интегралы, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами ре зультатов.
12.1. Изменение порядка интегрирования
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Изменить порядок интегрирования
b |
Х2(у) |
d |
х^{у) |
|
I = |
dy / f{x,y)dx+ |
dy |
/ |
f{x,y)dx. |
a |
xi{y) |
с |
хз(у) |
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Область интегрирования состоит из двух областей Di и JD2. Зададим их неравенствами
п — / г |
^ |
^ ^ 2 / ^ ^ ? |
1 |
f/ |
\ |
С ^ У ^ dj |
\ |
286 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
2. Решаем системы неравенств, определяющих области Di и D25 относительно у и получаем
у\^Чх) < у < у^^\х), |
у[^\х) <у< 2/f (:г). |
3. Определяем границы изменения а:, решая неравенства
|
y['\x)<yi'\x), |
y f \ x ) < y f ( x ) . |
|
|
Получаем h < х < mi |
VL I2 < х < т2. |
|
||
4. Области D\ и D2 можно представить в виде |
|
|||
п |
\f |
\ |
h<x<mi, |
\ |
^^= [^-^У)-- у^^\х)<у<у^^\х)]^
5.Записываем интегралы / с измененным порядком интегриро
вания:
|
|
mi |
|
У2^Чх) |
т г |
|
У^^Ч^) |
|
||
|
I |
= |
dx |
/ |
f{x,y)dy+ |
dx |
|
f{x,y)dy. |
||
|
|
^^ |
у['Чх) |
|
'- |
|
yfHx) |
|
||
6. |
Если |
/i = |
/2 |
= /, |
mi |
= 7712 = |
m |
и |
У2 (^) |
== У1 (^) ^^^ |
2/2 (^) ~ 2/1 |
(^)? TO J можно представить одним интегралом |
|||||||||
I |
- 1 |
dx |
/ |
f{x,y)dy |
или I |
= |
dx |
/ |
f{x,y)dy. |
|
Записываем ответ.
ПРИМЕР. Изменить порядок интегрирования
I =' dy |
/(х, y)dx-^ |
dy |
/ |
/(ж, 2/) с^ж. |
12.1. Изменение порядка интегрирования |
287 |
РЕШЕНИЕ.
1.Область интегрирования состоит из двух областей Di и 1)2. Зададим их неравенствами
2.Решаем системы неравенств, определяюш;их области Di и D2, относительно у и получаем
а^^<У<1, 1 < У < \/2 - а:2 .
3. Определяем границы изменения ж, решая неравенства ^2 < 1, 1 < \ / 2 - ж 2 .
Учитывая, что х > О, в обоих случаях получаем О < х < 1.
4.Области Di и £)2 можно представить в виде
5.Записываем интегралы I с измененным порядком интегриро
вания:
1 |
1 |
|
1 |
л / 2 ^ ^ ^ |
I = |
dx |
f{x,y)dy-\- |
dx |
f{x,y)dy. |
о |
|
x2 |
0 |
1 |
6. Пользуясь линейностью и аддитивностью интегралов, получаем
1 |
( |
1 |
|
>/2-х2 |
"j |
1 \/2-х^ |
|
|
1= |
dxl |
f{x,y)dy+ |
/ f{x,y)dy |
У = |
dx |
/ |
f{x,y)dy. |
|
|
|
1 |
yj JL — X" |
|
|
|
|
|
Ответ. I = dx / /(x,?/)(f{x,y)dy
288 |
|
|
|
|
Гл. 12. Кратные интегралы |
||||
Условия ЗАДАЧ. Изменить порядок |
интегрирования. |
||||||||
|
1 2 = = |
|
|
2 |
2/х |
|
|
||
1. |
|
dx |
|
f{x,y)dy-\- |
dx |
|
f{x,y)dy. |
||
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
1/4 |
1/y |
|
|
1 |
у2 |
|
|
|
|
_ 3 |
|
y 3 6 - t / 2 |
|
Q |
д / - у 2 _ 1 2 у |
|||
3. |
/ |
dy |
|
/ |
f{x,y)dx+ |
|
dy |
/ |
f{x,y)dy. |
|
- 6 |
|
|
0 |
|
- 3 |
0 |
|
|
|
16 |
|
0 |
|
32 |
|
0 |
|
|
4. |
/ |
^2/ |
/ |
f{x,y)dx+ |
dy |
/ |
f{x,y)dx. |
||
|
0 |
- 2//4 |
|
16 |
- У З ^ З ^ |
|
|||
|
V e |
v ^ e ^ |
|
2v/3 |
Vl2~a:2 |
||||
5. |
|
dx |
|
|
f{x,y)dy-\- |
|
dx |
|
f{x,y)dy. |
|
0 |
|
0 |
|
|
x/6 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
6. |
/ |
^2/ |
/ |
f{x,y)dx+ |
dy |
/ |
f{x,y)dx. |
||
|
1 |
|
л/ж |
|
2 |
2-Ж |
|
|
|
7. |
/ |
с/дг |
/ |
f{x,y)dy-^ |
dx |
|
f{x,y)dy. |
||
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
y/l-y^ |
|
|
1 |
\ / r = ^ |
|
|
8. |
j |
^y |
|
I |
f{x,y)dx+ |
|
dy |
/ |
f{x,y)dx. |
|
- |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
e^ |
|
e |
e/y |
|
|
|
9. |
/ |
^2/ / |
/(a;,2/)dx+ / ^2/ |
/ |
f{x,y)dx. |
||||
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
- |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
10. |
I dx |
I |
f{x,y)dy+ |
|
dx |
f{x,y)dy. |
|||
- 2 |
- 2 - х |
- 1 |
x3 |