- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
Г л а ва б
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
При изучении темы ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ вы на примерах познакомитесь с понятиями частных производных, полного дифференциала, градиента, производной по направлению и научитесь их вычислять. Вы также научитесь дифференцировать сложные функции нескольких переменных и функции, заданные не явно. Эти умения вы сможете применить для нахождения касатель ной плоскости и нормали к поверхности и точек экстремума функции двух переменных.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить част ные производные, решить системы уравнений (для нахождении ста ционарных точек), выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.
6.1. Частные производные
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти частные производные до второго порядка включит,елъно функции z = /(xi, Ж2,..., Жп).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Чтобы найти частную производную функции z = / ( x i , . . . , Хп) по переменной Xk, фиксируем остальные переменные и дифференци руем / как функцию одной переменной Xk-
2. Частные производные высших порядков вычисляются анало гично последовательным дифференцированием, т.е.
5^/ |
|
9^/ |
|
|
дх1 дх\ |
\dxij ' |
dxidx2 |
dx2 |
\dxi |
д |
fdf\ |
|
д |
(af\ |
9X29X1 |
dxi \dx2J ' dxl ~ dx2 \dx2J |
130 |
Гл. 6. Функции нескольких переменных |
ЗАМЕЧАНИЕ. Частные производные можно обозначать также z'^^,
^Х2'> * • ' ' "^Жп ' ^XiXi") ^XiX2 |
^ |
^'f\' |
ПРИМЕР. Найти частные производные до второго порядка вклю чительно функции Z = хУ {х > 0).
РЕШЕНИЕ.
1.Для того чтобы найти частную производную по ж, фиксируем
уи дифференцируем функцию z = х'^ как функцию одной пере менной X. Используя формулу для производной степенной функции
{х^У = ах^~^^ получим
Для того чтобы найти частную производную по ?/, фиксируем х и дифференцируем функцию г = х^ как функцию одной перемен ной у. Используя формулу для производной показательной функции {а^У = a^lna (а > 0), получим
Zy — x^bix.
2. Частную производную второго порядка z'^^ вычисляем, диффе ренцируя z'^ по X (при фиксированном у), т.е.
г:, = {ухУ'Х=у{у-\)хУ-\
Частную производную второго порядка z'' вычисляем, дифференци руя z'^ по у (при фиксированном х), т.е.
Частную производную второго порядка z'' вычисляем, дифференци руя z'y по X (при фиксированном у), т.е.
z'^^ = [хУ 1пх); = ухУ-^ Inx + x ^ i .
Частную производную второго порядка Zyy вычисляем, дифференци руя z'y по у (при фиксированном х), т.е.
4'j; = (a^^lnx); = x4n^x.
Ответ, г; = ухУ'^, z'y = ХУ1ПХ, z'^y = z'^^ = ХУ'^ + ух^-Чпх,
4х = Ы'-^Ух - у{у -1)^^-^, < , = ^^ ь^ X.
6.2. Градиент |
131 |
|
Условия ЗАДАЧ. Найти частные производные |
до вт^орого по |
||||||||||||||||||||
рядка |
включительно |
заданных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
г = е''У. |
|
|
|
|
2. |
z = |
xln{x/y). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. |
Z = sm{xy). |
|
|
|
4. |
z = е^ |
cosy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5. |
Z= |
i/x2 + |
t/2. |
|
|
6. |
Z = |
ln{x'^+y). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7. |
z = y/2xy |
+ 2/^. |
|
|
8. |
z = |
In |
^/xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9. |
z = xcosy |
+ ysinx. |
10. z = |
(1 + ж)^(1 + г/)"^. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ответы. 1. |
4 |
= y e ^ ^ |
|
Z^ |
= |
Xe^?/^ |
^^^'^ ^ у2^ху^ |
|
^//^ |
^ |
3.2^:г |
|
|||||||||
z l |
= |
z l |
= |
e^^(l + Ж2/). |
|
2. |
z; |
= |
lux |
- Iny + |
1, |
|
z'y |
= |
-x/y, |
|||||||
4x |
= V^. |
|
. . . . . . |
. . |
|
= -1/2/- |
|
. |
|
|
. . |
z'y |
^ |
|||||||||
<j/ = |
^/2/^ |
4't/ = 4x |
|
3. z; = |
ycos{xy), |
|
||||||||||||||||
= |
xcos{xy), |
|
z'^^ |
= |
-y'^sm{xy), |
|
z'^y = |
-x'^sm{xy), |
|
|
z'^y = |
z^^ |
= |
|||||||||
= cos{xy) — xysm{xy). |
|
4. z^ = e^ cosy, |
Zy = —e^ siny, |
z'^^ = e^ cosy, |
||||||||||||||||||
Zyy = |
-£_cosy^, |
z'^y |
= |
z'^^ |
= |
-e^siny. |
5. z^ |
= |
|
x/^/x^T^, |
||||||||||||
= |
4x |
= -xy/{x^ |
|
+ yY^\ |
|
6. |
z; |
= |
2x/{x^ |
+ yl |
z'y = l/(x2 + y), |
|||||||||||
Zi', |
= |
2 ( y - x 2 ) / ( x 2 |
+ |
y)2, |
|
z;; |
== - l / ( x 2 + y ) 2 , |
|
Z^', |
= |
Z^', |
= |
||||||||||
= |
-2x/(x2 + y)2. |
7. z; = y/V2a;y + y2, |
|
z^ = (x + y)/V2xy + y2, |
||||||||||||||||||
z;', |
== |
-у2/(2ху4-у2)3/2, |
z;; |
- |
-x2/(2xy + y^)^/^ |
z^', |
= |
z^', |
= |
|||||||||||||
= xy/(2xy + y2)3/2. |
8. zi |
= |
1/(30:), |
z^ = |
l/(3y), |
z^', |
- |
-1/(3x2), |
||||||||||||||
<y |
= |
-(32/')~\ |
4'y |
= <x |
= |
0- |
|
9. |
zi |
|
= cosy + |
ycosx, |
z'y |
= |
||||||||
= s i n x - x s i n y , |
z^'^ |
=: |
-ysinx, |
|
z'^y = |
-xcosy, |
|
|
z'^y |
= |
z'l^ |
= |
||||||||||
- c o s x - s i n y . |
10.zi |
= 2(l + x)(l + y)^ |
z; = 4(l + x)2(l + y)3, |
z'^, |
= |
|||||||||||||||||
= 2{l + y)\ |
|
z;; |
= 12(l + a:)2(l + y)2, |
z^', = z^', = 8(1 + x)(l + y)^ |
|
|||||||||||||||||
6.2. Градиент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти |
градиент |
функции |
и = f{x,y,z) |
в |
|||||||||||||||||
точке |
М{хо,уо, |
ZQ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Градиент |
функции |
/(х, у, z) — это вектор, ко |
ординаты которого в базисе г, j . А: являются частными производными функции /(х, у, z), т.е.
, , |
df^^df^_^df |
г: jdf |
df |
df\ |
132 |
Гл. 6. Функции нескольких переменных |
||
1. Находим частные производные функции f{x^y^z) |
|||
|
dl |
dl |
dl |
|
9ж' |
9y' |
dz' |
2. Вычисляем |
частные производные функции f{x,y,z) в точке |
||
M{xQ,yo,zo). |
|
|
|
4. Вычисляем градиент функции гх = /(х,7/,г)в точке М(а:о, 2/о? ^о)*
grad/ {/х(^о,2/о,2:о), fy{xo,yo,zo), fz{xo,yo,zo)}.
м
Записываем ответ.
ПРИМЕР. Найти градиент функции
и= х^ — arctg (у + z)
вточке М(2,1,1).
РЕШЕНИЕ.
1.Находим частные производные функции и — х"^ — arctg {у + z):
|
^ |
= 2х |
^ |
= —L.— |
|
^ |
= |
-—1— |
|
|
||
|
дх |
' |
ду |
1 + (г/ + 2)2' |
аг |
|
l + (y + z)2- |
|
|
|||
2. Вычисляем частные производные функции и = х^ — axctg (j/ + z) |
||||||||||||
в точке М(2,1,1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/ ; ( 2 , 1 , 1 ) = 4 , |
/;(2,l,l) |
= - i , |
/^(2,1,1) = |
- i . |
|
|
|||||
3. |
Вычисляем градиент |
функции и |
— х'^ — arctg [у Л- z) |
в точке |
||||||||
М(2,1,1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad/ |
= {/;(2,1,1), /;(2,1,1), /^(2,1,1)} = | 4 , |
- 1 , - |
i |
j . |
||||||||
Ответ, |
grad/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия ЗАДАЧ. Найти |
градиент |
функции |
и = f{x, |
у, z) |
в |
точ |
||||||
ке М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
г/ = х + 1п(^2 + у2), |
М(2,1,1). |
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
W = а;2г/- v / ^ ^ T i 2 , |
М(1,5,-2). |
|
|
|
|
|
|||||
3. |
п = |
sin(a; + 22/) + гу^'хр, |
М(7г/2,37г/2,3). |
|
|
|