- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского |
355 |
14.5.Вычисление потока по формуле Остроградского
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти поток вект^орного поля
а = Р{х, у, г)г + Q{x, у, z)j + R{x, г/, z)k
через замкнут^ую поверхность Е [нормаль внешняя).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПОТОК векторного поля через замкнутую поверх ность Е в направлении внешней нормали вычисляется по формуле Остроградского
11= |
divadxdydz, |
(1) |
где Q — область, ограниченная поверхностью Е, и
_ 9 Р |
SQ |
OR |
дх' |
ду |
dz |
—дивергенция векторного поля а.
1.Вычисляем дивергенцию diva.
2.Задаем область О, неравенствами.
3.Вычисляем поток по формуле (1) как тройной интеграл
Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР. Найти поток векторного поля
через замкнутую поверхность Е, являющуюся полной поверх ностью цилиндра
х2+у2 = 1, z = 0, z = l.
(нормаль внешняя).
356 |
Гл. 14. Теория поля |
РЕШЕНИЕ.
1.Вычисляем дивергенцию векторного поля:
дх |
ду |
dz |
2. Задаем область П неравенствами.
Поверхность Е, ограничивающая область Г2, состоит из трех по верхностей и может быть записана в виде
0<z< |
1 f и ^ ^2^^2<1 \ и |
\ ^2^.. |
|
х^ + 2/2 < 1 |
Из этих условий находим систему неравенств, определяющих об ласть П:
^ = { {x,y,z) : |
ж2 -f- 2/^ < 1, 1 |
|
0 < z < 1 |
Форма области П такова, что удобно перейти к цилиндрическим ко ординатам. Имеем
О < 9? < 27Г, "1
П = <
0 < z < 1
3. Вычисляем поток по формуле (1) как тройной интеграл:
П = |
{2x + |
2y-\-l)dxdydz. |
|
Q |
|
Переходя к цилиндрическим координатам, получаем
1 |
27Г |
1 |
П = |
dz |
d(p д{2д cos v? + 2^ sin <^ -f 1) dg — 27г. |
0 |
0 |
0 |
Ответ. П = 27Г ед. потока.
14.6. Работа силы |
357 |
Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через |
замкну |
тую поверхность^ образованную заданными поверхностями {нормаль внешняя).
|
1. |
a = {xy'^ + yz)i-{-{x^y |
+ z'^)j + {x^ + z^/3)k, |
|
ж^ + 2/2 + z^ = 1, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0 |
( г > 0 ) . |
|||
|
2. |
a = {y-{-z'^)i + {x'^-^2yz)j-^{y'^-}-2z^)k, |
|
x'^ + y'^ = l-z, |
|
z = 0. |
|||||||||||||
|
3. |
a={2xy-{-y'^z)i-{-{2xy-}-x'^z)j-\-{xy-\-z'^)k, |
|
|
x'^+ y'^-\-z'^ = V2, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 |
( z > 0 ) . |
|||
|
A. |
a = {x'^-\-y'^ + z'^)i + {xy + z)j + {x + 3z)k, |
|
x"^-\-y'^ = z'^, |
z = 4:. |
||||||||||||||
|
5. |
a = |
(3x2 -f у)г + (ж^ - 2x'^y + |
z)j |
+ {x^ - |
y'^)k, |
x^ + y'^ |
= |
1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0, z = |
l. |
||
|
6. |
a = |
(x^ 4- 2/z)z + xj + yk^ |
z = 1 — x — y, |
x = 0, у = 0, z = 0. |
||||||||||||||
|
7. |
d= |
(z^ + xz)i-}- |
{xy - |
z'^)j + yzk, |
ж^ H- 2/2 = |
1, |
z = 0, |
z = л/2. |
||||||||||
|
S. |
a = |
(ж2 + |
X2/ + |
2;2)i* + |
{x^ |
+ 2/^ + l/'^^)/ + |
(у^ + z'^ + |
xz)k, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x'^ + y'^ + z'^ = 1, |
x^^-y^ |
= z^ |
(2:>0). |
||||||||
|
^. |
a = {xz-\-y^z)i-^{x?'z-2y)2^-xyk, |
|
x^-^y^^z^ |
= \, |
z = 0 (z > 0). |
|||||||||||||
|
10. |
a = |
|
(ж2/ + 2/^ + |
>2^)?+ (2^^^; + 2/^2^)/ + |
(x^ + xz)^, |
x^ + |
y^ |
= |
4, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0, z = 1. |
|||
|
Ответы. |
1. 27г/5 ед. потока. |
2. |
тг ед. потока. |
3. |
тг ед. потока. |
|||||||||||||
4. |
647Г ед. |
потока. |
5. |
—7г/2 ед. |
потока. |
6. |
|
1/12 |
ед. |
потока. |
|||||||||
7. |
7г ед. |
потока. |
8. |
Зтг/З ед. |
потока. |
9. |
— 137г/12 ед. |
потока. |
|||||||||||
10. |
27Г ед. |
потока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14,6. Работа силы
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти работу силы
F = P{x,y)i + Q{x,y)j
при перемещении вдоль кривой L от точки M(xi,2/i) к точке N{x2,y2)'
358 |
Гл. 14. Теория поля |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Работа А силового поля равна криволинейному интегралу вто рого рода по кривой L:
А= f{F,dr)= |
I |
P{x,y)dx-VQ{x,y)dy. |
2. Вычисляем криволинейный интеграл. Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР. Найти работу силы
F = |
{х-у)г+] |
при перемещении вдоль кривой L
х^^у^ = А (г/>0)
от точки М(2,0) к точке iV(-2,0).
РЕШЕНИЕ.
1. Работа А силового поля равна криволинейному интегралу вто рого рода по кривой L:
А=: j{F,dr)= l{x-y)dx + dy.
2. Вычисляем криволинейный интеграл. Для этого:
а) поскольку L — верхняя полуокружность, ее параметрические
уравнения записываем в виде |
|
|
|
|||
|
|
{ |
у = 2sint, |
- |
- |
|
Вычисляем dx = —2smtdt и dy = |
2costdt\ |
|
|
|||
б) переходим от криволинейного интеграла к определенному: |
||||||
А= |
{x-y)dx |
+ dy= |
[{2cost-2smt){-2smt) |
+ 2cost]dt = 27r. |
||
|
L |
|
о |
|
|
|
Ответ. А = 27г ед.работы.