- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
Г л а ва 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
При изучении темы НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы из учите основные приемы нахождения первообразных (подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена перемен ной), научитесь интегрировать основные классы функций (рацио нальные дроби, тригонометрические и иррациональные выражения).
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ водные, разложить многочлен на множители, разложить рациональ ную функцию на элементарные дроби, решить системы уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов, выполнить другие численные расчеты и проверить полученные вами результаты.
7.1.Интегрирование подведением под знак дифференциала
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл
I F{x)g{x) dx.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция эт:'ой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). Тогда
f F{x)g{x)dx= |
fu{G{x))G'{x)dx= |
fu{G)dG. |
Такого рода преобразование называется подведением под знак диф ференциала.
. Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному.
ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл
/ ctgx In sin ж da:.
7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала |
147 |
РЕШЕНИЕ.
1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x)^ где д{х) имеет очевидную первообразную
G{x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). В данном случае
_. . |
Insinx |
, |
|
. . |
= cos ж, |
_,. . |
|
. |
|
_. . |
= |
InG |
.^. |
|||||||
t |
[х) — —: |
|
д\х) |
G\x) |
— sinx, |
|
F\x) |
|
- — = ii(G). |
|||||||||||
|
|
ЫП X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\JJ |
|
||
|
2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
InsinX |
|
|
, |
|
rinsina: |
, . |
|
/*lnG |
,^ |
|
||||||
|
|
/ |
|
—: |
|
|
cos xdx |
— / |
—: |
|
a sm ж = |
/ -—- aG , |
|
|||||||
|
|
|
|
sma: |
|
|
|
|
|
} |
smx |
|
|
|
У |
G |
|
|
||
где G = sinx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3. Последний интеграл не является табличным, но к нему снова |
|||||||||||||||||||
можно применить метод подведения под знак дифференциала: |
|
|||||||||||||||||||
/*lnG |
,^ |
|
/*, |
^ |
1 |
,^ |
|
|
/*! |
^ ,1 |
^ |
In^G |
_, |
= |
In^sinx |
_, |
||||
/ |
-—dG= |
|
/ InG —(iG= |
/ l n G d l n G = —— |
+С |
|
+ С. |
|||||||||||||
|
_ |
|
|
г |
|
1 . |
|
I |
= |
In^sinx |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ. J ctgx msmxdx |
|
|
|
h G. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Условия ЗАДАЧ. Найти |
неопределенные |
интегралы. |
|
||||||||||||||||
|
^- |
J |
|
x^ + 1 |
''''• |
|
|
|
|
|
|
sin 2х — cos X cZx. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
У (CO |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
У |
(жЗ+ 3x4-1)4 |
|
|
|
|
7 |
cos^x |
|
|
|
|
|
||||||
|
5. |
/ |
—-. |
|
cZx. |
|
|
|
|
6. |
/ |
|
|
dx. |
|
|
|
|
||
|
|
У |
xvlnx |
|
|
|
|
|
|
|
J |
V1 - |
a:^ |
|
|
|
|
|||
|
|
/* X cos X + sin X |
|
|
|
|
/* 2 ^rctg (x + 2) |
|
|
|||||||||||
|
|
J |
|
(xsinx)^ |
|
|
" |
|
|
J |
x2-f4x + 5 |
dx. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9. / , l v | + l . . . |
|
|
|
|
10. |
[ |
^ _ ^ |
|
|
|
|
7 2xv^ + x |
A / T - ^ |
У ^/1 - - 2 |
148 |
|
Гл. 7. Неопределенный интеграл |
|
|
||||
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Q |
|
2. |
— |
1 |
|
+ С. |
|
arctg^ ж + С. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
cos"^ X + sin X |
|
|
||
3- |
-WT-^—I |
Т^^С. |
4. |
tg^x + C. |
|
|
|
|
5. |
2v\nx-\-C, |
|
6. - a r c s i n x ^ - f C |
|
||||
7. |
-;г7—: |
TI + C'- |
8. |
arctg2(x + 2) + C. |
|
|||
|
2(a:sina:)2 |
|
|
|
|
|
|
|
9. |
1п(2ж^/ж + ж) + С. |
10. |
arcsin^ ж - |
\/\-х^ |
+ С. |
7.2. Интегрирование по частям
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл
F{x)g{x) dx.
!•
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G{x)^ а F[x) — дифференцируемая функция, причем ее производ ная /(ж) = F'{x) является более простой функцией, чем F{x). Тогда применяем формулу интегрирования по частям
I F{x)g{x) dx = F{x)G{x) ~ f f{x)G{x) dx.
Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого ра венства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.
ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл
I xdx
COS^ X
РЕШЕНИЕ.
1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x)j где д{х) имеет очевидную первообразную 0{х), а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производная f{x) = F'[x) является более простой функцией, чем F[x).
7.2. Интегрирование по частям |
149 |
||||
В данном случае |
|
|
|
|
|
F ( x ) - x , 5{x) = |
- i - , |
G(x) = tgx, f{x)^F'{x) |
= l. |
||
|
cos^ a: |
|
|
|
|
2. Применяем формулу интегрирования по частям |
|
||||
|
X dx |
|
С |
tgxdx. |
|
/ |
г— = xtga: - |
У |
|
||
cos2 ж |
|
|
|
3. Последний интеграл не является табличным, но к нему можно применить метод подведения под знак дифференциала:
tgxdx = |
/ |
sin а: da: = — / |
cos ж |
d cos x • |
/ |
J cos ж |
J |
|
|
-{ |
о |
f ^^^ — i |
J |
cos^x ~ |
In COS X + Ci |
при |
cos X > Oy |
|
•ln(—cosa;) + C2 |
при |
cosx < 0. |
|
4- / |
^^ ^^^ x + Ci |
при |
cos a: > 0, |
\ |
ln(-cosa;)-f C2 |
при |
cosa:<0. |
Заметим, что если бы мы выбрали д{х) = ж, то, дифференцируя функцию F{x) = 1/ cos^ а; и применяя формулу интегрирования по частям, получили бы более сложный интеграл, чем исходный.
Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.
1. |
{х-\- 1)е^ dx, |
2. |
/ |
arcsina;da:. |
3. / . ^sinxc^x . |
4. |
/ ( x ^ + 2x + 3)cosx.x. |
||
5. |
/ xinardx. |
6. |
/ |
—TT—dx. |
|
J |
|
J |
sin X |
7. |
e'^^cosxdx. |
8. |
/ |
x^ arctg x dx. |
9^ / s i n b x . . . |
10. / « ' e - ^ . |