- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах |
315 |
|||||||
9. ф,у) |
= ^ , |
у = 0, |
у = х, |
^ |
+ 2/2 = 1, |
|
^ + 2 / 2 ^ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(у > О, у < х). |
|
|
X |
х = 0, |
у^х, |
X |
V |
X |
у |
|
10./х(а:,г/) = —, |
— + ^ = 1, |
_ |
+ ^ = 2 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(ж > О, у > х). |
|
Ответы. |
l . m = 448/15. |
2. m = 11/7. |
3. m = 448/15. А. т = 11/7. |
|||||
5. m = 2. 6. m = 3(\/5-\/3). |
7. m = 4. 8. m = 52/3. 9. m = (\/2 - l)/2 . |
|||||||
10.m = 1 8 ( \ / 2 - l ) .
12.9.Тройной интеграл в декартовых координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной интеграл
/ / / f[x,y,z)dxdydz,
и
где область О. ограничена некоторыми поверхностями.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Зададим область П системой неравенств, например,
а < а: < Ь,
У\{х) <у< У2{х), zi{x,y) <z< Z2{x,y).
2. Перейдем от тройного интеграла к повторному:
f{x,y,z)dxdydz= |
dx |
dy |
f{x,y,z)dz. |
Q |
a |
yi{x) |
zi{x,y) |
3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по z (считая х is. у постоянными), затем по у (считая X постоянной), затем по х.
Записываем ответ.
316 Гл. 12. Кратные интегралы
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ тройной интеграл
1 I 1 х^ sh. (ху) dx dy dzy
где О. ограничена плоскостями
X
РЕШЕНИЕ.
1. Зададим область Q неравенствами. Очевидно, что О < z < 1. Для у возможны неравенства О < у < х/2 или х/2 < у < 0. Если 0 ^ 2 / ^ 2:/2, то X > О и для х имеем О < ж < 2. Если же х/2 < у < О, то ж < О и область не примыкает к плоскости а; = 2. Значит, мы должны принять, что О < у < х/2 и определить П системой неравенств
О <ж < 2 ,
О< 2/ < х/2, 0<z<l.
2.Перейдем от тройного интеграла к повторному:
|
2 |
х/2 |
1 |
/ / |
/ ж^ sh {ху) dx dy dz = |
dx / dy |
x^ sh (xy) dz. |
Г2 |
0 |
0 |
|
3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по z (считая х и у постоянными), затем по у (считая X постоянной), затем по х:
|
|
|
2 |
х/2 |
1 |
|
||
/ / / ж^ sh (ху) dx dy dz = |
I dx |
I |
dy |
I x^ sh [xy) dz = |
||||
2 |
|
x/2 |
|
1 |
|
2 |
x/2 |
|
|
dx |
x^sh (xy) dy |
dz = |
dx |
x^ sh {xy) dy • |
|||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
-I |
2 |
2 ch {xy) x/2 |
|
|
2 |
|
|
|
X |
dx = |
/ x ( c h ^ |
chO Ых = |
|||||
X |
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
0
|
|
12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах |
317 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
= sh- |
- 2 = s h 2 - 2 . |
|
|||
Ответ. |
|
|
х^ sh. {xy)dxdydz |
= sh2— |
2. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
Условия |
ЗАДАЧ. Вычислить |
тройной |
интеграл |
по области |
П, |
||||||
ограниченной |
заданными поверхностями. |
|
|
|
|
|
|||||
1. |
/ |
/ |
/ |
4:y^ze^'^ dxdydz^ |
х — О, у = 1, у = х, |
z = 0^ z = 1. |
|||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
/ |
/ |
/ |
32/^z^e"'^^ dx dy dz, ж = О, ?/ = |
- 2 , |
у = Ах, z = О, z = 1. |
|||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
I l l |
|
Sx'^z^e'^y^'^ dx dydz, |
x =^0, у = 2, |
у = 2x, |
z = О, z = - 1 . |
|||||
4. |
/ |
/ |
/ |
2y^z cos{7rxy) dx dydz, |
x = 0, у = 1, у = 2x, |
2 = 0, г = 7Г^. |
|||||
6. |
/ |
/ |
/ |
y'^z ch (ж^) dxdydz, |
x = 0, |
у = |
—1, |
у = x, z = 0, |
z — 2. |
|||
7. |
/ |
/ |
/ |
yz^ cos{xy) dx dy dz, |
x = l, ^/^'тг, |
2 = 2, ж = 0, г/ = 0, |
z = 0. |
|||||
8. |
/ |
/ |
/ |
^^-2: sh (Зд;?/) dx dy dz, |
x = 1, у = 2x, |
2/ = |
0, 2 = |
0, |
z = l. |
|||
9. |
/ |
/ |
/ |
y^z eh (2x2/) dxdydz, |
x = 0, у = 1, у = x, |
z = 0, |
z = A. |
|||||
10. |
/ |
/ |
/ |
3x2^ sin(a:y) dxdyd^;, |
a; = 2, |
у = 7г, 2 = 1, |
ж = 0, 2/ = О, z = 0. |
|||||
Ответы. |
1. / = e-2. 2. / = 2e - ^ 3. / |
= 4e-8. |
4. / |
= 4. 5. / |
= |
IGTT^. |
||||||
6 . / = 2 c h l - 2 . 7.7 = 8. 8 . / = ( s h 6 - 6 ) / 7 2 . 9. J = c h 2 - 1 . 10.7 = 2.
318 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
12.10.Тройной интеграл в цилиндрических координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной |
интеграл |
||
/ / |
/ |
f{x,y,z)dxdydz, |
|
Q |
|
|
|
где область Q ограничена |
поверхностями |
|
|
Z = gi{x^ |
+ 2/^), |
Z = д2{х^ + |
у^). |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Поскольку Vi — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейти к цилиндрическим координатам
X = Q cos v?,
у = Qsm^, z = z.
При этом {g^ip,z) G П', a искомый интеграл определяется формулой
f{x,y^z)dxdydz= f{Q cos <^, Q sin (/?, z) g dgdtp dz.
2. Зададим область О.' неравенствами. Для этого сначала заме ним в уравнениях поверхностей х на д cos ip и у на. gsiiKp. Тогда ft'
определяется неравенствами gi{g^)<z<д2{д^) или g2{g^)^z<gi{g'^).
Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение gi{g^) = д2{д^) относительно д. Если оно имеет два решения gi и д2 (О < ^1 < ^2)7 то исследуем, какал из функций gi{g^) или д2{д^) больше другой на промежутке ^i < ^ < ^2- Предположим для опре
деленности, что gi{g^) |
< д2{д^) при ^i |
< ^ < ^2- Тогда область О! |
||
определяется системой неравенств |
|
|
||
{ |
|
|
gi< |
д< Р2, |
{g,(p,z): |
gi{g'')<z<g2{g^), |
|||
|
|
о < if <27г |
||
Если уравнение д\[д^) |
= д2{д^) имеет единственное положительное |
|||
решение ^ = ^2? то неравенства для д имеют вид О < ^ < ^2-
12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах |
319 |
||
3. Переходим от тройного интеграла к повторному: |
|
||
/ / / f{^^ У) z)dxdydz = / / / fio |
cos (^, д sin (р, z) д dg d(f dz |
= |
|
27Г |
Q2 |
92{Q) |
|
dip |
gdg / f {g cos (f, g sin (p^z) dz, |
||
0 |
Qi |
giig) |
|
И последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.
Записываем ответ.
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ тройной интеграл
JJJ |
dx dy dz, |
|
х^ + У^ |
|
|
где область Vt ограничена поверхностями |
|
|
9 г^г—^ |
И |
-x^-y |
z= -у/^Л^, |
z = — |
|
РЕШЕНИЕ.
1. Поскольку Q — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейти к цилиндрическим координатам
X = д cos (р, у = gsinip,
Z = Z.
При этом (g^ip^z) G П', а искомый интеграл определяется формулой
/ / / ~~2 2^^^У^'^~ / / / ^^^'^ ^ Qdgdipdz.
2.Зададим область П' неравенствами. Для этого сначала заменим
вуравнениях поверхностей х на gcosip и у на gsiinp. Тогда ft' опре деляется неравенствами 9д/2 < Z < 11/2 —д'^ или 11/2 —д^" < z < 9д/2.
Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение
9 11 2
320 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
Это уравнение имеет единственное положительное решение ^ = 1. Следовательно, О < ^ < 1. При О < ^ < 1
9 ^ И 2
Таким образом, область П' определяется системой неравенств:
0 < ^ < 1,
9/2д <z< 11/2 - ^2,
О< v^ < 27Г
3.Переходим от тройного интеграла к повторному:
/ / / |
^T";—^dxdydz= |
/ / |
/ |
0^ |
C O S ^ < |
Qdgdifdz |
|
||||
— ; |
, |
о . 2 |
|
||||||||
J J J |
x^ -\-y^ |
|
|
J J J |
Q^ cos"^ (f + |
Q^ sin^ (^ |
|
|
|||
|
|
g^ cos2 (p + g^ sm"^ (p |
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27Г |
|
1 |
11/2-^=^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
cos^ if d(f |
gdg |
/ |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
9Q/2 |
|
Последовательно интегрируя, получаем |
|
|
|
|
|||||||
27Г |
1 |
11/2-^2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
/ |
cos^ (fd(p |
|
gdg |
/ |
dz = тт |
I— |
|
|
|
||
0 |
|
0 |
|
9Q/2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
Ответ. / / |
/ —z |
-dxdydz |
= тг. |
|
|
|
|
|
|||
Условия ЗАДАЧ. Вычислить тройной ипт^еграл по областей fi, ограниченной заданными поверхностлми.
1. |
-j^—^dxdydz, |
ж2 + 2/^ + 4а: = 0, 2; = 8 - у^, г = 0. |
2. I I f-^^^^-^dxdydz, ж2 + ?/2-42/ = 0, z = 6-a:2, 2=^0.