Завдання для самостійної роботи до рОзДілу 5

Завдання 1.

Визначити символьне значення першої й другої похідних f(x):

№ варіанта	f(х)	№ варіанта	f(х)	№ варіанта	f(х)
1	1/(tg2x + 1)	6	x2arctg(x/3)	11	(2x + 3) sin x
2	cos x /(2x + 5)	7	e2x sin 3x	12	cos3x/(1-cos3x)2
3		8	ctg2x/(sin 2x)2	13	1/(1 + x + x2)
4	sin x/(1+sinx)	9	(x + 1) sin x	14	(1 + x)/(2 + x)
5	x2lg(x + 2)	10	5x + x lg x	15

Завдання 2.

Варіант 1. Нехай z(x,y) = ln(x³ + 2y³) – виробнича функція, що дає залежність між обсягом виробництва z і витратами живої праці x та упредметненої праці y. Знайти:

1. закон зміни виробничої функції за кожним фактором x та y;

2. еластичність функції за кожним фактором;

3. коефіцієнти еластичності за витратами живої й упредметненої праці при x=1, y=1.

Побудувати графіки виробничої функції та еластичності за кожним фактором.

Варіант 2. Залежність між витратами виробництва й обсягом продукції, що випускається, має вигляд: y=50x – 0,05x³ (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції 10, 20 од. Побудувати графіки.

Варіант 3. Задано функцію повних витрат: K(x)=150х – х² , де х – обсяг виробництва. Визначити:

1. функцію середніх витрат (на одиницю продукції);

2. функцію граничних витрат;

c) коефіцієнт еластичності для обсягу продукції, що випускається, x = 10, х = 50.

Побудувати графіки.

Варіант 4. Функції попиту q і пропозиції S від ціни р задаються відповідно рівняннями: q=14 – 2p і S=2p + 2. Знайти:

1. рівноважну ціну;

2. еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни;

3. зміну прибутку (у відсотках) при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

Побудувати графіки функцій попиту та пропозиції та їх еластичності.

Варіант 5. Нехай z(x,y)=xy³ – 3x²y² + 2y⁴ – 120y – виробнича функція, де x – витрати живої праці, y – витрати упредметненої праці, z – обсяг виробництва. Знайти:

1. закон зміни виробничої функції за кожним фактором x та y;

2. еластичність функції за кожним фактором;

3. коефіцієнти еластичності за витратами живої й упредметненої праці при x = 1, y = 1.

Побудувати графіки виробничої функції й еластичності за кожним фактором.

Варіант 6. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) і випуском продукції х (млрд грош. од.) виражається функцією: y= –0,5x + 80 Знайти еластичність собівартості при випуску продукції, рівному 60 млрд грош. од. Побудувати графіки собівартості та еластичності.

Варіант 7. Задано функцію повних витрат: K(x)=x³ – 3x² + 10x, де х – обсяг виробництва. Визначити:

1. функцію середніх витрат (на одиницю продукції);

2. функцію граничних витрат;

c) коефіцієнт еластичності для обсягу продукції, що випускається, x = 1, х = 2.

Побудуйте графіки.

Варіант 8. Нехай z(x,y)=e^xy – виробнича функція, де x – витрати живої праці, y – витрати упредметненої праці, z – обсяг виробництва. Знайти:

1. закон зміни виробничої функції за кожним фактором x та y;

2. еластичність функції за кожним фактором;

3. коефіцієнти еластичності за витратами живої та упредметненої праці при x = 1, y = 1.

Побудувати графіки виробничої функції й еластичності за кожним фактором.

Варіант 9. Дослідним шляхом установлені функції попиту: та пропозиції: S = p + 5, де q, S – кількість товару, відповідно, що купується, і запропонованого на продаж в одиницю часу; p – ціна товару. Знайти:

1. рівноважну ціну;

2. еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

3. зміну прибутку при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

Побудувати графіки функцій попиту і пропозиції та їх еластичності.

Варіант 10. Для випуску деякого товару визначена виробнича функція: f(x,y)=20x + 10y – 2y² + 4x² + 3xy, де x, y – фактори виробництва. Визначити:

1. зміну виробничої функції за факторами x та y відповідно;

2. еластичність функції за кожним фактором;

c)коефіцієнти еластичності за факторами при x = 1, y = 1.

Побудувати графіки виробничої функції та еластичності за кожним фактором.

Варіант 11. Нехай z(x,y)=2x²y + 3xy² + x³ – виробнича функція, де x – витрати живої праці, y – витрати упредметненої праці, z – обсяг виробництва. Знайти:

1. закон зміни виробничої функції за кожним фактором x та y;

2. еластичність функції за кожним фактором;

3. коефіцієнти еластичності за витратами живої та упредметненої праці при x = 1, y = 1.

Побудувати графіки виробничої функції та еластичності за кожним фактором.

Варіант 12. Функції попиту q і пропозиції S від ціни р задаються відповідно рівняннями: q=7 – p і S=p + 1. Знайти:

1. рівноважну ціну;

2. еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни;

3. зміну прибутку (у відсотках) при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

Побудувати графіки функцій попиту і пропозиції та їх еластичності.

Варіант 13. Задано функцію повних витрат: K(x)=100 + x²/25, де х – обсяг виробництва. Визначити:

1. функцію середніх витрат (на одиницю продукції);

2. функцію граничних витрат;

с) коефіцієнт еластичності для обсягу продукції, що випускається, x=5, х=25.

Побудувати графіки функцій повних, середніх і граничних витрат та еластичності.

Варіант 14. Функції попиту q і пропозиції S від ціни р задаються відповідно рівняннями: q=3p + 24 та S=3p² + 9p – 30. Знайти:

1. рівноважну ціну;

2. еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

3. зміну прибутку (у відсотках) при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

Побудувати графіки функцій попиту і пропозиції та їх еластичності.

Завдання 3.

Варіант 1. Капітал у 1 млрд грош. од. може бути розміщений у банку під 50% річних або інвестований у виробництво, причому ефективність вкладення очікується в розмірі 100%, а витрати задаються квадратичною залежністю (ax²). Прибуток оподатковується податком у p%. Визначити, при яких значеннях p вкладення у виробництво є більш ефективним, ніж чисте розміщення капіталу в банку?

Варіант 2. Фірма вирішила щомісяця асигнувати 100 тис. грош. од. на виробництво деякої продукції. Нехай середня заробітна плата по фірмі становить 2000 грош. од., а вартість одиниці сировини дорівнює 1000 грош. од. Визначити, яка кількість працівників k потрібна і яку кількість сировини С необхідно придбати фірмі для одержання найбільшого обсягу продукції Q, якщо відомо, що обсяг прямо пропорційний кількості працівників і кількості сировини з коефіцієнтом пропорційності, що дорівнює 5.

Варіант 3. Фірма планує випускати сонячні батареї. На основі досліджень була встановлена залежність попиту від ціни за батарею: q=100000 – 200p, де q – кількість батарей для продажу на рік, p – ціна за батарею. Витрати фірми на випуск q сонячних батарей складають:

c=150000 + 100q + 0,003q².

Розрахувати прибуток, визначити його максимальне значення.

Варіант 4. Підприємство робить x одиниць продукції за ціною: p(x)=50 + 0,1x, а витрати виробництва задаються функцією:

K(x)=0, 02x² + 14x + 800.

Знайти оптимальний для підприємства обсяг випуску продукції і відповідний до нього максимальний прибуток.

Варіант 5. Виробник реалізує свою продукцію за ціною p за одиницю, а витрати при цьому задаються кубічною залежністю:

S(x)=ax + λ x³ (a < p, λ > 0).

Знайти оптимальний для виробника обсяг випуску продукції і відповідний до нього прибуток.

Варіант 6. Цукровий завод робить x одиниць продукції на місяць, а сумарні витрати виробництва:

K(x)= 0,02x² + 5x + 300.

Залежність між питомою ціною p і кількістю одиниць продукції х, що можна продавати за цією ціною, така: p(x)=40 – 0,1x. Розрахувати, за яких умов прибуток буде максимальним.

Варіант 7. Крива повних витрат має вигляд:

K(x)=x³ – 6x² + 15x,

де х – обсяг виробництва. Розрахувати, при якому обсязі виробництва середні витрати мінімальні.

Варіант 8. Загальна вартість зроблених q одиниць продукції визначається функцією:

c(q)=100000 + 1500q + 0,2q².

Визначити обсяг випуску продукції, для якого середня вартість одиниці продукції буде мінімальною.

Варіант 9. Функція витрат на випуск двох видів продукції має вигляд:

K(S₁,S₂) = S₁³ + S₂² – 6S₁S₂ + 20,

де S₁, S₂ – обсяги випуску товарів. Ціни товарів – 39 грош. од. і 18 грош. од. відповідно.

Визначити, при яких обсягах випуску товару прибуток буде максимальним і знайти цей прибуток.

Варіант 10. Річна витрата підприємства на амортизацію виражається функцією:

f(x₁, x₂) = 20 + 12(x₁ + x₂) + 72/(x₁ + x₂) + 4/x₁ + 16/x₂.

Знайти значення факторів x₁ та x₂, при яких річна витрата буде найменшою. Розрахувати коефіцієнти еластичності при x₁ = 1, x₂ = 1.

Варіант 11. Фірма реалізує частину товару на внутрішньому ринку, а іншу – поставляє на експорт. Зв’язок ціни товару Р₁ та його кількості Q₁, проданого на внутрішньому ринку, описується рівнянням кривої попиту: Р₁ + Q₁ = 500. Аналогічно для експорту: ціна Р₂ і кількість Q₂ також пов’язані співвідношенням (рівнянням кривої попиту):

2P₂ + 3Q₂ = 720.

Сумарні витрати визначаються виразом:

C(Q₁,Q₂)=50000 + 20(Q₁ + Q₂).

Визначити, яку цінову політику має проводити фірма, щоб прибуток був максимальним?

Варіант 12. На виробництві використовується два види ресурсів у кількості x₁ та x₂ одиниць. Вартість одиниці кожного з ресурсів становить 1 і 2 грош. од. відповідно. Для придбання ресурсів виділено 10 000 грош. од. Визначити оптимальну витрату ресурсів, що забезпечує підприємству досягнення максимального прибутку, якщо відомо, що сумарний прибуток z підприємства залежить від витрат ресурсів таким чином:

z=2x₁ + 10x₂ – x₂².

Варіант 13. Річна витрата на ремонт і витрати виробництва для деякого підприємства виражаються функцією:

f(x₁,x₂) = 10 + 9(x₁ + x₂) + 72/(x₁ + x₂) + 28/x₁ + 7/x₂.

Знайти значення факторів x₁ та x₂, за яких річна витрата буде найменшою. Розрахувати коефіцієнти еластичності при x₁=1, x₂=1.

Варіант 14. Функція витрат на випуск двох видів продукції має вигляд:

Q(H₁,H₂) = H₁² + 1.5H₂² + 50000,

де H₁, H₂ – обсяг випуску товарів. Ціни товарів – 480 грош. од. та 340 грош. од. відповідно. Визначити, при яких обсягах випуску товару прибуток буде максимальним і знайти цей прибуток.