- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
172 Гл. 7. Неопределенный интеграл
7.10. Интегрирование дифференциального бинома
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный |
интеграл |
I x'^{a + bx'')Pdx, |
(1) |
где т, п и р — рациональные числа. |
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Выражение х^{а + Ъх'^У dx называется диффе ренциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементар ных функциях получены П. Л. Чебышевым.
Условил Чебышева. Интеграл (1) выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:
1) р — целое число; в этом случае подстановка ж = z^, где s — общий знаменатель дробей т и п , приводит к интегралу от рацио нальной функции.
2)
п
где S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рациональной функции.
. т-\-1 |
-г, 1 |
3) |
h р — целое число; в этом случае подстановка ах " + 6 = |
п
= 2^, где S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рацио нальной функции.
ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл
/X Vx^ • dx.
РЕШЕНИЕ. Перепишем интеграл в виде
J X V Ж^ J
Подынтегральное выражение имеет вид х'^{1 -h x^Y при
7 |
1 |
1 |
m + 1 |
m = - - , |
n = ~ , |
P = ~ , |
+ p = - l . |
5 |
3 |
5 |
n |
Следовательно, имеет место третий случай интегрируемости.
7.10. Интегрирование дифференциального бинома |
173 |
Применяя подстановку
х-^1^ + 1 = z^
иучитывал, что
x= {z^ ~ l ) - ^ dx = -3(г^ - 1)-'* bz^dz,
получаем
= / ( / - 1)""(1 + (.» - !)-')•"> i ^ <i. =
Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.
3. / |
_ _ ^ _ |
dx,. |
4. |
// • |
.'^ dx. |
|
X \/1 + а;3 |
• |
' |
J |
|
^- |
J |
xWl |
+ x^'^''- |
^- |
/ Т ^V5+l)io'^''' |
|
9. |
/ |
^ — |
= dx. |
10. / |
д, |
dx. |
Ответы.
1Н- V х-^ \ |
^ |
^ |
2 / 1 + ж ^ ' |
4-а |
1. - Г иАГ I |
+а |
2. |
- г ( ^ ^ ) |
174 Гл. 7. Неопределенный интеграл
3. - l n ( v T + ^ - l ) - l n | a ; | + a
|
О |
|
|
|
|
|
|
^ |
1 , 1 |
+ Vr^^ |
1 VT^^ |
, ^ |
|
||
5. |
4 \ |
X |
\ |
+С. |
6. |
^ ( 4 ч / г + - ^ - 3 ) ^ 1 + - ^ + а |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(2х^-1)7ГГ^ |
|
|
1 , |
4 |
||
|
|
3x3 |
|
+^-- |
»• |
2 ( ^ + 1)8 ^ 9 ( ^ |
+ 1)9 ^^'• |
|
3 |
|
|ж| |
|
|
|
|
|
VaJ + l |
( ^ + 1 ) 3 |
|
|
|
||
|
1 |
^/TTF+x |
1 |
|
^/TTF , ^ |
|
|
10. |
- m |
., |
|
|
arctg |
h С. |
|
|
4 |
^/ГТ^-а; |
2 |
^ |
a; |
|
Г л а ва 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
При изучении темы ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы познако митесь с формулой Ньютона-Лейбница и научитесь применять ее для вычисления определенных интегралов, используя технику нахождения первообразных. Вы научитесь применять определенные интегралы для решения геометрических задач (вычисление площадей плоских фигур, длин дуг кривых и объемов тел).
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти новые пре делы интегрирования (при использовании различных подстановок), вычислить первообразные и применить формулу Ньютона-Лейбница, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полу ченных вами результатов.
8.1.Интегрирование подведением под знак дифференциала
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить определенный интеграл
b
/ F{x)g{x) dx.
а
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). Тогда
6 |
6 |
(3 |
I F[x)g{x) dx= f u{G{x))G\x) dx = f u{G) dG,
a |
a |
a |
где a = G(a), p = G{b).
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.
176 |
Гл. 8. Определенный интеграл |
Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, после чего применяем формулу Ньютона-Лейбница.
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ определенный интеграл
1
xdx
/о
РЕШЕНИЕ.
1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x), где д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).
В данном случае
П ^ ) - ^ ^ ^ [ ^ 2 ) 2 ^ |
^ Н |
= 2х, |
G{x) = x\ |
F{x) = |
l^-^^u{G). |
||
2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
f |
|
|
1 |
|
|
Г xdx |
_1 |
1 |
2 _ 1 А |
1 |
|
||
J ^^й^^2 |
J |
1 + (а:2)2 "^"^ |
^2 |
J |
TTG^"^^' |
||
0 |
|
0 |
|
|
о |
|
|
где G = ^2 и G(0) = О, G(l) = 1.
3. Последний интеграл является табличным. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
|
|
|
о |
|
^ |
1 |
xdx |
|
7Г |
г |
= |
|||
Ответ. |
/ |
—т 7 |
--. |
|
|
J |
х^ + 1 |
|
8 |
о
Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.
1 |
|
^ |
7г/4 |
|
ж |
, |
f |
sin а: — cos а: |
|
О |
|
|
о |
sm X — cos а: |
|
|
(cos ж -Ь sinx)^ |
||
/ |
|
|
|
|