Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4628 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
Вычислительная математика
Файл:
Решебник Зимина.pdf
Скачиваний:
241
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
5.6 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла

325

' / / /

dx dy dz,

z = y/SQ — ж^ — 2/2, z = x^

-\r 2/2

\/а;2 + 2/2

 

 

Ответы.

1. 757Г/2. 2. бЗтг. 3. 0. 4. 0. 5. 0. 6. 27г. 7. бтг.

^. 0. 9. 0.

10. 0.

12.12.Вычисление объемов с помощью тройного интеграла

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти объем тела П, ограниченного за­ данными поверхностлми.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ИСКОМЫЙ объем равен

V= fffl-dxdydz.

(1)

п

 

1.Зададим область Q неравенствами.

2.Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и запи­ сываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР 1. Найти объем тела П, ограниченного поверхностями

ж = 1772^, x = 2 v ^ , z = ~ - 2 / , z = 0.

РЕШЕНИЕ.

1. Зададим область О. неравенствами. Поскольку 17у/2у > 2>/2у, для X имеем неравенства 2у/2у < х < 17\/2у. Поскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенства О < г < 1/2 - 2/ или l/2-y <z <0. В первом случае О < у < 1/2. Во втором случае у > 1/2, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

326

Гл. 12. Кратные интегралы

Итак,

 

 

 

П =

I (х,г/,2):

0 < 2 / < 1 / 2 ,

\ ,

 

 

О < Z < 1/2 -

г/

2. Вычисляем объем по формуле (1), сводя тройной интеграл к повторному:

V = / / / 1 • dx dy dz = dy / dx / dz = 1.

Ответ. У = 1 ед. объема.

Пример 2. Найти объем тела f2, ограниченного поверхностями

z = -Vx^^^,

11

z = — -x^-y'^.

РЕШЕНИЕ.

1.Поскольку П — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно исполь­ зовать цилиндрические координаты

X = Q cos V?,

у = Qsinip,

Z = Z.

При этом {g^ip^z) G J1', а искомый объем определяется формулой

V= f f f gdgdifdz,

(2)

где область Cl' ограничена поверхностями

9

11

о

2. Зададим область О. неравенствами. Возможны два случая: либо 9д/2 <z< 11/2-д'^, либо 11/2-^^ <z< 9д/2. В первом случае ^ < 1, во втором случае ^ > 1, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

0 <

^ < 1 ,

^'=1 (Q.^.Z):

9g/2<z<ll/2-g\

О <

v? < 27Г

12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла

327

3. Вычисляем объем по формуле

(2), сводя тройной интеграл к

повторному:

 

 

 

 

 

27Г

1

11/2-е^

 

 

V =

d(f

gdg

/

dz = 27г.

 

о

о

9^/2

 

Ответ.

У = 27Г ед. объема.

 

 

 

ПРИМЕР

3. Найти объем тела П, ограниченного поверхностями

 

Узб"

^

У

 

х'^ + у2

 

 

 

РЕШЕНИЕ.

1.Поскольку Г2 — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

X = gcosipsmO^ у = gsijupsmOy Z — gcosO.

При этом {д,в,(р) G Г2', а искомый объем определяется формулой

V= I I I д'^sinedgdedip.

(3)

Заменяем в уравнениях поверхностей хиз. д cos (р sin ^, у яа. д sin (р sin в

и2 на дсозв. После преобразований получаем

^= 6, tg(9 = \/3.

Область П' ограничена этими поверхностями.

2. Зададим область Q' системой неравенств

 

О < ^ < б,

^

П' = < {д,в,^): 0 < е < 7 г / 3 ,

>.

О < (^ < 27Г

 

3. Вычисляем объем по формуле (3), сводя тройной интеграл к повторному:

27Г

7Г/3

6

V = I dф 1 sinOdO I g'^dg = 12тт.

оо

328

Гл. 12. Кратные интегралы

Ответ.

V = 727Г ед. объема.

Условия задач. Найти объемы тел, ограниченных поверхностлми

1.х = 2у/у,

2. 2/ = 2 у ^ ,

3.х^^у^=5,

4.

х'^ + у'^ -2х

= 0,

5.

х^ + у^-2у

= 0,

6.z = V4 - a;2 - у2,

7.z = V ' 9 ^ ^ ^ 2 ^ ^ ,

S. z=

y/9-x2 _ „2

х =

у/у,

г =

0,

z =

l-~y.

2/ =

\/^,

2 =

0,

z = 1 — X.

у =

2у/х,

z =

0,

z =

2x.

z = 0,

z = 4 - 2 / ^ .

 

z =

0,

2 =

4 - х 2 .

 

z = ^3(х2 + y^).

 

 

 

2 = 0,

x2+2/2 =

1

(x2 + 2/2<l).

/x2 + у2

z - \/

3

•

9. z = y/A -

x'^ -

2/2,

Ix^ + y^

 

 

z — у\l

24 •

 

 

 

 

 

 

 

10. z = ж^ + у2,

 

2 = л/ж^ + 2/2.

 

 

Ответы. 1. У = 4/15. 2. F

= 4/15.

3. У = 8/5.

4. У = 157г/4.

5. V = 157Г/4.

6.

У = 27Г (8/3 - 5\/3/4).

7. У =

27г (9 - 16\/2/3).

8.У = 97Г. 9. У = 647Г/5. 10. V = тг/б.

12.13.Вычисление массы тела

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти массу тела Г2 с плотностью fi{x,y,z), ограниченного заданными поверхностлми.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Масса тела П с плотностью ii{x,y,z) определяется формулой

771= / / /

^{x,y,z)dxdydz.

а

 

2.Зададим область О. неравенствами.

3.Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и запи­ сываем ответ, не забывая о размерности.

12.13. Вычисление массы тела

329

ПРИМЕР 1. Найти массу тела 0^ с плотностью /i = 2ж, ограничен­ ного поверхностями

X = 2у/2у, X = у/2у, z = l - y , z = 0.

РЕШЕНИЕ.

1. Масса тела Cl с плотностью /х = 2ж определяется формулой

т = / / /

2xdxdydz.

2. Зададим область D. неравенствами.

Поскольку 2л/2у > \/2^,

для X имеем неравенства >/2у < х < 2у/2у.

Поскольку у фигурирует

под знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенства

О < Z < 1 — у или l — y<z<0.

В первом случае О < у < 1. Во втором

случае 2/ > 1, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

 

V^<x<

2у^,

 

 

 

 

П=

l{x,y,z):

0 < 2 / <

1,

 

 

 

0<z<l-y

 

 

3. Вычисляем т ,

сводя тройной интеграл к повторному:

 

 

1

2^2^

1-у

 

т = / / /

2xdxdydz

— I dy

I 2xdx

dz = 1.

^

 

0

y %

0

 

Ответ, m = 1 ед. массы.

ПРИМЕР 2. Найти массу тела Q с плотностью fi "= z, ограничен­ ного поверхностями

РЕШЕНИЕ.

1. Масса тела О. с плотностью /i = z определяется формулой

т = / / /

zdxdydz.

330

Гл. 12. Кратные интегралы

Поскольку Q — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейти к цилиндрическим координатам

 

 

X =

д cos

if,

 

 

 

 

 

у =

QsiiKp,

 

 

 

 

 

z — z.

 

 

 

 

 

При этом

(^, (^, z) G П', а искомая масса определяется

формулой

 

V = / / /

zQdgdip

dz.

 

 

Заменяем в уравнениях поверхностей х на gcos(p

и у

на. д sirup. По­

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д = 2,

Z =

0,

 

Z =

^ .

 

 

2. Зададим область О.' системой

неравенств

 

 

 

 

 

0 < ^ < 2 ,

 

 

 

П ' = < ( ^ , ^ , z ) :

 

 

0<z<g^/2,

> .

 

 

 

 

О <

9? <

27Г

 

 

3. Вычисляем т , сводя тройной интеграл к повторному:

 

27Г

2

 

^V2

— 87Г

 

 

 

т — \ dip

\ gdg

\

zdz

'

 

 

0

0

 

о

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

V = 87г/3 ед. массы.

 

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р 3. Найти массу тела Г^ с плотностью /i = 2О2;, ограничен­ ного поверхностями

= \ / 1 - а:2

а;^ + у^

Г

РЕ Ш Е Н И Е .

1.Масса тела fi с плотностью \i = 20z определяется формулой

771= / / /

20zdxdydz.

12.13. Вычисление массы тела

331

Поскольку о. — область, ограниченная верхней полусферой и верх­ ним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:

X = ^cos<^sin^,

Z = QCOSO.

При этом {д,в,(р) G П', а искомая масса определяется формулой

т=4 I1I I120д•• sin в cos в d(f dO dg.

Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^ cos (^ sin б, уна^д sin (р sin в и 2: на gcosO. Получаем

Область П' ограничена этими поверхностями.

2. Зададим область fi' системой неравенств

 

 

0<g<h

 

 

 

 

fi'= 1 {g.e.if):

0 < 6 < a r c t g 2 ,

 

 

 

 

0<(р<27г

 

 

 

3. Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:

27Г

arctg 2

 

sin^l?

arctg 2 ^4

771 = 2 0 d(p

/ sin вбcos0d^

// g^dg = 407г

 

О

4 = 47Г.

0

0

0

 

 

 

Здесь мы воспользовались формулой

 

 

 

 

sin^e ^=arctg2

l + tg^^ 0=arctg 2

 

 

Ответ, m = 47Г ед. массы.

332

Гл. 12. Кратные интегралы

Условия ЗАДАЧ. Найти массу тела с плотностью /х, ограничен­ ного заданными поверхностями.

1.

/i = 2у^е^^,

ж = О,

у = 1,

У = X,

2 = 0,

Z = 1.

2.

fi = y'^e-''y,

х = 0,

2/= - 2 ,

 

у = 4а:, z = О,

z = l.

3.

/i = 2/2e^^/2,

а;=:0,

у = 2,

у = 2ж,

z = О,

z = - 1 .

 

Г.2

 

 

 

 

 

 

 

 

"^^

/^ = ^2 • 2 > 2:^ + 2/^-42/ = О,

г = 4 - x ^

г = 0.

 

х-^ 4- г/

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

fJ^ = -^—5-'

ж'^ + У^-4а: = 0,

z = 10~y^,

z = 0.

 

х^

 

/

 

ж -j- ту

 

 

 

7

^'

/1

2

2

2(^^ + у")

 

 

^'

^= 2_L 2^

2;=

л / 1 - а ; 2 - у 2 ^

z =

.

 

 

8.

3:^ + 2/"^

z = y^l-x^-y\

3

 

 

 

/i = 32z,

z = y/^Ty^.

 

 

9.

/i = 52,

z = \/l6 — ж^ — г/2,

z

x^ + y^

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. /i = lOz,

z = y^4 - x^ - 2/2,

z =

д/х^Т^

 

Ответы. 1. m = e - 2. 2. m = 2e~^. 3. m = 4e - 8. 4. m = 57г/2.

5.m = 177Г/2. 6. m = 17l7r/4. 7. m = 197г/96. 8. m = 47г. 9. m = 2887Г.

10.m = 327Г.

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности