- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
2.9. Преобразование матрицы оператора |
65 |
если в базисе ei, ег, ... , вп его матрица имеет вид
ац |
ai2 |
din |
\ |
А.= |
|
а2п |
|
|
|
|
|
О'п! |
0,п2 |
|
J |
|
|
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. При переходе от базиса ei,e2, ... ,e„ к базису e'l,е'г,...,е(^ матрица оператора преобразуется по формуле
Ае' = |
С-^А^С, |
(1) |
где С — матрица перехода |
от базиса ei,e2,...,en |
к базису |
^1 , 6 2 , . . . , е ^ .
1.Находим матрицу перехода С. Так как столбцы матрицы пе рехода от базиса ei, е2, ... , е„ к базису е^, е2, ... , е^ — это столбцы
координат векторов е^, е2, ... , е'^ в базисе ei, е2,. •., вп, то
/ |
Си |
Си . . |
Cin |
\ |
|
С = |
С21 |
С22 |
• • |
С2п |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
Сп1 |
Сп2 |
• |
Спп |
) |
2. Находим обратную матрицу С~^ и проверяем, что С~^С = Е. 3. Находим матрицу оператора А в базисе е[,е2^ • • • )^п ^^ фор
муле (1)
Ае' = С-^А^С.
ПРИМЕР . Найти матрицу оператора А в базисе 6^,62,63, где
ei = ei +62 + 2ез, е2 = 2ei — е2,
вз = - e i +62 + 63,
если в базисе 61,62,63 его матрица имеет вид
Ае =
66 |
Гл. 2. Линейнал алгебра |
РЕШЕНИЕ.
1.Находим матрицу перехода
2. Находим обратную матрицу С ^ методом Гаусса:
1 |
2 - 1 I 1 О О \ |
/ 1 О О I |
1 |
2 - 1 |
|||||||
1 - 1 |
|
1 I О 1 О - |
|
О 1 О 1 - 1 - 3 |
2 |
||||||
2 |
О |
1 1 0 0 1 / |
\ 0 0 1 | - 2 - 4 |
|
3 |
||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
с-1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Убеждаемся, что С • С |
^ — Е: |
|
|
-м |
|
|
|
||||
сс-^ = |
1 |
2 |
- 1 |
1 |
2 |
/ 1 0 |
0 |
||||
1 |
- 1 |
1 |
1 |
- 3 |
2 |
== |
|
0 1 0 |
|||
|
|
2 |
0 |
1 |
2 |
- 4 |
3 |
/ |
\ 0 0 1 |
3. Находим матрицу оператора А в базисе е'^, е2,63 по формуле (1)
Ответ. А^> =
2.9. Преобразование матрицы оператора |
67 |
Условия ЗАДАЧ. Найти матрицы A^i в базисе е'^,62,63, где
е[ ~ 2ei + 3e2 +63, 62 = 3ei -f-4e2 + ез, е'з = е1+2е2 + 2ез,
если заданы мат^рицы А^ в базисе 61,62,63.
1. |
А, |
|
|
|
|
2. |
Ае = |
3. |
Ае |
|
|
|
|
4. |
Ле |
5. |
А^ = |
|
|
|
|
6. |
Л е - |
7. |
Л е - |
|
|
|
|
|
Ле = |
). |
А , - |
0 |
- |
1 |
3 |
10. Ле |
|
-4 |
|
0 |
2 |
||||
|
|
0 |
- |
1 |
2 |
|
|
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-47 -67 -37 |
|
|
|
37 -55 -27 |
||||
1. Ае/ = |
30 |
43 |
23 |
. |
2. |
А^, |
24 |
35 |
19 |
|
9 |
12 |
9 |
|
|
|
6 |
10 |
2 |
|
20 |
27 |
22 |
|
|
|
-26 |
-47 |
7 |
3. Ае/ = |
-13 |
-17 |
-16 |
. |
4. Л«, = |
13 |
25 |
-6 |
|
|
-1 |
-2 |
0 |
|
|
|
13 |
20 |
3 |
|
27 |
42 |
13 |
|
|
|
1 |
-1 |
15 |
5. Ае/ = |
-18 |
-28 |
-8 |
|
6. |
Л |
-2 -1 --11 |
||
|
-2 |
-4 |
0 |
|
|
|
4 |
6 |
0 |
68 Гл. 2. Линейная алгебра
|
|
43 -60 -34 |
|
|
4 |
4 |
21 \ |
|||
7. |
А^> == |
28 |
39 |
22 |
. |
8. А^, |
1 --1 |
-11 |
• |
|
|
|
10 |
14 |
7 |
|
|
0 |
1 |
-5 / |
|
|
|
28 |
-40 |
-28 |
|
|
-86 |
-ИЗ --60 |
||
9. |
А^, = |
17 |
24 |
18 |
. |
10. А^. = |
51 |
|
67 |
35 |
|
|
5 |
7 |
6 |
|
|
23 |
30 |
18 |
2.10.Собственные значения и собственные векторы оператора
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти собственные значения и собст венные векторы оператора А : Х„ ь-> Х^, заданного в некотором базисе матрицей
/ац |
ai2 |
... |
ain |
\ |
|
. _ , |
а21 |
а22 |
• • • а-2п |
|
|
\ |
ttnl |
0,п2 |
• • • |
О'пп |
) |
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Собственные значения оператора А являются корнями его характеристического уравнения det(>l — \Е) — 0.
1.Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни (среди них могут быть и кратные).
2.Для каждого собственного значения Лг найдем собственные век торы. Для этого записываем однородную систему уравнений
{А - \Е)Х |
= О |
и находим фундаментальную систему решений XJ, Х з , . . . , Х^_^^, где |
|
Гг — ранг матрицы системы А — \Е. |
(Заметим, что г^ < п, так как |
det(A - XiE) = 0.) |
|
3. Столбцы XJ, ^ 2 , . . . , Х!1;^_^. являются столбцами координат иско мых собственных векторов е^, 62,..., е^_^.. Окончательно для Л = Л» записываем ответ в виде
4 = {•••}, 4-{•••}, |
• • • . e u . = {•••} |
||
ЗАМЕЧАНИЕ. |
Множество собственных векторов, |
соответствую |
|
щих собственному значению Л^, можно записать в виде |
|||
5л=л, = |
{х : x = Ciei + С2е*2 + • • • + Сп-гА-г, |
Ф 0} |
2.10. Собственные значения и собственные векторы |
69 |
|
ПРИМЕР. |
Найти собственные значения и собственные |
векторы |
оператора А: |
Хз ь-> Хз, заданного в некотором базисе матрицей |
РЕШЕНИЕ.
1.Составляем характеристическое уравнение:
3 - Л |
О |
О |
|
|
|
1 |
2 - Л |
- 1 = 0 4=^{3~ |
Л)(Л2 - |
4Л + 3) = 0. |
|
1 |
- 1 |
2 - Л |
|
|
|
Поэтому Ai,2 = 3, Лз = 1. |
|
|
|
||
2. Для собственного значения Ai,2 = |
3 найдем собственные век |
||||
торы. Запишем однородную систему уравнений |
{А- 3 - Е)Х |
= О: |
|||
|
|
|
Xi — Х2 — Хз = О, |
||
|
|
|
Xi — Х2 — Х^ = |
0. |
Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1 {п — г = 2 — размер ность пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее фундаментальная система решений имеет вид
Xi = 1 , |
Х2 = |
Итак, двукратному собственному значению Ai^2 = 3 соответствуют два линейно независимых собственных вектора ei = {1,1,0} и е2 = = {1,0,1}. Множество всех собственных векторов 5AI2=3J соответ ствующих собственному значению Ai^2 = 3, имеет вид
Зхг,2=з = {х : X = Ciei + С2е2 ^ 0}.
Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному значению Аз = 1. Получим ез = {0,1,1}. Поэтому мно жество всех собственных векторов Sx^^i, соответствующих собственному значению Аз = 1, имеет вид
5лз=1 = {х : X = Сзез ф 0}.
70 |
Гл. 2. Линейная алгебра |
Ответ.
'S'AI,2=3 = { X : x=:Ciei + C2e2 7^0},гдее1={1,1,0}ие2 = {1,0,1};
5лз=1 - {х : X = Сзез / 0}, где ез = {0,1,1}.
Условия ЗАДАЧ. Найти собственные значения и собственные векторы операт,оров А : Х^ ь-> Хз, заданных в некот^ором базисе мат^рицами.
|
1 |
1 |
|
М |
|
4 |
- 2 |
|
'ч |
|
0 |
0 |
|
|
|
2 |
1 |
|
- 1 |
4. |
0 |
3 |
|
- 1 |
|
0 |
- 1 |
|
3 |
|
2 |
0 |
|
- 1 |
5. |
3 |
5 |
|
- 1 |
|
- 1 |
0 |
|
2 |
|
2 |
1 |
0 \ |
|
|
1 |
2 |
0 |
• |
|
3 |
2 |
4 ; |
|
|
4 |
2 |
|
1 |
10. |
0 |
2 |
|
- 1 |
|
0 |
- 1 |
|
2 |