12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах

12.2.Двойной интеграл в декартовых координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить двойной интеграл

/ / f{x,y)dxdy,

D

где область D ограничена линиями /i(x,t/) = О, f2{x^y) = О (г/, воз- мооюно, прямыми X = а и х = b или у = с и у = d).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, каким из неравенств

удовлетворяют координаты точек области D.

290 Гл. 12. Кратные интегралы

Пусть, например, такими неравенствами оказались fi{x,y) < О и f2{x,y)<0. Тогда

Решаем неравенства, определяющие D, относительно хиу. Получаем

D=\^{x,y): y^^^)llly^^^) I

или

2. Переходим от двойного интеграла к повторному:

3. Последовательно интегрируем, используя свойства определен­ ного интеграла.

Записываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если необходимо, разбиваем облгьсть на части и ис­ пользуем свойство аддитивности интеграла.

ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл

/ / <

1 < X. Во втором случае область неограничена, что неприемлемо.

где область D ограничена двумя окруэюностлми

и двумя прямыми

тпгу 4- kix = О, (ш^ -\- kl ф 0), т22/ + А^г^: = О, {ml -\-к\ф 0).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Зададим область D неравенствами в декартовой системе коор­ динат.

Для этого заметим, что окружности у"^ + аху -\- bix -\- х^ = О и у^ -f 022/ + ^23: + ж^ = 0 проходят через начало координат и их центры расположены на оси ОХ (при ai = О, а2 = 0) или на оси 0Y (при bi = О, 62 = 0) по одну сторону от начала координат (так как 61^2 > О или aia2 > 0). Поэтому та из окружностей, которая имеет меньший радиус, расположена внутри другой. Пусть, например, это окруж­ ность 2/^ Н- ^12/ + bix + х^ = 0 . Область D находится между окружнос­ тями, поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравен­ ствам

У^ -h aiy + bix + ж^ > О, 2/^ + а2У + Ь2Х + ж^ < 0.

Прямые miy + kix = О и т2у + к2Х = О проходят через начало координат. Область D расположена между ними. Учитывая, в ка­ кой полуплоскости находятся окружности и, следовательно, область D, определяем, каким из следующих пар неравенств удовлетворяют координаты точек области D:

2. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про­ ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре­ шать в полярных координатах

При этом (^, if) е D\ г. искомый интеграл определяется формулой

3.Чтобы найти область £)', заменяем в неравенствах, опреде­ ляющих область D, X на gcosf и t/ на gsiinp. Затем разрешаем полученные неравенства относительно ди ^р. Таким обргизом получим

4.Переходим от двойного интеграла к повторному:

И последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.

Записываем ответ.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ двойной интеграл

II-X dx dy^

D

где область D ограничена линиями

РЕШЕНИЕ.

1. Зададим область D неравенствами в декартовой системе коор­ динат. Для этого заметим, что, выделяя полные квадраты в урав­ нениях окружностей 2/^ — 4^/ + ж^ = О и у^ — Sy -\- х^ = О, их можно привести к виду

Очевидно, что обе окружности проходят через начало координат и их центры расположены на оси 0Y в точках (0,2) и (0,4). Ок­ ружность (1) имеет радиус 2 и, следовательно, лежит внутри окруж­ ности (2), имеющей радиус 4. Поскольку область D находится между окружностями, координаты ее точек удовлетворяют неравенствам

{у ~ 2)2 + ^2 > 4, (у - 4)2 + х2 < 16.

Прямые у = х/у/З и а: = О проходят через начало координат. Об­ ласть D расположена между ними. Учитывая, что окружности, а следовательно, и область D находятся в верхней полуплоскости, за­ ключаем, что область D находится над прямой у = х/у/З и справа от прямой X = 0. Поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравенствам

у > ж/\/3, ж > 0.

Итак,

( 2 / - 2 ) 2 + х 2 > 4 ,

D= < (х,2/): (2/- 4)2+0:2 < 16,

у > х/\/3, X > О

2. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про­ ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре­ шать в полярных координатах

X = д cos v?,

I уУ==Qsinip.

При этом (^, (^) G JD', а искомый интеграл определяется формулой

DD'

3.Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяю-

пщх область D, х на дcos if и t/ на gsiiup:

Решая эти неравенства относительно ^ и (^, получаем

7г/6 < (^ < 7г/2, D'={ (^,^): 4 sin (^ < ^ < 8 sin (/?