- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
|
|
|
1.7. Расстояние от точки до плоскости |
|
21 |
||||
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|||
l.V |
= 70/3, |
h = 2ч/14. |
2. |
У = |
56/3, |
/i = 4. |
|||
3. |
У = 43/2, |
h = 43\/Т05/105. |
4. |
У = 80/3, |
h = |
i. |
|||
b.V |
= 190, |
h = 2 v ^ . |
6. |
У = |
15, |
h = SVE. |
|||
7. |
У = |
12, |
/i = 2i/3. |
8. |
У = |
140/3, |
/i = |
4i/l4. |
|
9. |
У = |
250/3, |
/г = 5\/2. |
10. |
У = |
338/3, |
/i = |
V ^ . |
1.7- Расстояние от точки до плоскости
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти расстояние от точки Мо(жо, VO^ZQ) до плоскости, проходящей через точки Mi(a:i,2/i,zi), М2{х2,У2у^2) и
Мз(а;з,2/з,^з)-
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с верпганами Мо(а;о,2/о,^о), Mi{xi,yi,zi), М2(х2,2/2,^2) и Мз(жз,2/з?^з)? опущенную из вершины Мо(а;о, VO^ZQ) на грань М1М2М3 (см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.
Расстояние d от точки Мо{хо,уо,го) до плоскости равно длине проекции вектора MIMQ на нормальный вектор плоскости п, т.е.
(n,MiMo)| |
(1) |
d = I nP^MiMol = '^ ' .' "^' . |
\n\
Поскольку нормальный вектор плоскости n ортогонален векторам М1М2 и М1М3, его можно найти как их векторное произведение:
п= [MiM2,MiM3].
1.Находим координаты векторов:
М1М2 = {x2-xi,y2-yi,Z2-zi}, |
МгМг = |
|
{x3-xi,ys-yi,Z3-zi}, |
||
Ml Mo = {хо -xi.yo -2/1,2:0 - |
zi}, |
|
|
|
|
и нормального вектора плоскости: |
|
|
|
|
|
п = [MiM2,MiM3] = |
г |
j |
|
к |
|
Х2 -XI |
2/2 - |
2/1 |
^2 - |
Zi |
|
|
хз -XI |
2/3 - |
2/1 |
^3 - |
2^1 |
2. Вычисляем расстояние d от точки Мо(жо,2/05^о) ДО плоскости по формуле (1).
ПРИМЕР. Найти расстояние от точки Мо(1,-1,2) до плоскости, проходящей через точки Mi(l,5, —7), М2(—3,6,3), Мз(—2,7,3).
22 |
Гл. 1. Аналитическая геометрия |
РЕШЕНИЕ.
1.Находим координаты векторов:
MiM2 = {-4,l,10}, MiM3 = {-3,2,10}, MiMo = {0,-6,9},
и нормального вектора плоскости:
г |
j |
к |
= -lOi + lOj -Бк. |
п = [М1М2, MiMs] = - 4 |
1 |
10 |
|
- 3 |
2 |
10 |
|
2. Вычисляем расстояние d от точки MQ ДО ПЛОСКОСТИ ПО фор
муле (1): |
|
|
d:=|nP^MiMo| = |(n,MiMo)| |
-105 |
= 7. |
|
V(-10)2 + 102 -f |
(-5)2 |
Ответ, d = 7 ед. длины.
Условия ЗАДАЧ. Найти расстояние от точки MQ до плоскости, проходящей через точки Mi, М2 и М^.
1. |
Mi(0,7,-4), |
М2(4,8,-1), |
Мз(-2,1,3), |
Мо(-9,10,2). |
2. |
Mi(5,8,3), |
М2(10,5,6), |
Мз(8,7,4), |
Мо(7,0,1). |
3. |
Ма(1,3,5), |
М2(-5,5,2), |
Мз(7,-1,8), |
Мо(-3,4,3). |
4. |
M i ( 0 , - 2 , - l ) , |
М2(-3,-1,2), Мз(1,0,-2), |
Мо(-3,3,1). |
|
5. |
Ml(2,3,1), |
М2(2,0,3), |
Мз(1,2,0), |
Мо(3,0,5). |
6. |
Mi(4,3,5), |
М2(4,5,2), |
Мз(5,1,4), |
Мо(-2,-6,2). |
7. |
Ml(4,5,0), |
М2(4,3,0), |
Мз(1,2,9), |
Мо(6,1,-6). |
8. |
Mi(5,12,l), |
М2(0,5,-3), |
Мз( - 4,2, - 1), |
Мо(-4,9,-8). |
9. |
Mi(0,3,5), |
М2(0,-1,-3), Мз(4,0,0), |
Мо(-1,4,6). |
|
10. Mi(l, - 2,2), |
М2(-3,2,3), |
Мз(3,0,6), |
Мо(-2,5,-4). |
|
Ответы. l.d = 459/\/2265. 2. d = 5л/2. 3.d = 0. |
4. d = 9/у/Ш. |
5.d = N/38/38. 6. d = 5/v/29. 7. d = 2^6. 8. d = 7. 9. d = 5/9.
10.d = 45^194/97.
1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором |
23 |
1.8.Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать |
уравнение |
плоскости, проходя |
|
щей через |
точку Mo{xo,yo,zo) перпендикулярно |
вектору М1М2, где |
|
точки Ml |
и М2 имеют координаты |
{xi^yi^zi) |
и (х2,2/2,^2)• |
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Уравнение плоскости, проходящей через точку ^о(^О) 2/05 ZQ) перпендикулярно вектору п = {А, Б, С}, имеет вид
А{х - хо) + В{у - уо) + C{z - го) = 0. |
(1) |
1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор
М 1 М2 = {Х2 ~Х1,У2 |
~yi,Z2 - |
Zi}. |
|
2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным |
вектором |
||
М1М2, проходящей через точку Мо(а:о,2/о,2;о): |
|
||
(Х2 - Xi){x - |
Хо) + (2/2 - |
yi){y - Уо) + {Z2 - Zi){z - Zo) |
= 0. |
ПРИМЕР. Написать уравнение плоскости, проходящей через точ ку Мо(2,5,—3) перпендикулярно вектору М1М2, где точки Mi и М2 имеют координаты (7,8, —1) и (9, 7,4).
РЕШЕНИЕ.
1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор MiM2 = { 2 , - l , 5 } .
2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором п = {2, —1,5}, проходящей через точку Мо(2,5, —3):
2 ( а ; - 2 ) - 1 ( 2 / - 5 ) + 5(гЧ-3)=0.
Ответ. Уравнение плоскости 2а: — у Н- 5z + 16 = 0.
Условия ЗАДАЧ. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно вектору М1М2.
1. |
Мо(3,2,0), |
Mi(4,l,5), |
М2(2,-1,4). |
2. |
Мо(-5,-1,0), |
iWi(-5,l,-4), |
М2( - 2,2, - 3) . |
3. |
Мо(2,-4,-2), |
M i ( - l , - 3 , - 7 ) , |
М 2 ( - 4 , - 1 , - 5 ) . |
4. |
Мо(-5,3,10), |
Mi(0,5,7), |
М2(2,7,8). |
24 |
|
Гл. 1. Аналитическая геометрия |
|||
5. |
Мо(2,-10,-4), Mi(0,-6,-8), |
М2(-2,~5,-9). |
|||
6. |
Мо(1,9,2), |
Mi(0,4,7), |
М2(1/6,9). |
||
7. |
Мо(0,-2,7), |
Mi(-5,~4,9), |
М2(-2,^2,6). |
||
8. |
Мо(-1,1,-4), |
Mi(3,8,-2), |
М2(2,11,0). |
||
9. |
Мо(-1,7,-б), |
Ml(3,5,-1), |
М2(1,3,-2). |
||
10. Мо(-5,2,5), |
Mi(3, - 3 , - 2), |
М2(4, - 1 , 2 ) . |
|||
Ответы. |
|
|
|
|
|
1. |
2a: + 22/ + z = 0. |
2. |
Зх + у + 2 - 4 = 0. |
||
3. Зх - 2у - 22: - |
16 = 0. |
4. |
2ж -h 2^/ + z + 9 = 0. |
||
5. |
2х - 2/ + ;г - 20 = 0. |
6. |
ж + 2у + 2z -- 3 = 0. |
||
7. |
Зж + 2у - Зг + 23 = 0. |
8. |
а: - Зг/ - |
22; - 8 = 0. |
|
9. |
2х + 2у -f г - 16 = 0. |
10. о; -f 22/ + 42; ~ 5 = 0. |
1.9. Угол между плоскостями
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти угол меэюду плоскостями Ахх Н- Вху -h Ciz + А = 0 , А2Х -h Б22/ -f C2Z + D2 = 0.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами
ni = {Ai,^i,Ci}, П2 = {А2,^2,С2}.
Поэтому угол (^ между плоскостями определяется равенством
(П1,П2) |ni| •|П2|
ПРИМЕР. Найти угол между плоскостями
X 4- 22/ - 2z - 7 = О, X + 2/ - 35 = 0.
РЕШЕНИЕ. Двугранный угол между плоскостями равен углу меж ду их нормальными векторами п\ = {1,2,—2}ип2 = {1,1,0}. Поэто му угол (/? между плоскостями определяется равенством
(П1,П2) |
1 - Ц - 2 - 1 - 2 . 0 |
'—""• —- |
1 |
|
c o s (Р ^^ "'^ |
^ -— |
^12 + 22 + (-2)V12 |
V2 ' |
|
|П1|-|П2| |
+ 12 |
Таким образом, ^ — arccos (1/\/2) = 7г/4. Ответ. Угол между плоскостями (р = 7г/4.