Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4628 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
Вычислительная математика
Файл:
Решебник Зимина.pdf
Скачиваний:
241
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
5.6 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

 

6.3. Производнал по направлению

133

4.

гх = жЗ + v 9 T z 2 ,

М(1,1,0).

 

5.

u = y/xy-{-V9-^,

 

М(1,1,0).

 

6.

u = ]n{3-x'^)-{-xy'^z,

М(1,3,2).

 

7.

u = x'^y'^z~lii{z-l),

М(1,1,2).

 

8.

u = ln(x2+2/2),

М(1,-1,2).

 

9.

u = xy-x/z,

М ( - 4 , 3 , - 1 ) .

 

10. п = 1п(ж + х/22 + 2/2), М(1, -3,4).

Ответы. 1. {1,1,1}. 2. {55/6,5/6,2/3}. 3. {3,1,7г/2}. 4. {3,1,0}. 5.(1/2,1/2,0}. 6.(17,12,9}. 7.(4,4,0}. 8 . (1, - 1,0} . 9 . ( 4 , - 4 , - 4 } . 10.(1/6,-1/10,2/15}.

6.3. Производная по направлению

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции u{x,y,z) в точке А{х1^у1, Zi) по направлению к точке 5(^2,2/2? ^г)-

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Если функция u{x^y^z) дифференцируема в точке A(xi,i/i,2:i), то в этой точке существует ее производная по любому направлению /, определяемая формулой

ди

= (gradu|^,/o),

(1)

А

 

 

 

где

 

 

 

(ди

ди дu^

-*

I

2. Находим координаты вектора /. В данном случае

1 = АВ = {х2 - XI, у2 - 2/ь Z2 - zi}.

3. Находим единичный вектор (орт) IQ:

1о =

I _

{х2-ХиУ2--У1,

Z2-

Zi}

\t\

V{^2-Xiy

+ {y2-yiy

+

{z2~Ziy'

134 Гл. 6. Функции нескольких переменных

4. Вычисляем частные производные и градиент функции и{х,у, z)

в точке A{x\^y\^zi)\

 

 

gradu = {u'^{xi,yi,zi),

u'y{xi,yi,zi),

<(xi,2/1,2:1)},

5. Вычисляя скалярное произведение в формуле (1), получаем ответ.

ПРИМЕР. Найти производную функции

и= х^ — arctg {у -Ь z)

вточке Л(2,1,1) по направлению к точке Б(2,4, —3).

РЕШЕНИЕ.

1.Так как функция и = ж^ — arctg (у 4- z) дифференцируема в точке А(2,1,1), то в этой точке существует ее производная по любому направлению /, которая определяется формулой (1).

2.Находим координаты вектора /. В данном случае

 

 

Г= АВ = {0,3,-4}.

 

 

3. Находим единичный вектор (орт) /Q:

 

 

г _ l

_

{0,3,-4}

_\^

3

_ 4

°

\1\

^ 0 2 + 3 2 + (-4)2

1

' 5'

5

4. Вычисляем частные производные функции и = х^ — arctg {у + z)

в точке А(2,1,1) :

 

 

 

 

ди

— о I

—л

^ ^

 

1

дх (2,1,1)

1 + (2/ + 2;)2 (2,1,1)

5'

 

 

^У (2,1,1)

 

ди

 

1

 

 

 

91 (2,1,1)

Ц - ( 2 / + г)2

(2,1,1)

 

Тогда

 

 

 

 

 

^^^А(2,.,.г {^^-\^-\]

5. Подставляя полученные значения в формулу (1) и вычисляя скалярное произведение, получим

ди

= (gradtx|

1

. ^ +

1

1_

 

,/о) = 4 . 0 + - -

 

 

(2,1,1)

25'

6.4- Производные слооюной функции

135

ди\

1

 

Ответ. —

— :^-

 

^^ 1(2,1,1)

25

 

Условия ЗАДАЧ. Найти производную функции и{х, 2/? ^) в точке А по направлению к точке В.

1.

и = х + 1п(г2 + у2),

^(2,1,1),

5(0,2,0).

 

 

2.

IX = ж^?/- V ^ ^ T ^ ,

Л(1,5,-2),

Б(1,7,-4).

 

 

3.

U = sin(a: + 27/) + 2^/^Р,

A f - , y , 3 J ,

Б ( -

+ 4 , у

+

3,3

4.

u = x3 +^2/^ + ^2,

^(1,1,0),

Б(1,2,-1).

 

 

5.

u = ^ + V 9 - ^ ,

^(1,1,0),

Б(3,3,-1).

 

 

6.

u = ln{3-x'^)-^xy'^z,

А(1,3,2),

Б(0,5,0).

 

 

7.

u = x^y^z~ln{z-l),

А(1,1,2),

Б(6,-5,2\/5 + 2).

8.

ii = ln(x2 + 7/2),

^(1, - 1,2),

Б(2,-2,3).

 

 

9.

и = 1п{х + ^^^Т^),

А(1,-3,4),

Б ( - 1 , - 4 , 5 ) .

 

 

10. ix = x2/ - f,

А( - 4,3, - 1), Б(1,4,-2).

 

 

Ответы. 1. - \ / б / 3 . 2. \/2/12. 3. 3. 4. \/2/2.

5. 2/3.

6.

- 11/3 .

7.- 4 / 9 . 8. 2\/3/3. 9. - \/б/60. 10. 20\/3/9.

6.4.Производные сложной функции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Найти

производные z'^ и Zy функции

Z = z{u, v), где и = и{х, у)

и v = v{x,

у).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Поскольку z является сложной функцией двух переменных ж и у, то ее производные г^ и Zy вычисляются по форму­ лам

dz

dz

ди

dz

dv

 

дх

ди

дх

dv

дх'

 

dz _

dz

ди

dz

dv

, .

ду

ди

ду

dv

ду

 

1. Вычисляем частные производные

 

 

dz

dz

du

du

dv

dv

du^

dv^

dx^

dy^

dx^

dy

136 Гл. 6. Функции нескольких переменных

2. Подставляем полученные результаты в формулы (1) и (2) и за­ писываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы (1) и (2) можно обобщить на функции лю­ бого числа переменных. Например, если дана функция f{uyV,w), где

и = и{х,y^t)^ V = v{x^y^t)

Hw = w{x,г/,t),

то ее частные производные

/ж 5 /у> ft вычисляются по формулам

 

 

 

Of

_

df

ди

df

dv

df

dw

дх

 

ди

дх

dv

дх

dw

дх'

df__d£

dv^

df_

dv_

д£

dw_

dy

 

ди

ду

dv

ду

dw

ду'

9f

_

9f

ди

df

dv

df

dw

dt

 

du

dt

dv

dt

dw

dt

П Р И М Е Р . Найти производные z^ и Zy функции z = u/v, где и = x^ Hv = y/xy.

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем частные производные

 

 

dz

_ 1

9z

_

 

и

 

 

 

 

 

du

v^

dv

 

 

v^'

 

 

 

du _

^_i

^ _

yi

 

dv

_

y/y

dv

_

y/x

dx'^""

'

dy'""

 

'

dx

"

2 V i '

dy

"

2^'

2. Подставляя полученные результаты в формулы (1) и (2), полу­

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

1

V-1

^

л/у

dz

1

у.

и

у/х

дх

V

 

v^ 2л/х

ду

V

 

v^

2у/у

Ответ.

 

dz

1

y_i

и

у/у

 

 

 

 

 

 

 

 

— = -

. ух^

^

г?2

—

 

 

 

 

dx

V

 

 

2 у ^ '

 

 

 

 

9z

1

-,,

 

и

у/х

 

 

 

 

— = - - ж ^ ^ Ь ж - — • —-Z,

 

 

 

 

dy

V

 

 

v^

2yfy

 

 

где n = ж^, V — yfxy.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Найти производные z'^ и Zy функции z = z{u,v)j

где и = и(х, у) и v = v{x,

у).

1. z = u'^-\-v'^^ и =

х-{-у^ v = x — y.

 

 

 

6.4. Производные

сложной

функции

 

137

2.

z = ln(?i2 + v^),

 

u = xy,

 

V — xjy.

 

3.

z = u^,

 

 

 

и = sin Ж,

 

V = COS y.

 

4.

z = u2 + 2t;^,

 

U = x'^ - 1 / 2 ,

V = e^2/.

 

5.

z =

3>Tctg{u/v)j

 

u = xsin?/,

V = X COS 2/.

 

6.

z = ln{u

— i;^),

 

гл =:ж2 + 2/2,

v = 2/.

 

 

7.

z =

u^-\-v^,

 

?i = In

л/х^Ту^,

v = arctg(y/x) .

 

8.

z = \/ш;,

 

 

и = ln(a;2 -f 2/^)>

г; = жу^.

 

9.

2 = e^^,

 

 

 

n = In Ж,

 

V = lny.

 

10.

0=:ln(?i/?;),

 

ii = s m ( x / y ) ,

V =

\fxjy.

 

Ответы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

4 = 2 г х

+ 2^,

4

= 2ii -

2t;.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2^;

1

,

2u

2г;

X

 

 

 

 

 

 

y^Z ^ yZ у

У

v? + г;2

li^ + v'^

y''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

zL = t;u''-i •cosx,

z^ = u ^ l n u • (—siny).

 

 

4.

z;

= 2 u - 2 x + 6t;2-ye^!',

z' = 2u • (-21/) + 6^^ • xe^".

 

5.

zi =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

V

 

 

и

 

,

 

 

 

 

 

^y

"==" IT'S—2

• ^cos y

n—~2 '

^smy.

 

 

6.

4 = —^-20:,

 

z'=—.'2y+

U — V2 '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

7.

 

= 3u2

ж2 + 2/2 - 2 v -

 

 

 

 

а;2 + 2/2'

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

X

 

 

 

 

z; = зг.2

ж2 + 2/2 + 2^

^2 + 2/2 *

 

 

 

 

 

>/г;

2а:

 

 

\ / ^

2

 

 

 

 

2:;

= 2 V ^

х2 + у2 + 2^;^ • 2/ '

 

 

 

 

^ _ ^

 

22/

, ^

 

. 2^^

 

 

 

 

^ ^ " 2 v ^

х2 + 2 / 2 ^ 2 у ^ ^''^•

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

X 1

 

1

 

1

 

 

 

 

10. 4

= -

• cos

 

 

7Г7=у

 

 

 

 

 

и

 

У У

V 2,/ху

\/х

 

 

 

 

z ;

1

 

XXf

х \

1

 

 

 

 

 

= -

• COS -

 

2/2у

+'

г»

2 2 / ^ '

 

 

 

 

^

и

 

у

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете Вычислительная математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности