- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
1.2. Коллинеарность векторов |
13 |
1.2. Коллинеарность векторов |
|
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Коллинеарны ли векторы р = Aia + Л26 и q = /iia + /i2^, где а = {а1,а2,аз} иЬ = {bi,62,63}?
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, ко гда существует число а такое, что р = aq. Иными словами, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцио нальны,
1. Находим координаты векторов р и q^ пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.
2. Если координаты векторов р |
= |
{р1^Р2,Рз} ^ Q = {QI^Q2IQ3} |
|
пропорциональны, т.е. |
|
|
|
Pi. _ Р2 _ РЗ |
|
||
Qi |
Q2 |
Яз |
' |
то векторы pnq коллинеарны. Если равенства
Pi^ _ Р2 _ Рз
Qi Я2 Яз
не выполняются, то векторы pnq неколлинеарны.
ПРИМЕР. Коллинеарны ли векторы р = 4а — 36, q = % — 12а, где а = {-1,2,8} и 6 = {3,7,-1}?
РЕШЕНИЕ.
1. Находим координаты векторов р w. q, пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число:
р = {-13,-13,35}, |
д = {39,39,-105}. |
|
2. Так как |
|
|
- 13 |
- 13 |
35 |
39 |
39 |
-105 ' |
то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы р и g кол линеарны.
Ответ. Векторы р* и д* коллинеарны.
14 |
Гл. 1. Аналитическая геометрия |
Условия ЗАДАЧ. Коллинеарны ли векторы р и q ?
1. |
а - { 1 , 2 , - 3 } , |
6 = { 1 , 0 , - 1 } , |
р = |
За + 66, |
g = - a + 26. |
||
2. |
а={2,0,1}, |
6 - { - 2 , 3 , 1 } , |
р = 2а + 26, |
q = |
3d-2b, |
||
3. |
а - { - 2 , 2 , 1 } , |
Ь = { - 1 , - 2 , 2 } , |
р =г а + 36, |
q — |
2d-h. |
||
4. |
а = { - 1 , 2 , 3 } , |
6={2,1,1}, |
р = 2а + 36, |
q=a |
— 6. |
||
5. |
а={2,5,1}, |
Ь={5,0,2}, |
р=-а |
+ Ь, |
^ = a — 36. |
||
6. |
а - { 1 , 2 , - 2 } , |
Ь - { 1 , 3 , - 1 } , |
р=а-\-Ь, |
q=a-\-2b. |
|||
7. |
а - { 1 , 2 , 3 } , |
6 - { 2 , - 1 , 0 } , |
р = 63— 26, |
g*=—3a-f a. |
|||
8. |
а=:{1,3,-1}, |
Ь^ = {2,1,3}, |
р = 6а- |
36, |
g*=:-4a + 2a. |
||
9. а = { - 1 , - 2 , 2 } , |
6^ = { 1 , 0 , 2 } , |
р = а -f 36, |
q—~2a — 66. |
||||
10. а={1,3,2}, |
6 - { 1 , - 2 , 6 } , |
p=a |
— b^ |
g =:-6a + 66. |
|||
Ответы. 1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да. Да. 9. Да. 10. Да.
1.3. Угол между векторами
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Даны точки A(a;i,t/i,zi), В{х2^у2^^2) и С{хз,Уз^^з)- Найти косинус угла между векторами АВ и АС.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Косинус угла ip между векторами АВ и АС оп ределяется формулой
COS(/? = |
{АВ.АС) |
(1) |
|
\АВ\ ' \АС\ |
|||
|
|
1. Чтобы вычислить длины векторов \АВ\ и \АС\ и скалярное произведение {АВ^АС), находим координаты векторов:
АВ = {х2 -Х1,у2 -yi,Z2 - zi), AC = {хз -Х1,уз -yi,Z3 ~ zi}.
2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем
\АВ\ - y/{X2-Xi)^ + {y2-yi)^ + {z2-Zi)^,
\АС\ - V(^3 - xi)2 + (уз - yi)2 + (^3 - zi)2,
(АВ, AC) = {х2 - xi){x3 - xi) + (2/2 - У1){уз - 2/i) + (^2 - Zi){z3 - zj). 3. Вычисляем cosi/? no формуле (1) и записываем ответ.
1.4. Площадь параллелограмма |
15 |
ПРИМЕР. Даны точки А( - 2,4, - 6), Б(0,2,-4) и С( - 6,8, - 10) . Найти косинус угла между векторами АВ и АС.
РЕШЕНИЕ.
1.Находим координаты векторов АВ = {2,-2,2} и АС = {-4,4,-4}.
2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем
\АВ\ = ^ 2 ^ + ( - 2)' + 2' = 2v^, 1^1 = V ( - 4 ) 2 + 42 + (-4)2 = 4^3,
(АВ, AC) = 2 • (-4) 4- (-2) • 4 + 2 • (-4) = -24.
3. Вычисляем cos<^ по формуле (1):
- 24 ^
COS (f = |
-1= |
-7= = —1 . |
2\/3 • 4\/3
Ответ. Косинус угла между векторами АВ и АС равен —1. Условия ЗАДАЧ. Найти косинус угла меоюду векторами АВ и АС.
1. |
А{2,-2,3), |
В{1,-1,2), |
С(4, - 4,5) . |
2. |
А(0,-2,6), |
В ( - 1 2 , - 2 , - 3 ) , |
С ( - 9 , - 2 , - б ) . |
3. |
А{2,г,-1), |
5(4,5, - 2), |
С(3,1,1). |
4. |
А( - 1,2, - 2), |
5(3,4, - 5), |
С(1,1,0). |
5. |
У 1 ( - 2 , - 2 , 0 ) , |
В(1,-2,4), |
С(5, - 2,1) . |
6. |
А(3,3,-1), |
В(3,2,0), |
С(4,4, - 1) . |
7. Л ( - 1 , - 7 , - 4 ) , |
В ( 2 , - 1 , - 1 ) , |
С(4,3,1). |
|
8. |
А(2,-2,6), |
5(0,0,4), |
С(б,-6,10). |
9. Л(0,1,0), |
5(3,1,4), |
С(4,1,3). |
|
10. Л(3,2,0), |
5(1,4, - 1), |
С(4,0,2). |
|
Ответы, l.cosy) = - 1 . 2.cos^ = 24/25. Z.cos^p = - 4/9 . 4.cos(p =0 . 5. cos (f = -^/2/2. 6. cos ip = 1/2. 7. cos y; = 1. 8. cos ^ = - 1 . 9. cos ip = 24/25. 10.cosv? = - 8 / 9 .
1.4. Площадь параллелограмма
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить площадь параллелограмма, по строенного на векторах а = aip + a2q ub = /3ip'+/329, если известно, что \р\ = ро, \q\= qo и угол между векторами р и q равен ip.
16 |
Гл. 1. Аналитическал геометрия |
|
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Площадь параллелограмма^ построенного на век |
|
торах а и 6, равна модулю их векторного произведения: |
|
|
|
S=\la,b]\. |
(1) |
1.Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения [а, Ь] = [aip + 0L2q,liiP + p2q\ =
=Q^I/?I[P,P1 + a;i/?2[p,q\ + o^2/3i[q,p\ -f a2/32[g,q\ =
=(ai/?2 -a2/?i)[p,g].
2.Вычисляем модуль векторного произведения
I [а, 6] I = |ai/?2 - «2^1 \p\ l^simp
{simp > 0, так как О < (p < тг).
3. Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)
5 = |[а,Ь]| = \aiP2 -Q:2/?i||plMsin<^.
ПРИМЕР. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а — Зр~\- 2диЬ = 2р — д, если известно, что |р| = 4, |gl = 3 и угол между векторами рид равен 37г/4.
РЕШЕНИЕ. |
|
|
1. |
Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения |
|
[а,Ь] = [3^+ 2q,2p^ |
q\ = 6[р,Й - 3[p,g] + 4[q,p\ - 2%^ = -7[р,^. |
|
2. |
Вычисляем модуль векторного произведения |
|
|
|[5, Ь]| = |
I - 7[р,gll = 7|pl|9l sin ^ = 42ч/2. |
3. |
Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1) |
|
|
|
5=:|[а,Ь]|=:42\/2. |
Ответ. Площадь параллелограмма равна 42\/2 (ед. длины)^.