- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
|
12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах |
297 |
|||||||
6- |
/ / |
^ ^ ^dxdy, |
|
у^-2х |
+ х'^ = 0, |
у 2 - 4 х + ж2 = 0, |
|||
|
J J |
х^Л-у^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
ij-^—^dxdy, |
2/2-4х + х 2 = 0 , |
у 2 - 6 х + |
х 2 = 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2/ = --^, |
г/ = \/Зх. |
|
8- И -r—^dxdy, |
2/^-4а: + ж2 = 0, |
г/2 - 82: + х^ = О, |
|||||||
|
У У х^ + Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = О, 2/ = \/Згг. |
|
9. |
|
|
Л«. xJ«. |
«. |
о ^ I ^2 |
п «.2 |
л«. I «.2 |
|
|
jl—^=====dxdy, |
2/^ -2x-f |
ж^ = 0, |
|
2/^-бх + х^ = 0, |
|||||
|
|
л/ж2 4- 2/2 |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
/ / |
^ ^ |
da; с?2/, |
2/^ - 2а: + х^ = О, |
|
2/^ - Юж + х^ = О, |
|||
|
|
х/жМм/" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ = \/Зх, 2/ = О- |
|
Ответы. 1. / = —(27Г - \/3). 2. / = IS^. |
3. 7 = 10\/2. |
||||||||
4. |
/ = ^ ( 4 - х / 2 ) . 5. / = l + f. 6. / = J . 7. / = А ( 2 7 г - г / 3 ) . |
||
8. |
7 = . . ^ - ^ . |
9. 7 = 2 Н . |
10. 7 = 1 ^ ^ . |
|
8 |
90 |
15 |
12.4, Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить двойной интеграл
1 1 f{x,y)dxdy,
D
где область D задана |
неравенствами |
с\<^-\-\^<с1 |
(а > О, Ь > О, ci > О, С2 > 0), |
а^ 0^ |
|
298 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
|
miy-}-kix>0 |
(ml + kl^O), |
шгу +/сгх > О {ml + kl^O). |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Область D задана неравенствами в декартовой системе коорди нат, т.е.
^1 |
- |
^9. ^ |
L9 - ^2? |
|
|
|
62 |
D= < {х^у)- |
miy |
+ |
kix>0, |
1^2У + к2Х > О
2. Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходя щими через начало координат, поставленную задачу проще решать в обобщенных полярных координатах
X = ад cos ip, у = bg sin (р.
При этом {д,(р) G -D', а искомый интеграл определяется формулой
/ / f{x,y)dxdy= |
/ / f {ад cos (p,bg sin (p)abgdg dip. |
D |
D' |
3.Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяю щих область Z), х на ад cos (р и у из. bgsimp. Затем разрешаем полу ченные неравенства относительно д и ip. Таким образом, получаем
4.Переходим от двойного интеграла к повторному:
/ / f{x^y)dxdy |
= ab |
d(p |
f{адcos(р,bgsimp)gdg'^ |
|
|
Cl |
|
и последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.
Записываем ответ.
ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл
—dx dy,
// уЬ
D
12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах |
299 |
где область D задана неравенствами
1 < ^ + 2 / ^ < 3 , 2 / > ~ , ^ > 0 .
РЕШЕНИЕ.
1.Область D задана неравенствами в декартовой системе коорди
нат:
D |
> , |
2. Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходя щими через начало координат, поставленную задачу проще решать в обобщенных полярных координатах
X = 4^cos(^,
{ у = gsiiiip.
При этом {д, if) £ D', 3. искомый интеграл определяется формулой
3. Чтобы найти область D\ заменяем в неравенствах, определяю щих область D, X на ад cos v? и у на Ьд sin ip:
К |
16^^ cos^ (f -f- g^ sin^ v^ < 3, |
||
|
16 |
igcosif |
|
|
^ |
, g cos (^ > 0 |
|
gsm(p > |
|
||
Решая эти неравенства относительно д и ip, получаем
D' = |
{{g,^): |
1 < ^ < \/3, ] |
7г/4 < (^ < 7г/2 |
4. Переходя от двойного интеграла к повторному и последова тельно интегрируя, получаем
llfsd^dy=ll |
^ ^ . ^ 5 ^^ ^^ |
7г/2 Уз |
" ^ ^ j d^jm-'.'^de = |
||
|
4gcos(p |
|
|
^^ sm (f |
sm (^ |
D' |
7г/4 |
300 Гл. 12. Кратные интегралы
=16 Т |
^ |
f\-^d,=16 |
\ |
( - ' )7Г/2 |
Vs |
= 4. |
|
J |
siTTif J |
|
ism |
(pj 7Г/4 |
2g' |
|
|
7Г/4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Ответ |
dxdy |
=^ 4. |
|
|
|
|
|
• / / |
yO |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
интегралы. |
|
|
Условия ЗАДАЧ. Вычислить двойные |
|
|
|||||
1. 11 " dxdy^
D
2. / / ~ dxdy,
D
' /* X
3. / / — dxdy,
— dxdy, JJ У
D У
4. / / '^x^ydxdy,-
D
5./ / — dxdy, JJ У
D
411dxdy,
dxdy^
D
I. Il^dxdy,
D
?. Il^dxdy,
9x
J dx dy^
Ответы. 1. / = ln2.
|
X |
V |
у >0, |
2x\ |
|
D = |
l < y |
+ ^ < 2 , |
y<-] |
||
D = |
X |
у |
x>0, |
Зж |
|
l<-^ |
+ j < i , |
y > - |
|||
D = |
X |
V |
|
X |
|
|
|
|
|
||
D = |
l < ^ + ^ < 4 , x > 0 , |
y>-). |
|||
|
|
|
|
||
|
1 < ^ |
+ у < 1 , |
х>а, |
y > 0 |
|
D = |
1 < ^ |
+ 7 т < 5 , |
x > 0 , |
y>2x |
|
|
4 |
lb |
|
|
|
D = |
X^ |
7у2 |
|
2x |
|
l < - 9 - + ^ < 5 , x > 0 , y > - 3 - ^ |
|||||
D |
1 < — + у 2 < 2 5 , x > 0 , y> 1} |
||||
D =l < x ^ |
+ Y g < 9 , |
2/>0, |
y<ix). |
||
D = l < ^ + y ' < 4 , |
2/>0, |
2 / < | |
|||
D |
a;2 |
V^ |
|
Зж |
|
1 < ^ + Y < 3 6 , x > 0 , y > y |
|||||
|
|||||
2. / |
= 31n2. 3. / = |
121n2. |
4. / = 6. |
||
5.J = 41n2. 6. J = 91n2. 7. / = 21n5. 8. J = 81n3. 9. J = ln2.
10.J = 21n6.