- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
Г л а ва 9 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
При изучении темы КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы по знакомитесь с понятиями криволинейных интегралов первого рода (по длине дуги) и второго рода (по координатам) от функций двух и трех переменных и научитесь вычислять их вдоль различных плоских и пространственных кривых, заданных параметрически, в декарто вых и в полярных координатах, приводя криволинейные интегралы к определенным.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить про изводные функций, задающих кривую, решить системы уравнений, определяющие граничные значения параметра, вычислить получен ные вами определенные интегралы и проверить правильность полу ченных вами результатов.
9.1. Криволинейные интегралы первого рода
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить криволинейный интеграл
/f{x,y,z)dl,
L
где L — часть гладкой кривощ заданной параметрически
X = a:(t), |
|
y = y{t), |
ti<t<t2, |
z = z{t), |
|
и dl — дифференциал длины дуги. |
|
9.1. Криволинейные интегралы первого рода |
203 |
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Криволинейный интеграл первого рода по кри вой L определяется формулой
j f{x,y,z)dl = j f{x{t),y{t),z{t))^x'{tY + y'{tY-\-z'{tYdt. (1)
Подчеркнем, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода кривой и всегда t\ <t2-
1. |
Вычисляем x'{t), y'{t), z'(t) и dl = y/x'{t)'^ + y'{ty + z'{t)^ |
dt |
2. |
Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записы |
|
ваем ответ. |
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если граничные точки кривой L M{xi,yi,zi) |
и |
|
^{х2^У2, Z2) заданы в декартовых координатах, то ti и ^2 определяем, решая системы уравнений
xi =x(ti), |
( |
Х2 =x{t2), |
yi = y{ti), |
I |
2/2 = 2/(^2), |
zi = ziti); |
[ |
Z2 = 2(^2). |
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей:
ГFi(x,2/,z)=0,
\F2{x,y,z) = 0,
то ее необходимо параметризовать.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если плоская кривая задана уравнением у = у{х) (а < ж < 6), то дифференциал длины дуги равен dl = yjl -h y'{xY dx и формула (1) имеет вид
|
ь |
|
I |
/(х, y)dl = I /(х, у{х)) VI + У\х)^ dx. |
(Г) |
L |
о |
|
Если плоская кривая задана в полярных координатах {х = |
gcostp, |
|
у = QsiiKf) уравнением д = д{(р) {а < (р <Ь)^то дифференциал длины дуги равен
dl = ^g{ip)''-{-g'{ipydip.
204 |
Гл. 9. Криволинейные интегралы |
|
и формула (1) имеет вид |
|
|
|
ъ |
|
1 f{x,y)dl= |
/ f{g{^) cos V?, д{(р) sin (р) у/д{(р)'^ + Q'{(р^ dip. |
{I") |
ПРИМЕР 1. Вычислить криволинейный интеграл
Z2
/ х^ + у^ dl,
L
где L — первый виток винтовой линии
X = cost, |
|
y = smt, |
0 < t < 2 7 r . |
z = t, |
|
РЕШЕНИЕ.
1. Вычисляем: x'{t) = - sint, y'{t) = cost, z'{t) = 1, d/ = y/2dt и
2. Подставляем эти результаты в формулу (1) и вычисляем опре деленный интеграл:
2 |
27Г |
_ |
_ |
Г |
8V27r3 |
|
L |
о |
Ответ. / |
- ^ - — - dl = 8\/27гЗ |
|
J |
х^ Л-у^ |
|
L
ПРИМЕР 2. Вычислить криволинейный интеграл
{x~y)dl,
L
где L — отрезок прямой от точки Л(0,0) до точки Б(4,3).
РЕШЕНИЕ.
1. В данном случае уравнение прямой есть у = Зж/4 (О < ж < 4) и, следовательно, у'{х) = 3/4 и dl = 5/4 cZt.
9.1. Криволинейные интегралы первого рода |
205 |
2. Подставляем эти результаты в формулу (1') и вычисляем опре деленный интеграл:
|
1 {x-y)dl= |
I (х- -жj |
1^^=2' |
|
L |
О |
|
Ответ. |
{х - y)dl = -. |
|
|
L
ПРИМЕР 3. Вычислить криволинейный интеграл
|
|
|
|
|
Г |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ arctg — dl, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
J |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
где L — часть спирали Архимеда Q — ^ |
|
(О < v^ < 7г/2). |
|
|
|
|||||||
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычисляем: |
^'(^^) = |
1, d/ |
= д/(/р2 -\r\d(p и f{x,y) |
= (/?, так |
как |
||||||
arctg (tg (р) = (f при О < ip < 7г/2. |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Подставляем эти результаты в формулу (1") и вычисляем опре |
||||||||||||
деленный интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
farctg^dl= |
|
/"^V^2 + l d ^ = i(¥>2 +1)3/2 |
|
24 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
/ |
|
У ^, |
(7г2 + |
4 ) 3 / 2 - 8 |
|
|
|
|
|
||
arctg - d/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/J |
|
X |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
Условия ЗАДАЧ. Вычислить |
криволинейные |
интегралы. |
|
|
||||||||
ч |
|
I/ |
— часть кривой |
х |
= t — sint, |
у = |
1 — cost |
|||||
1. |
/ 2/^(i/, |
|||||||||||
(О < t < 27г) |
(ар?са |
циклоиды). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
zdl^ |
|
L — часть кривой х |
= |
tcost, |
у = |
tsint, |
z |
= t |
|||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(О < t < 7г) {первый виток конической винт,овой линии).
206 |
|
Гл. 9. Криволинейные интегралы |
|
|
|
|||||||
3. |
/ (ж^ + 2/^4- z^) dl^ |
L |
— |
часть |
кривой |
х = cost, |
у |
= |
sint, |
|||
Z ~ 2t {О < t < тт) |
[первый |
виток винтовой |
линии). |
|
|
|
||||||
A.j^ydl, |
L |
- |
паст, |
приео, |
. = t, |
у |
= f 12, |
г |
= |
t^Z |
||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{0<t< |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
/ y/ydl^ |
L — часть |
параболы |
у — х^ |
от точки |
А(0,0) до |
||||||
точки |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б(2,4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
xdl, |
L — |
отрезок |
прямой |
от точки |
Л(1,0) |
до |
точки |
||||
B{Q,2Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
{х -\- у) dl^ |
L — граница треугольника |
с вершинами |
(0,0), |
||||||||
(1,0)4о,1).
8. / л/хМ-^б?/, L — окруэюностъ х'^ -\- у"^ = 2х.
L
9
L
10. / \у\ dl, |
L |
— лемниската Бернулли |
д = |
^/cos2(p. |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
, |
64 |
„ |
(2 + 7г2)3/2 _ 2\/2 |
, |
27гч/5(3 + 1б7г2) |
. |
Ответы. 1. |
- . |
2. |
^ |
. 3. |
|
|
. . ^ ( 3 V 3 - i . i b i l M ) . 5 . > - - i ) . e . f . r . i . V 2 .
8. 8. 9. —. 10.2(2-72).
О