- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
|
12.7. Вычисление площадей в полярных координатах |
307 |
||||||
Условия ЗАДАЧ. |
Найти |
площади фигур, ограниченных |
задан |
|||||
ными |
линиями. |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
2/ = 2/а;, |
у = ^е", |
у = 2, |
у = А. |
|
|||
2. |
у = 1/х, |
2/ = |
2е^, |
у = 1, |
у = 2. |
|
||
3. |
у = 2/ж, |
у = 2^/x, |
ж = 4. |
|
|
|||
4. |
х2 4-2/2 = |
2, |
у = -х'^ |
(2/<0). |
|
|||
5. |
2/ = >/ж, |
2/ = |
О, |
ж = 4. |
|
|
6.X = 2 — 2/^, X = —у.
7. |
2/ = sinx, |
y = cosx, ж = О, ж = 7г/4. |
8. |
2/ = 2а:^ - |
1, у = ж. |
9.х = А/4 - 2/2, ж = 2/V3.
10. 2/ = In а:, у = е/х, |
х = 1. |
|
|
|
|
|||
Ответы. |
1. 5 |
= |
2. |
2. 5 = |
1. |
3. 5 = 28/3 - |
In 16. |
4. 5 = |
= 7г/2 + 1/3. |
5. 5 |
= |
16/3. 6. 5 = |
7/6. |
7. 5 = v ^ - |
1. 8. 5 = |
27/24. |
9.5 = 27Г/3 - \/3/б. 10. 5 = е - 1.
12.7.Вычисление площадей в полярных координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти площадь области D, ограниченной
двумя окруэюностями |
|
|
|
|
2/2 + ai2/ + hx |
+ а:^ = О, |
2/^ + «22/ + ^2^:^ + ж^ = О, |
||
(fli = 0 , 02 = О, |
6162 > О |
или |
bi = 0 , 62 = О, |
aia2 > 0) |
и двумя прямыми |
|
|
|
|
тп\у Н- kix = О, (mf + kl ^ |
0), |
Ш22/ + /i^2a: = О, |
( т | + А:^ т^ 0). |
308 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
|
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ИЗ определения двойного интеграла следует, что |
|
искомая площадь S численно равна |
|
|
|
5 = И I- dxdy. |
(1) |
D
1. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать, переходя к полярным координатам
X — р cos V?,
у= р sin (^
изаписывая уравнения границ в полярных координатах.
При этом область D перейдет в область D', а искомая площадь будет равна
5 = / / р dp dip.
D'
2. Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:
\ ' * Pl{^) < Р < Р 2 Ы J * 3. Переходим от двойного интеграла к повторному:
S = dip / pdp
и вычисляем его, пользуясь свойствами определенного интеграла. Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР . Найти площадь фигуры, ограниченной данными лини ями
2/2-42/ + а:2=0, y^-Sy + x^ =0, |
^ ^ ^ ' |
^ " ^' |
РЕШЕНИЕ.
1. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать, переходя к полярным координатам
X = pcosip, у = psimp.
12.7. Вычисление площадей в полярных координатах |
309 |
|
При этом область D перейдет в область JD', ограниченную линиями |
||
7Г |
7Г |
|
g = 4:Siinp, Q = Ssmip, ^ = "^ , |
^ = "2 * |
|
А искомая площадь будет равна |
|
|
5 = / / gctgdip. |
|
|
D'
2. Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:
I4 sin v? < ^ < 8 sm (^ J
3.Переходим от двойного интеграла к повторному:
|
|
|
|
|
|
|
7г/2 |
8sin(^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
dip / |
gdg. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
7г/6 |
4 81П<^ |
|
|
|
|
|
|
|
Последовательно интегрируя, получим |
|
|
|
|
|
||||||||||
7г/2 |
8sin(^ |
|
7г/2 |
Q . |
|
7г/2 |
|
|
|
|
|||||
S = |
d(p |
/ |
^ d ^ = |
/ |
9 |
|
dip = 24: sin^ (^dv? = 47Г + ЗУЗ. |
||||||||
J |
|
|
J |
|
|
J |
|
14 sin (^ |
|
«^ |
|
|
|
|
|
7г/6 4sinv? |
|
7г/6 |
|
|
|
|
7г/6 |
|
|
|
|
||||
Ответ. |
5 = |
(47Г + 3\/3) |
(ед. длины)^. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Условия |
ЗАДАЧ. |
Найти |
площади |
фигур^ ограниченных |
задан |
||||||||||
ными |
линиями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
у'^-3у |
|
+ х^=0, |
|
2/2-52/ +ж^ = О, |
y = x/V3, |
х = 0. |
||||||||
2. |
2/^ + |
32/ + |
а^^ = |
О, |
2/^ + % + а^^ = |
О, |
2/ = |
а:, |
ж = 0. |
|
|||||
3. |
у'^ -Зу |
+ х'^ =0, |
2/^ - |
72/ + ^2 = |
О, |
2/ = |
VS^, |
х = 0. |
|||||||
4. |
2/^ + 32/ + ^2 = |
О, |
2/^ + ^2/ + ^2 = |
О, |
у = х, |
у = |
х/л/З. |
||||||||
5. |
2/^ - |
32/ + ic^ = |
О, |
2/^ - |
^2/ Н- а^^ = |
О, |
у = |
х/\/3, |
х = |
\/Зх. |
310 |
|
|
Гл. 12. Кратные интегралы |
|
||
6. |
у2 - |
5ж Н- а;2 = О, |
у^ - 7ж + х^ = О, |
у = х/\/3, |
у = 0. |
|
7. |
2/2 -Ь 4х + х^ = |
О, |
2/^ + бж + ж^ = О, |
2/ = ж/\/3, |
2/ = ^За^- |
|
8. |
2/^ - |
Зж + ж^ = |
О, |
у2 _ 5д; _|- х^ = О, |
2/ = \/За;, |
2/ = О- |
9. |
у2 + 2х + х^ = О, |
у2 + 4х + х^ = О, |
у = х, 2/ = 0. |
10. 2/2 + 2х + х^ = О, у2 + 10а; 4- х^ = |
О, 2/ = |
\/За:, |
2/ = 0. |
||||
Ответы. |
1.5 = 47Г/3 4- \/3. 2. |
5 = тг + 2. |
3. 5 = бтг/З -f 5v/3/2. |
||||
4. 5 |
= 7г/3 - |
2 4- ^/З. |
5 . 5 = 27г/3. |
б. 5 |
= тг + 3\/3/2. |
7. 5 = бтг/б. |
|
8. S |
= 47г/3 + \/3 . 9. |
5 = 37Г/4 + 3/2. |
10. 5 = |
Зтг 4- 6\/3. |
12.8. Вычисление массы плоской пластины
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти массу плоской пластины D с по верхностной плотностью fi = 1л{х,у)у ограниченной заданными кри выми.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /i(x,2/) опреде ляется формулой
771= fi{x,y)dxdy.
D
2. Вычисляем полученный двойной интеграл. Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР 1. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью /i = 16х + 92/2/2, ограниченной кривыми
X = - , 2/ = О, 2/^ = 16х {у > 0).
РЕШЕНИЕ.
1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = 16x4-92/^/2 определяется формулой
= лГ/* Л(l6x. +92'2^^) dxdy.
12.8. Вычисление массы плоской пластины |
311 |
2. Вычисляем полученный двойной интеграл в декартовых коор динатах:
а) зададим область D системой неравенств:
Г |
О < ж < 1/4, |
|
|
|
\ |
О < 2/ < |
4^Д. |
|
|
Неравенство О < ж следует из того, что у'^ = |
1бж, т.е. х неотрица |
|||
тельно; |
|
|
|
|
б) перейдем от двойного интеграла к повторному: |
||||
|
|
1 / 4 |
^у/Х |
|
/ / I 1бж Н——- ] dxdy = |
dx |
/ |
I 16а: Н—— | dy] |
в) последовательно интегрируем, используя свойства определен ного интеграла:
1/4 4v^
'.2
т
оо
1/4 |
^ |
з> -^-/^ |
' / ^ |
1/4 |
|||
= ( |
( 16жу + — |
|4v^ |
dx := 160 1 x^l'^ dx = 2. |
) |
О
Ответ, m = 2 ед. массы.
ПРИМЕР 2. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью yi = a:^/(a;^ + 2/^)) ограниченной кривыми
2/2-42/ + х 2 = 0 , г/2-82/-Ьж2=:0, 2 / = " ^ , х = 0.
РЕШЕНИЕ.
1.Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х'^/{х"^-\-у'^) определяется формулой
D
2. Вычисляем полученный двойной интеграл:
312 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
а) так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать в полярных координатах
X |
= |
Q cos if, |
у |
= |
QsiiKf. |
При этом область D перейдет в область D', ограниченную линиями
|
|
|
7Г |
7Г |
^ = 4sinv?, |
g = Ssmip, |
^=-^^ |
^ " ^ 2 " ' |
|
а искомая масса определяется формулой |
|
|||
т = |
—2 |
2 ^^^У — |
11 cos^ ^ gdg dip. |
|
|
D |
|
D' |
|
Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:
|
|
Г |
7г/6 < |
(у9 < 7г/2, |
1 |
|
|
(^ |
4 sm (у^ < ^ < 8 sm (^ J |
||
б) перейдем от двойного интеграла к повторному |
|||||
|
|
|
7г/2 |
5sm(^ |
|
|
m = / / |
cos^ (р gdgdip = / |
cos^ (pd(f |
g dg\ |
|
|
D' |
|
я//6 |
4sinvsin 033 |
|
B) последовательно интегрируя, получим |
|
||||
7г/2 |
|
д> sirup |
7г/2 |
8 sin<^ |
|
|
|
|
|
|
|
m = / |
cos^ ipd(^ |
I gdg = |
cos^ (f |
dip |
= |
7г/6 |
4sinv(f? |
7г/6 |
4 simp |
|
|
|
|
7Г/2
= 24: f sin ip cos ipdip = ( 3(^ — - sin 4(^ 7Г/2 = 7Г + 3\/3
7г/6
7Г/6
Ответ, т •= тг -\- 3v3/8 ед. массы.
12.8. Вычисление массы плоской пластины |
313 |
ПРИМЕР 3. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью /i = х/у^, ограниченной кривыми
JC |
2 |
»*' |
2 |
X |
/ |
X |
\ |
о |
о |
||||||
^ + У^ = l, |
1^ + у^ = 3, у = - , х = 0 |
|
( у > - , х > 0 ) . |
РЕШЕНИЕ.
1.Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х/у^ опре деляется формулой
D
2. Вычисляем полученный двойной интеграл:
а) зададим область D неравенствами в декартовой системе коор
динат |
|
D= ^ (х,2/): |
16 |
I |
У > х/А, X > О |
Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в обоб щенных полярных координатах
X = Ад cos (/?,
{ у = Q sirup.
При этом (^, (р) е D\ а. искомая масса определяется формулой
m |
•^dxdy= |
-p^Agdgd<p. |
|
JJ У^ |
J J g^sm^'cp |
||
|
|||
|
D |
D' |
Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяющих область D, X на Agcosip и у на ^sin<^:
1 6 ^ 2 |
C0S2 (^ |
2 |
- 2 |
/ о |
1 < |
-~ |
+ г |
sm (^ < 3, |
|
|
10 |
|
|
|
gsirnp > Ад cos (/?/4, |
^ cos <^ > 0. |
Решая эти неравенства относительно д и if, получаем
1<д<уД,
— < (^ < —
314 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
б) переходим от двойного интеграла к повторному:
|
|
|
|
|
|
|
7г/2 |
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
т = |
|
, . |
. Agdgd(p= |
|
d(p |
lQg~ |
о |
COS ip , |
|
||||
|
J J |
|
^'•^dg; |
|
||||||||||
|
|
|
Q^sin^'ip |
J |
|
J |
|
|
sm (f |
|
||||
|
|
|
D' |
|
|
|
7Г/4 |
|
|
|
|
|
|
|
B) последовательно интегрируя, получаем |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
7г/2 |
d sirup |
у/3 |
|
|
|
|
|
7г/2 |
|
|
V3 |
|
т = 16 |
I |
f |
Q-^dg = 16 |
|
|
|
|
|
||||||
^^^-^^^ |
/ |
4sin^ (f J |
|
|
2g' |
= 4. |
||||||||
|
/ |
|
sin^if |
J |
|
|
7г/4 |
|
|
|||||
|
7Г/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ, |
m = 4 ед. массы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Условия |
ЗАДАЧ. |
Найти |
массу |
пластины D |
с поверхностной |
|||||||||
плотностью |
fi, где D |
ограничена заданными |
линиями. |
|
||||||||||
1. |
/i = |
2a; + |
2/^, |
|
х = i, |
у = О, у = |
у/х. |
|
|
|
|
|||
2. |
fi = |
x'^ + |
y, |
|
х = 1, |
у = 0, |
у = 2^х. |
|
|
|
4. /i==a;-f2/^,
5. /i = х-у
х^ + 2/^'
6. /х = 22/-ж х^ + 2/^'
7. /х = у-х х2 + 2/^'
8. /i(x,2/)=2/,
а: = О, |
2/ = |
4, |
у = х^ {х |
>0). |
|
|
||
х = 0, |
2/ = |
1, |
у = х2/4 (ж > 0). |
|
||||
ж = О, |
|
2/ = О, |
х^ + 2/^ = 4, |
х^ + 2/^ = 9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(х > О, у < 0). |
|
X = О, |
2/ = |
О, |
х^ + 2/^ = 3, |
х^ + 2/^ = 5 |
||||
|
|
|
|
|
|
( х < 0 , |
2/>0). |
|
X = О, |
2/ = О, |
х^ + у^ = 4, |
х^ + 2/^ = 16 |
|||||
|
|
|
|
|
|
( х < 0 , |
2/>0). |
|
2/ = О, |
2/ = а;\/3, |
х^ + ^ |
= 1, |
х^ + ^ = 9 |
||||
|
|
|
|
|
|
(2/>0, |
у<хуД), |