- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
344 |
Гл. 14. Теория полл |
Условия ЗАДАЧ. Найти векторные линии векторных полей.
1. |
а = 2уг -\-6xj. |
2. |
а = 2xi + 3yj. |
3. |
а = 2yi — Axj. |
|
4. |
а = zi — хк. |
5 . 5 |
= 2yj -f 3zk. |
6. |
a = zi — izk. |
|
7. |
a = 2zj + 9yk. |
S. |
a |
= Sxi + 6yj. |
9. |
a = 3yi — 2xj. |
10. a = yj + zk.
Ответы.
2x2 + 2 / 2 - C i ,
Z = C2.
z = |
Ci/y, |
X = |
Go. |
14.2. Поток векторного поля
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти поток |
векторного полл |
|
а = Р(ж, 2/, z)i-\- Q{x, у, z)j |
+ R{x, |
у, z)fc |
че^^ез поверхность Е, описываемую уравнением |
F{x,y,z)—0 и неко |
торыми неравенствами {нормаль образует острый угол с осью 0Z).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а через поверхность Е с полем единичных нормалей щ определяется формулой
П = ff{a,no)da. |
(1) |
S
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{x^y,z) = О, определяется формулой
gradF
По = ±1 7-=г7 = ±{cosa,cosp, cos7^• gradF
14.2. Поток векторного поля |
345 |
Учитывал что нормали должны образовывать острый угол с осью 0 Z , т.е. что cos 7 > О, выбираем в этой формуле знак плюс или минус. Имеем
По = cosm Ч- cosPj + cos'yk, cos 7 > 0. 2. Находим скалярное произведение
(5, щ) = Р{х, у, z) cos а -Ь Q{x, у, z) cos /3 + R{x, у, z) cos 7 = f{x, у, z).
3. В силу формулы (1), поток определяется поверхностным интег ралом:
П = |
{a,no)da= |
f{x,y,z)da. |
ss
4.Переходим от поверхностного интеграла первого рода к двой ному, проецируя Е на плоскость XOY:
|
|
|
|
dxdy |
П== / / |
fix,y,z)da= |
/ / |
f{x,y,z{x,y)) I COS7I' |
|
где D — проекция E на плоскость XOY; |
z(x, у) определяем из урав |
|||
нения поверхности F{x^y^z) |
— 0. |
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. |
Если уравнение F{x,y^z) |
= О не определяет одно |
||
значно функцию Z = z{x^y)^ |
то проецируем Е на другую координат |
ную плоскость или используем криволинейные координаты (можно также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивнос тью интеграла).
5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному. Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПР И М Е Р . Найти поток векторного поля
а= —xi 4- 2yj -h zk
через часть плоскости
x + 2y + 3z = l,
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью 0Z).
346 |
Гл. 14. Теория поля |
РЕШЕНИЕ.
1.Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением
F(a:, ?/, z) = О, определяется формулой
, grad F
По = ±1
|gradF|*
В данном случае F{x^y^z) = х -{- 2у -\- 3z — 1 и, следовательно,
{1,2,3}
По = i - у/и
Учитывая что нормали должны образовывать острый угол с осью 0 Z , т.е. что cos7 = ±3/\/l4 > О, выбираем в этой формуле знак плюс. Имеем
2. Находим скалярное произведение:
{а,по) = —=={'-x + Ay-^3z).
Vl4
3. Согласно формуле (1), поток определяется поверхностным ин тегралом:
П = И -^{-х |
+ 42/ -I- 3z) d<T. |
4. Переходим от поверхностного интеграла к двойному, проеци руя Е на плоскость XOY:
П = / / •у={-х -f 4у + Зг) da
dxdy
z={l~x-2y)/3 1^0^71'
D
где D — проекция Е на плоскость XOY и cos 7 = Поверхность Е определяется условиями
I a;>0, 2/>0, 2:>0
14.2. Поток векторного поля |
347 |
Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих Е:
/ |
|
|
z^{l-x-2y)/3, |
|
\ |
|
|
|
\ |
|
|
а;>0, j / > 0 , |
z > 0 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
х>0, |
у>0, |
] |
Отсюда |
|
p = L , , ) . 0 S » < l / 2 . 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
[^ '^^ |
0 < х < 1 - 2 2 / J |
|
|
||
5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному: |
|
|||||||
и= |
jh-x |
+ Ay + Sz) |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|cos7| |
|
|
|||||
|
|
|
z=il-x-2y)/3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1/2 |
1-2у |
|
|
= |
^JJ{l-2x |
+ 2y)dxdy=^ |
J dy |
J {l-2x |
+ 2y)dx = |
j ^ . |
||
|
D |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Ответ. П = 1/18 ед. потока.
Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через часть плоскости^ располоэюенную в первом октанте {нормаль образует острый угол с осью 0Z).
1. |
а = xi-hyj, |
X -\-у -{• Z = 1. |
2. |
a = 2xi-\-zkj |
х -\-у -\~ z = 1. |
3. |
а = yj -f- zk^ |
2х -i-y + z = 1. |
4. |
a = xi-{-yj^ |
X -\-y -\-2z — 1. |
5. |
a — yj -\- zk, |
2x + 2y + z = 1. |
6. |
d = xi-\-yj^ |
2x ~\-у-\-2z = \. |