- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
142 |
Гл. 6. Функции нескольких переменных |
Ответы.
1. 2х - 42/ - Z - 5 = О,
2. Зж + 4?/ - 6z = О,
3. x-y-2z |
+ l = 0, |
4.X + ez - 2 = О,
5.2ж + 2 / - 2 - | = 0 ,
6.x - y - 2 z + f = 0 ,
7.2х + 7?/ - 52: + 4 = О,
8.х + ?/-42: = 0,
9.Х + У + \[2z - 8 = 0,
10.2ж + 2?/ - 3;г + 1 = О,
х~\ |
_ |
J/ + 2 _ Z - 5 |
|
|||
2 |
" |
- 4 |
|
- 1 |
' |
|
ж - 4 _ 2 / - 3 _ г - 4 |
|
|||||
3 |
"" |
|
4 |
" |
- 6 |
' |
X - |
7г/4 |
_ |
2/ - |
7г/4 _ z - 1/2 |
||
i |
|
~ |
- 1 |
~ |
- 2 * |
|
ж — 1 |
|
?/ — 7 r _ z — 1/е |
||||
1 |
"" |
|
О |
~ |
ё |
* |
а: — 7г/4 |
|
у — 1 |
z — 1 |
|||
2 |
"" 1 ^ - 1 |
|||||
а: — 1 |
2/~1 |
|
^2: — 7г/4 |
|||
1 |
^ |
|
- 1 |
"^ |
- 2 |
|
ж — 2 |
|
г/ — l _ z — 3 |
||||
2 |
^ |
|
7 |
^ |
- 5 |
' |
а : - 2 _ 2 / - 2 _ г - 1 |
|
|||||
1 |
~ |
|
1 |
~ |
- 4 |
' |
ж - 2 _ 2 / - 2 _ |
z-2y/2 |
|||||
1 ~ ^ ~ ~ |
V2 |
|||||
а : - 2 _ у - 2 _ z - 3 |
||||||
2 |
~ |
|
2 |
~ |
- 3 |
' |
6.7. Экстремум функции двух переменных
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти стационарные точки функции Z = z{x^y) и исследовать их характер.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Ст^ационарными т,очками функции нескольких переменных на зываются точки, в которых все ее частные производные равны нулю. Следовательно, чтобы найти стационарные точки функции z(x,7/), нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными
г4(а;,2/)-0,
\z'y{x,y)=0.
Решая эту систему уравнений, находим стационарные точки функции
Z{x,y): Mi{xi,yi), М2(ж2,2/2),..-, Мп{Хп,Уп)'
6.1. Экстремум функции двух переменных |
143 |
2. Для того чтобы исследовать характер стационарных точек, вос пользуемся достаточными условиями экстремума функции двух пере менных.
Пусть функция z = z{x, у) определена и имеет непрерывные част ные производные второго порядка в стационарной точке М{хоуУо) {т.е. z^(a:o,yo) = ^yi^o^Uo) = 0). Тогда если в этой точке:
^) '^хх ' ^уу ~ (^жу)^ -^ ^' ^ ^ ^ |
— точка экстремума^ |
причем при |
||
^хх ^ 0 — точка минимума^ при z'^^ < О — точка максимума; |
||||
^) |
'^хж * ^уу ~ i^xy)'^ < 0) ^ ^ |
^ |
^^ является точкой |
экстремума; |
^) |
"^хх ' ^уу ~ i^xy)'^ — О' ^ ^ |
требуется дополнительное исследова |
||
ние {например, по определению).
3.Вычисляем производные второго порядка функции z{x,y).
4.В каждой стационарной точке вычисляем выражение
^хх '^уу \^xyJ
и определяем его знак.
Анализируем полученные результаты и записываем ответ.
ПРИМЕР. Найти стационарные точки функции
Z = х^ -\-у^ - Зху
иисследовать их характер.
РЕШЕНИЕ.
1.Вычисляем частные производные
z'^ = Зх^ - Зг/, Zy = Зу^ - Зх.
2. Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
Г3x2 _ Зу = О,
\32/2 - Зж = 0.
Получаем два решения: Xi |
= О, 2/1 = О и Х2 = 1, 2/2 = 1- |
Следова |
тельно, стационарные точки функции z = х^ ^- у^ — Зху. |
Mi (0,0) и |
|
М2(1,1). |
|
|
3. Вычисляем производные второго порядка: |
|
|
4'х = 6х, |
z'' = - 3 , Zy = бу. |
|
144 |
Гл. 6. Функции нескольких переменных |
4. В каждой стационарной точке вычисляем выражение
// ^ // _ / // \2
^хх ' '^уу |
У'^ху) |
иопределяем его знак.
Вточке Ml(0,0)
г;',(о,о)=о, z;'^(o,o)--3, <,(o,o)-o-:^z;',.4-(4',)'=-6<o.
Следовательно, точка Mi (0,0) не является точкой экстремума. В точке М2(1,1)
г;',(1,1)-б, 4',(1Д) = -3, <,(1,1) = 6 = ^ < , . 4 - ( 4 ' , ) ^ - 2 7 > 0 . .
Следовательно, точка М2(1,1) является точкой экстремума. Так как z^'a,(l, 1) = 6 > О, то М2(1,1) — точка минимума.
Ответ. Функция z = х^ -\- у^ — Зху имеет две стационарные точ ки Ml(0,0) и М2(1,1). В точке Mi(0,0) экстремума нет, М2(1,1) — точка минимума.
Условия ЗАДАЧ. Найти стационарные точки заданных |
функций |
|||||||
и исследовать |
их характер. |
|
|
|
|
|
||
1. |
Z = х"^ — ху -{- 2/^. |
|
2. Z = х"^ — ху — у^. |
|
|
|||
3. |
z = x'^ - |
2ху -f 27/2 _^ 2х. |
4. |
z = x^ + у^ -х'^ |
~ 2ху |
- |
у'^. |
|
Б. z = x^ - |
2у^ -Зх + ду. |
6. |
z = ix + 2y -х'^ |
- у'^. |
|
|
||
7. |
Z = х^ -^у^ - |
15ху. |
8. |
Z = х'^ + ху -{-у"^ ~3х |
— 6у. |
|||
9. |
z = ж^ 4- 47/2 - |
2ху 4- 4. |
10. |
z — х/у + 1/х |
+ у. |
|
|
|
Ответы.
1.М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума, ^min = ^(0,0)=0 .
2.М(0,0) — стационарная точка. В точке М(0,0) экстремума
нет.
3.М(—2, —1) — стационарная точка. М(—2, —1) — точка мини
мума, |
Zmin = z{-2, -1) = - 2 . |
|
4. |
Ml(0,0), |
М2(4/3,4/3) — стационарные точки. М(0,0) — точ |
ка максимума, |
Zmax = >2:(0,0) = 0. М(4/3,4/3) —- точка минимума, |
|
^min = ^(4/3,4/3) = -64/27.
6.7. Экстремум функции двух переменных |
145 |
5. Mi(l,l), М2(-~1,-1), Мз(-1,1), М4(1,-1) — стационарные точки. В точках Mi(l,l), М2(-1,-1) экстремума нет. Мз(-1Д) — точка максимума, z^ax = >2;(—1,1) = б. М4(1,—1) — точка мини мума, Zmin = Z{1, -1) = - 6 .
6.М(2,1) — стационарная точка. М(2,1) — точка максимума, Zmax = 2:(2, 1) = 5.
7.Ml(0,0), М2(5,5) — стационарные точки. В точке Mi(0,0)
экстремуманет. Мз(5,5) — точка минимума, Zmm = ^(5,5) = -125.
8.М(0,3) — стационарная точка. М(0,3) — точка минимума,
>^min=>^(0,3)--9.
9.М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума,
Zmin=z{0,0)=4.
10.М(1,1) — стационарная точка. М(1,1) — точка минимума, ^min = 2:(1,1) = 3 .