- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
222 |
|
|
|
Гл. 10. Ряды |
|
|
|||
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов. |
|
||||||||
Y> |
3" + 2 |
|
у . |
5" |
|
|
|||
п=2 |
|
^ |
"^ |
|
п=1 |
^ "^ |
|
|
|
f. |
(Зп + 2)! |
|
у^ 2"(п^ - 1) |
|
|||||
' ^ 2 " ( 2 п |
+ 5)!' |
П = 1 |
|
|
|
|
|||
П = 1 |
|
^ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ ( 2 п ) ! ' |
|
|
^ 3 " + 2' |
|
|
||||
п=1 |
^ |
' |
|
|
п=1 |
|
|
|
|
у;п!(2п + 2)! |
^ |
2"п! |
|
|
|||||
^ |
|
(Зп)! |
• |
^ ( 2 п ) ! ' |
|
|
|||
П = 1 |
|
^ |
'^ |
|
П = 1 |
^ |
^ |
|
|
п=1 |
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
Ответы. |
1. |
Ряд |
сходится |
{д = 0). |
2. Ряд сходится |
{д = 0). |
|||
3. Ряд расходится (^ = +оо). |
4. Ряд сходится (^ = 0). |
5. Ряд |
|||||||
сходится {д = 0). |
6. Ряд расходится |
{д = 4-оо). 7. Ряд сходится |
|||||||
{д = 4/9). |
8. |
Ряд сходится {д |
= |
0). |
9. |
Ряд сходится {д |
= 2/е). |
||
10.Ряд расходится {д = 3/е).
10.5.Признак Коши
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полооюи- т.ельпыми членами
ОО
п=1
где an '^ Ьп и Ишп-^оо У/Ь^ существует и легко вычисляется.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Ь^ имеет, например, вид ^(п) f{n)'^ , где / ид — рациональные функции п, то lim„_>oo У/К, существует и легко вычисляется. В таком случае применяем радикальный признак Коши,
Пусть дан ряд с полоэюительными членами
ОО
п=1
10.5. Признак Коши |
223 |
|
Если существует предел |
|
|
lim ^ |
= ^, |
(1) |
п—>-оо |
|
|
то при д < 1 ряд сходится^ при д > I расходится. |
(Если ^ = 1, то |
|
признак Коши ответа не дает.) |
|
|
1.Проверяем, что а„ > О при всех п > 1.
2.Упрощаем, если требуется, выражение для а^, т.е. будем иссле довать сходимость ряда X^^i ^п такого, что йп ~ Ьп при п -> оо, а затем воспользуемся второй теоремой сравнения.
3.Вычисляем предел
lim л/Ь^ = д.
п-^оо
4. Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему срав нения.
Если ^ < 1, ряд X^^i Ьп сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и исходный ряд Yl^=i ^п-
Если ^ > 1, ряд Х]^1 Ьп расходится. Следовательно, по второй теореме сравнения расходится и исходный ряд Yl^=i ^п-
ЗАМЕЧАНИЕ. Полезно иметь в виду, что
lim ^ = 1 , |
lim v^b^ = 1, |
lim \/P{n) = 1, |
n—)-oo |
n—>oo |
n—>co |
где P{n) — многочлен относительно п.
ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда
оо
V n ^ a r c t g ^ - ^ .
п=1
РЕШЕНИЕ.
1.Проверяем, что члены ряда положительны. Действительно,
an = п^ arctg^" -г- > ^ An
при всех п > 1.
2. Поскольку arctgx ~ х при ж -> О, упрош;аем выражение для а^:
п
224 |
Гл. 10. Ряды |
т.е. будем исследовать сходимость ряда Yl'^^i ^п? где
и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.
Очевидно, что Ишп-^оо У/К. существует и легко вычисляется. В таком случае применяем радикальный признак Коши.
3. Вычисляем Q ПО формуле (1), учитывая, что Ишп-^с» v ^ = 1-
,1/п
д = lim |
L \ 4 n / J |
n->oo |
\ 4 n / |
п—>-оо |
4. Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему срав
нения.
Так как ^ = О < 1, то ряд
сю 2п
п=1
сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и исходный ряд.
Ответ. Ряд /]п^ arctg^^— сходится.
п=1
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.
П = 1 ^ ^ П = 1 ^ ^
п=1 |
^ |
^ |
п=1 |
^ |
^ |
п=1 |
^ |
^ |
п=1 |
^ |
^ |
|
|
2п |
оо |
/ и ^ |
1 \ п / 2 |
n = l |
^ |
^ |
п—\ |
^ |
^ |
^ |
^2оп |
|
оо |
|
|
n = l |
|
|
n = l |
|
|
|
10.6. Интегральный признак Коши |
|
225 |
||
Ответы. |
1. Ряд расходится {д = 4-оо). |
2. Ряд |
сходится {д = 0). |
||
3. Ряд сходится (^ = 0). |
4. Ряд сходится (^ = 0). |
5. |
Ряд сходится |
||
{д = 0). 6. |
Ряд сходится |
{д •= 3/5). 7. |
Ряд сходится {д = 1/4). |
||
8. Ряд сходится {д — 2/3). |
9. Ряд сходится {д — Ъ/Ъ). |
10. Ряд рас |
|||
ходится {д = 3/е). |
|
|
|
|
|
10.6. Интегральный признак Konin
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полооюительными членами
J2an,
n=l
где а^ ^ bji = /(^), причем первообразная функции f{x) легко вычисляет,ся.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ 6^ = /(^), причем первообразная функции /(х) легко вычисляется, то применяем интегральный признак Коши.
Если функция /(ж), принимающая в точкахх = п (п G N) |
значения |
||
/(п) |
= Ьп > 0^ убывает в некотором |
промеэюутке b < х < +оо |
|
(Ь > |
1), то ряд Х ] ^ 1 ^п '^ несобственный |
интеграл /^ f{x) |
dx либо |
оба сходятся.^ либо оба расходятся.
1. Упрощаем, если требуется, выражение для an, т.е. будем ис следовать сходимость ряда X^^i Ь^ такого, что а^ ~ Ь^ при п —)> оо и Ьп = f{n) выбраны так, чтобы функция f{x) имела очевидную пер вообразную F{x). Затем используем вторую теорему сравнения.
2. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определе нию:
f{x)dx= |
Ихп |
F{b)-F{a). |
/ |
Ь->+оо |
|
3. Применяем интегральный признак Коши к ряду
со
п=1
изатем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного ряда Yl^=i ^П5 используя вторую теорему сравнения.
226 |
Гл. 10. Ряды |
ЗАМЕЧАНИЕ. Интегральный признак Коши применяется, в част
ности, к рядам вида Yl^:=i —/(Inn).
п
П Р И М ЕР . Исследовать сходимость ряда
Е Зп _ ^(п2 - 2)1п(2п) -
РЕШЕНИЕ.
1. Упрощаем выражение для an
Зп |
|
(п2 - 2) 1п(2п) |
пЫп |
3 и будем исследовать сходимость ряда У]^1 —; с помощью ин-
"~ п\пп
3
тегрального признака Коши, так как функция f(x) — —.— имеет
хтх
очевидную первообразную F{x) — 3 In In ж. Затем используем вторую теорему сравнения.
2. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определе нию:
/ |
- ^ — = |
lim / |
— — = 3 |
hm 1п1п6 - 1п1п2 = +оо. |
J2 |
хтх |
ъ-^л-оо J2 |
хтх |
ь->+оо |
Интеграл расходится.
3. Применяем интегральный признак Коши: |
|
Функция f(x) = —;3 |
непрерывна в промежутке [2, -f оо) и убыва- |
хтх
ет в нем к нулю. Следовательно, из расходимости интеграла следует расходимость ряда
^-^ nlnn
п=2
По второй теореме сравнения расходится и исходный ряд.
Ответ. Ряд Y] |
Т2—ом ^о ^ Расходится. |
^ |
(п2 - 2) 1п(2п) |