10.9. Область сходимости функционального ряда

3. Вычисляем:

--0,45. 9. 5 :^ 0,36. 10. 5 - 0 , 0 4 .

10.9.Область сходимости функционального ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найт,и область сходимости функциональ­ ного ряда

T.fnix).

П = 1

ПЛАН РЕШЕНИЯ. При каждом допустимом значении х рассматри­ ваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Таким образом находим те значения ж, при которых данный ряд сходится. Совокуп­ ность таких значений х образует область сходимости ряда.

При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем следующим образом.

1. Находим д{х) по одной из формул (если пределы супдествуют)

е{х) = Um % ^ 7 ^ или в{х) = lim " ^ / [ Ш I ,

где fn[x) — обш;ий член ряда.

2.Так как по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при

^< 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.

3.Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала схо­ димости.

Записываем ответ.

ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда

^3

х+1

РЕШЕНИЕ.

1. Для каждого фиксированного х все члены данного ряда поло­ жительны:

2. Используем вторую (предельную) теорему сравнения. Имеем

Так как при 2{х + 1) — 3 > 1 ряд

оо^

2-^ ^2(ж4-1)-3

п =1

сходится, а при 2(ж + 1) — 3 < 1 расходится (как обобщенный гармо­ нический), то по второй теореме сравнения ряд

ЕпЗ

П= 1 ^

сходится при вс^х X > 1.

Ответ. Область сходимости ряда — (1,оо).

ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда

^ п З ( ж 2 - 4 ж + 7 ) ^ '

т г = 1 ^ ^

РЕШЕНИЕ.

1.Для того чтобы применить признак Даламбера, находим д{х) по формуле

72^1x2 - 4х4-7|"'

2. Так как по признаку Даламбера ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравен­ ство Q{X) < 1:

4

\х^ - 4а: -Ь 7| "^ *

Получаем х Е (—оо, 1) U (3, ос).

3. Исследуем сходимость ряда в граничных точках: при X = 1 ряд

сх.

п = 1

сходится (как обобщенный гармонический с р = 3 > 1); при X = 3 ряд

оо

ЕЛ

п=1

также сходится.

Ответ. Область сходимости ряда — (—оо, 1] U [3, +оо).

10.10. Область сходимости степенного ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти область сходимости степенного ряда

то можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле Даламбера

п-^оо |Cn-fl|

или по формуле Коши

Тогда интервал сходимости ряда есть —R<x — xo < R.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы (1) и (2) применимы лишь тогда, когда все коэффициенты степенного ряда с„ отличны от нуля. В противном случае находим д{х) по одной из формул

д{х) = lim % t i ^ или в{х) = Ит " ^ / i л M ,

где fni^) — общий член ряда (см. задачу 10.9). По признакам Даламбера или Коши ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1. Следо­ вательно, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.

2. Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках ин­ тервала сходимости ж = хо ± Я.

Записываем ответ.

ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда

i.^<-')"

П = 1

РЕШЕНИЕ.

1.В данном случае с„ = (n-fl)^ ф О при всех п. Поэтому можно

применить формулы (1) или (2) для радиуса сходимости степенного ряда.

По формуле Даламбера

2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо­ димости. В точке а: = — 2 степенной ряд принимает вид

^ 2п + 1 ^ ^

П = 1

ив точке X = О степенной ряд принимает вид

у(lL±i)!(i)n.

Z ^, 9ti2n 4+- 1l ^ ' n=l

Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому усло­ вию сходимости рядов:

(п + 1)^

""-"шт^^'^^^'-

Следовательно, в этих точках ряд расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — (—2,0).

ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда

ОС .

РЕШЕНИЕ.

1.В данном случае с^ = О при всех нечетных п. Поэтому нельзя применять формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

Используем признак Коши, для чего вычислим

д{х) = lim Vl/nWI,

Находим ^(х):

^ > 1. Следовательно, интервал сходимости определяется неравенст­ вом {х — 2)^ < 1 и имеет вид (1,3).

2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо­ димости. В точке X = 1 ряд

СХ) .

п=1