10.13. Ряд Тейлора

Добавил:

Hidi Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Решебник Зимина.pdf

Скачиваний:

241

Добавлен:

26.05.2014

Размер:

5.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5639 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

	10.13. Ряд Тейлора		245
Ответы.
х^	-е(-1Д)-	2х
1-5 = 7 г ^ ^	-е(-1Д)-	2-5 = 7rfi:;^>-e(-i,^)-
3-'5 = 7Т—3W'	^e(-i.i)-	_9_	хе(-з,з).
3-'5 = 7Т—3W'	^e(-i.i)-	4.5 = ^——^,	хе(-з,з).
16		1 + ж

^•^ = Ц ^ ^ ' а:е(-1,1). 10.5 = ^ , xG(-^,o).

10.13. Р я д Тейлора

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Разложить функцию f{x) в ряд Тейлора по степеням х [XQ = 0).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Преобразуем функцию f{x) к виду, допускающему использова ние табличных разложений е^, sina:, cos ж, (1 + ж)"^, 1п(1 + х).

2.Находим разложение функции в ряд Тейлора, используя таблич ные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число.

3.Определяем область сходимости полученного ряда к функ ции /(ж).

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ необходимо разложить функцию в ряд Тейлора по степеням ж — жо, сначала делаем замену переменной t = ж — жо, находим разложение по степеням t и возвращаемся к переменной ж.

ПРИМЕР. Разложить функцию

2 - ж - ж2

в ряд Тейлора по степеням ж (жо = 0).

246	Гл. 10. Ряды

РЕШЕНИЕ.

1.Чтобы использовать табличные разложения, разложим данную функцию на элементарные дроби:

2-х~х'^

' х-\-2'

Используя табличное разложение

°°

1 + 1 +1^ + ... + Г + ... -

Г ,

(-1,1),

п=0

получим

°^

x G ( - i , i ) ,

- — = $ ] x ^

—- . тX

^—'

п== 0

1 ^

( - i r x -

{-1Гх-

а:е(~22)

9. -4-^/9

9 Z ^

9.П

Z ^

9.П+1

- ^ ^ l ^ ' ^ ^

2 + ж

1 + ж/2

2 ^

п=0

Таким образом,

_ ^ _ ^2 ~

2-^ 1 ^ "^

9пН ^ • ^

Областью сходимости полученного ряда является пересечение

вышеуказанных областей сходимости, т.е. (—1,1) П (—2,2) = (—1,1).

		n=0	^	^
Условия		ЗАДАЧ. Разложить		функции в ряды Тейлора [XQ = 0).
± .	^		2.	1п(1-2:-20х2).
	6 — ж — ж-^
3.	/	'^\	4.
3.	sin(x + - ) .		4.
	X	0
5.	X		6.	^16 4-х.
5.	3 + 2ж'		6.	^16 4-х.
	3 + 2ж'
7.	же2^^+1.			^ 2 7 - X *
				^ 2 7 - X *
9.	In(12x2-h7x + l).		10.	соз^Зх.

10.14. Приблиоюепные вычисления с помощью рядов

247

Ответы.

1- Е			( ^ + У ? ) - " .			хе(-2,2).
	п=0		Зп+1 2^"^-'-
2-	оо		(_1)п-14п_5п ^				1 1
2-	Е				ж'%	X е	" 5 ' 5
					ж'%	X е
	п=1
3- f Е 7 ^ ^ - - + ^ Е ^ ^ - >								. е ( - . , . . ) .
4.						п=0 '' '
4.	^ ,g>(-l)"(2n-l)!!.,,„^,						ж € ( - 3 , 3 ) .
	3	' ^-^		п!2"32"+1		а;'"+\	ж € ( - 3 , 3 ) .
	3	' ^-^		п!2"32"+1
			п=1
5	V		( - !	&	_ 1	3	3
5	V		^"-^^	^	ж G	" 2 ' 2
	п =0					" 2 ' 2
	Z-^ Чп+1
• ^ ^ \| ^ В - ' г - ' ^ ' " • : • ! ; " " ' ' - ' •								-<^\|-'».1Ч.
				п = 2
7.			2П
7.	е ^ — х 2 ^ + \ ж€(-оо,+оо).
	п=0
'• ^E'"! .. i!r - V							.е(-2Г,.П.
	3	' ^			п!34^+1
			п=1		4» + 3" „	/	1 1
9-	Е(-1)				4» + 3" „	/	1 1
9-	Е(-1)				п	\	4 4

( —1)"6\П(У2П

10.14.Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить интеграл

о6

f{x) dx

/о•

с т,очност,ъю а, г(9е f{x) разлоэюима в степенной ряд, имеющий ра диус сходимост,и R > Ь.

248	Гл. 10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Практические вычисления обычно сводятся к суммированию того или иного числового ряда. В данном случае та кой ряд получается, если разложить подынтегральное выражение в степенной ряд и проинтегрировать его почленно.

1. Разлагаем подынтегральную функцию в степенной ряд по сте пеням X

/W = X^Cnx"",

n=0

иопределяем его область сходимости.

2.Степенной ряд можно интегрировать почленно по любому от резку, принадлежащему интервалу сходимости. Поэтому, интегри руя почленно полученный ряд и используя формулу Ньютона-Лейб- ница, получаем

f{x) dx= Y^^"^" dx = Y^Cn -—т.

3. Вычисляем сумму числового ряда с заданной точностью (оце нивал остаток ряда).

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ разложить подынтегральную функцию в ряд

не по степеням ж, а по степеням ее — 6/2, то ряд будет сходится быст рее, т.е. для обеспечения заданной точности может потребоваться меньше слагаемых, однако в итоге вычисления оказываются более сложными.

ПРИМЕР . ВЫЧИСЛИТЬ интеграл

0,1

cos(lOOx^) dx

/ •

с точностью а = о, 001.

РЕШЕНИЕ.

1. Разлагаем подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степе-

10.14. Приближенные вычисления с помощью рядов

249

ням х:

/1ПП 2х , (102^2)2 (102а:2)4 (lO^rr^)^

		^ /	^	(2п)!	^ ^	^	(2п)!	•
		п=0		^ ^	п=0		^ ^
Разложение справедливо при всех х.
2. Интегрируем почленно полученный ряд:
0,1	0,1					0,1
о	о '^~^			^~^		о
	п =0	^	^	"J	п=0	^	/ V	/
3. Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся,
dn = 77771 ,11\/г>		м > ^п+1 =			1
"	10(4n + l)(2n)!		"^'	10(4п + 5)(2п + 2)!

и limn->oo ttn = О, то справедливо неравенство

\Rn\ < dn+l = 10(4n + 5)(2n + 2)!

Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два члена ряда, так как

4. Производя вычисления, получаем

0,1

I cos(100x2) d x ^ ^ - Y ^ T ^ = 0,090.

0,1

Ответ. 1 со8(100ж2) dx ^ 0,090 ± 0,001.

250	Гл. 10. Ряды

Условия ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с точностью а = 0,001.

1 1

1.	/ е""^ dx.	2.	/ sinx'^dx.
	о		о
	0,5		0,5

3.	/	jdx.
	J	1 + х^
	о

0,5

5. je^-'U..

4. /	\ / l + х^ dx.
J	"^
о

2/3

6^ 1ш^'-

О	о
1	1

7.	/	dx.	8.	/	\/xcosxdx.
	J VTT^			J
	0			0
	уД/3			1
9.	/	x^SiTctgxdx.	10.	/ ^,	dx.
	J			J	V^T^
Ответы.		1 . 5 ^ 0 , 7 4 7 .	2 . 5 ^ 0 , 3 1 0 . 3 . 5 = 0,494. 4 . 5 ^ 0 , 1 9 0 .

5 . 5 ^ 0 , 5 0 8 . 6 . 5 ^ 0 , 4 9 0 . 7 . 5 ^ 0 , 6 6 2 . 8 . 5 ^ 0 , 6 0 8 . 9 . 5 ^ 0 , 0 1 2 . 10. 5 ^ 0 , 4 9 5 .

Г л а ва 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При изучении темы ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ вы познакомитесь с различными типами уравнений первого и второго порядков и освоите методы их решения. Вы изучите линейные урав нения с постоянными коэффициентами, структуру их общего реше ния и методы его нахождения (метод Эйлера, метод подбора частных решений, метод Лагранжа).

С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить интег ралы, решить системы уравнений, продифференцировать найденные решения и выполнить численные расчеты (например, при решении задачи Коши), а также проверить полученные вами результаты.

11.1. Понятие рехпения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Доказать, что функция у — у{х) удовлет^воряет дифференциальному уравнению F{x^y,y') = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Для доказательства того, что функция у = у{х) удовлетворяет уравнению F{x^y^y') = О, достаточно вычислить производную у'{х)^ подставить у(х) и у'{х) в это уравнение и убедиться в том, что полу чается тождество, т.е. F(x^y{x)^y'{x)) = О для всех допустимых х.

ПРИМЕР. Доказать, что функция у — —^х^ — х'^ удовлетворяет уравнению

/ 2 4

^уу -у ^х .

РЕШЕНИЕ. Имеем

, _ х(2х^ - 1)

Подставим у и у^ в левую часть уравнения и проведем необходимые

252			Гл.11. Дифференциальные уравнения
преобразования:
xf-y/^^^'^)		(-Щ£^]				-{х"" -х^) = х{2х^ -х) -хЧх^ == х\
Получаем тождество х"^ = х"^.
Ответ.		Функция у =			—\/х^ — х^ удовлетворяет заданному урав
нению.
Условия ЗАДАЧ.				Доказать,			что функция у = у{х) удовлетво
ряет	дифференциальному				уравнению f{x^y^y')			— 0.
1.	?/ = же~^/^,			ху'=		(1~	х'^)у.
3.	у = x\J\		— ж^, уу^ = X — 2х^.
4.	у = л/ж^ — еж,				(ж^ + y'^)dx — 2xydy			= 0.
5.	2/=	e*s^^/^^		2/'sina; = 2/l^l2/•
6.	у =	.	,	y - z y ' = 6(l + x^y')•
7.	y = - V 2 / z 2 - l ,				1 + у2+хуу'=0.
8.	2/=		ГТ'	У-Ж2/		=а(14-ж у ).
9.	2/ =	е^+^^ + 2е^,			у' - у = 2же^+^'.

10.2/ = 2 + с\/1-ж2, (1-а:2)г/'-Ьж2/ = 2а:.

11.2.Уравнения

сразделяющимися переменными

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти интегральные	кривые дифферен
циального уравнения вида
E{x)F{y)dx = G{x)H{y)dy.	(1)

11.2. Уравнения с разделяющимися переменными

253

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.В области, где G{x) 7^ О и F{y) ф О разделяем переменные, т.е. представляем уравнение (1) в виде

2.Вычислим интегралы в уравнении

/Ш^н.„-/{^ь) dy

ипреобразуем его к виду ^[х., у) = С.

3.Ответ записываем в таком виде: интегральные кривые опреде ляются уравнением (р{х,у) = С при всевозможных значениях С.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ОДНО ИЛИ оба уравнения G{x) = О и F{y) = О

имеют решения ж1, Ж2,... иух, у2) • • •? то равенствах = xi, ж = Х2,... и у = yi^y = У2,' • - нужно присоединить к ответу, так как они являются интегральными кривыми дифференциального уравнения (1).

ПРИМЕР. Найти интегральные кривые дифференциального урав нения

бх dx - Qydy = 2x^2/ dy - Зху^ dx.

РЕШЕНИЕ.

1. Перепишем исходное уравнение в виде

Зх(2 -К у^) dx = 2у{х^ -h 3) dy.

(2)

Поскольку х^ + 3 > о и 2 -h 2/^ > о, разделяем переменные, т.е. представляем уравнение (2) в виде

Зх		^ 2у
х2 +	3	dx — •——г dy.
х2 +	3	2 -h 2/2

2. Вычислим интегралы в уравнении

/^^^^/з^^^-

Имеем

о Х	,	'^ т / 2
/ х2 + 3	dx = -ln(x^4-3) + Ci,
/ х2 + 3		2

254			Гл.11. Дифференциальные уравнения
			22/	J.. ^ , „ , о	,	2,
			2 + 2/2
Следовательно,			3
			3
			^1п(х2 + 3)-1п(2 4-2/2) + Со,
где Со = С2 — Ci.			2
где Со = С2 — Ci.
3. Упростив это равенство, получим
			(2 + 3/2)
Ответ.		Интегральные кривые определяются уравнением
			(х2 + 3)3		= С
			(2 + 2/2)		= С
при всевозможных значениях				С.
Условия ЗАДАЧ. Найти интегральные кривые дифференциаль
ных уравнений.
1.	ydx	-\- {1 + х'^)(1у = 0.			2.	y' =	tgxtgy.
3.	у' у = -2х sec 2/.				4.	у' + sin(x + у) = sin(a: -		у).
5.	у(1 + а:2)у' + 2:(1 + 2/2) = 0 .				6.	е"" dx - {1-^ еУ)ус[у = 0.
7.	2/' =	2е^со8ж.			8.	у^ =	у1пу.
9.	У = ^ .				10. 2/' == -74=Т-
		1 + Ж^					Vx2 - 1
Ответы.
1.	1п\|2/\| + arctga: = С.				2.	sm?/cosx = C.
3.	ж^-f?/sini/ + cosy = С.				4.	ln\|tg(2//2)\| 4-2sina: =		С
5.	(а:2 + 1)(1 + у 2 ) - а				6.	21п(1 + е ^ ) - у 2 = . а
7.	у = e^(cosx + sinx) + С.				8.	1п\| In^/I - ж = С.
9.	?/ =	1п(1 + х2) + а			10. 7/ = ln\|a:-f \/ж2 - 1\| +			С.

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5639 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.05.2014587.78 Кб56ответы к экзамену ВМ 2 поток.doc
#
26.05.20141.01 Mб48ответы на экзаменационные билеы по вм2.doc
#
26.05.2014268.28 Кб13Пределы.bmp
#
26.05.20145.6 Mб241Решебник Зимина.pdf
#
26.05.2014432.32 Кб35Типовой расчет-Кратные интегралы-Вариант 15.pdf
#
26.05.2014873.01 Кб13Тр Графики вар 25..pdf
#
26.05.2014757.76 Кб439Шпаргалки по матану в Wordе.doc
#
26.05.20141.28 Mб157Шпора (Word).doc
#
26.05.2014394.75 Кб20Шпоры по ВМ1.doc