Інтерполяція функції двох змІнних
Для тривимірних графіків можна побудувати інтерполяцію і функції двох змінних. Для цього використовуються ті ж самі функції.
Приклад 3.
Нехай задана функція z=f(x,y) у вигляді таблиці значень:
(якщо функція
задана не в табличному, а в аналітичному
вигляді, ми можемо сформувати масив її
значень у такий спосіб:
).
Сформуємо матрицю вихідних значень аргументу x та y:
Графік поверхні, що задається вихідними даними, має такий вигляд:
Обчислимо вектор других похідних. Як і у випадку інтерполяції функції одної змінної, для обчислення вектора других похідних тут також використовується набір 3-х функцій: cspline(Mxy,Mz), pspline(Mxy,Mz), lspline(Mxy,Mz). Усі вони обертають вектор других похідних, відповідно, із наближенням на краях поліномом 3-го степеня, 2-го степеня і площиною.
Визначимо функцію інтерполяції:
Тепер можна обчислити значення функції в будь-якій точці.
Побудуємо графік поверхні, яка задається інтерполяційною функцією:
РЕГРЕСІЯ
На відміну від інтерполяції, регресія не вимагає, щоб крива неодмінно проходила через усі задані точки. Навпаки, завдання ставиться так: побудувати криву, яка найближче описує даний набір точок щодо мінімального середньоквадратичного відхилення.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
ДО рОзДІЛУ 1
Аналіз виробництва продукції
Варіант 1.
Кожна з трьох бригад працівників виготовила в 1 кварталі по 20 виробів, на які був витрачений матеріал за ціною 780 грн за кг. У наступному кварталі було випущено продукції на 6 075 000 грн, над випуском виробів працювали чотири бригади, кожна з яких випустила по 15 виробів, а ціна матеріалу збільшилася до 810 грн за кг. Норма витрат матеріалу – 125 кг на кожний виріб. Визначити вплив на вартість випущеної продукції: а) зміни числа бригад; б) зміни кількості виробів, що випускаються; в) зміни ціни матеріалу.
Варіант 2.
У січні було виконано 12 замовлень, кожне з яких включало в себе 150 виробів. Затрати часу на випуск одного виробу на одному робочому місці – 5,2 години. Заробітна плата працівників за виконання цих замовлень за умови погодинної оплати праці склала 49 608 грн. У лютому зарплата працівників зменшилася на 15 979,5 грн, кількість цих замовлень зменшилася до 9, а затрати часу на випуск одного виробу на одному робочому місці скоротилися на півгодини. Годинна тарифна ставка не змінювалася. Проаналізувати вплив на зарплату: а) зміни кількості замовлень; б) зміни затрат робочого часу на випуск одного виробу.
Варіант 3.
У першому півріччі кожним із шести пасажирських літаків авіакомпанії було виконано по 240 рейсів, що принесло 14 400 000 грн прибутку. Вартість квитка становила 250 грн. Місткість літака – 40 пасажирів. У наступному півріччі був уведений в експлуатацію ще один такий самий літак, вартість одного квитка збільшилася на 12 грн, а кількість рейсів кожного літака зменшилася на 15. Проаналізувати вплив на зміну прибутку компанії: а) зміни кількості рейсів літака; б) зміни кількості літаків; в) зміни вартості квитка.
Варіант 4.
У 1 кварталі було виконано 56 замовлень, кожне по 100 виробів. Затрати часу на випуск одного виробу на одному робочому місці – 5,2 години. Заробітна плата працівників за виконання цих замовлень за умови погодинної оплати праці склала 154 336 грн. У 2 кварталі зарплата працівників склала 159 005 грн, кількість цих замовлень збільшилася до 59, а затрати часу на випуск одного виробу на одному робочому місці скоротилися на 0,3 години. Проаналізувати вплив на зарплату: а) зміни кількості замовлень; б) зміни годинної тарифної ставки; в) зміни затрат робочого часу на випуск одного виробу.
Варіант 5.
Кожний із шести цехів підприємства виготовив у 1 кварталі по 85 виробів, на які був витрачений матеріал за ціною 120 грн за кг. Норма витрат матеріалу – 62,5 кг на кожен виріб. У наступному кварталі було випущено продукції на 868 750 грн менше, ніж у попередньому, над випуском виробів працювали два цехи, кожний із яких випустив по 215 виробів, а ціна матеріалу зменшилася до 110 грн за кг. Визначити вплив на вартість випущеної продукції: а) зміни ціни матеріалу; б) зміни кількості цехів; в) зміни кількості виробів, що випускаються.
Варіант 6.
У 1 півріччі підприємством було виконано 115 замовлень по 27 виробів кожне. На випуск одного виробу було витрачено 42,5 години. У наступному півріччі кількість цих замовлень зменшилася до 95, а затрати часу на випуск одного виробу на одному робочому місці скоротилися на 1,5 години. Витрати на зарплату працівників при незмінній годинній тарифній ставці в другому півріччі склали 525 825 грн. Проаналізувати вплив на зарплату: а) зміни кількості замовлень; б) зміни затрат робочого часу на випуск одного виробу.
Варіант 7.
У III кварталі було випущено продукції на 215 280 грн., а в IV – на 210 450 грн. При цьому кількість працівників збільшилася із 115 до 122 чол., а число днів, відпрацьованих одним працівником, зменшилося з 72 до 69. Оцінити вплив на випуск продукції: а) зростання кількості працівників; б) зміни кількості днів, відпрацьованих одним працівником; в) зміни середньоденного виробітку одного працівника.
Варіант 8.
У січні автотранспортним підприємством було перевезено вантажів на загальну вартість доставки 3 693 600 грн. Перевезення здійснювалися 12 трейлерами однакової вантажопідйомності. Кількість поїздок кожного трейлера – 15 на місяць. Середня протяжність кожної поїздки – 240 км. У лютому перевезення здійснювалися 11 такими трейлерами, кожний із яких зробив по 14 поїздок, а середня протяжність кожної поїздки дорівнює 292 км. Ціна доставки вантажу була піднята з 9,5 грн/км за 1 т вантажу в січні до 11 грн/км за 1 т у лютому. Оцінити вплив на збільшення вартості доставки: а) зміни кількості автотранспортних засобів; б) зміни кількості поїздок кожним трейлером; в) зростання ціни доставки 1 т вантажу; г) зміни середньої протяжності однієї поїздки.
Варіант 9.
У березні двома столярними цехами були виконані роботи з розкрою ДСП (по 1015 кв. м. кожним цехом) загальною вартістю 10 007,9 грн. У квітні був уведений в експлуатацію ще один цех, і загальна вартість виконаних аналогічних робіт трьома цехами (кожним по 850 кв. м ДСП) підвищилася на 30%. При цьому були змінені розцінки на виконання робіт. Оцінити вплив на зміну вартості робіт: а) підвищення розцінок; б) уведення в експлуатацію третього цеху; в) зниження виробітку кожним цехом.
Варіант 10.
У листопаді на випуск 3 партій по 770 виробів у кожній було витрачено всього 840 МВт електроенергії. У грудні випуск 4 таких же партій спричинив зростання платежів за електро/енергію на 91 000 грн. Вартість електроенергії збільшилася з 265 грн/МВт у листопаді до 280 грн/МВт у грудні, норми витрат електроенергії на випуск одного виробу не змінилися. Оцінити вплив на зростання оплати електро/енергії: а) зміни кількості випущеної продукції; б) зміни тарифів оплати.
Варіант 11.
Протягом року підприємством було випущено продукції на 7 387 200 грн, а протягом наступного – на 7 790 652 грн. При цьому середньооблікова кількість працівників збільшилася з 570 до 582 чол., а число днів, відпрацьованих одним працівником, зменшилося з 288 до 276. Оцінити. вплив на випуск продукції: а) зміни середньоденного виробітку одного працівника; б) зміни кількості працівників; в) зміни числа днів, відпрацьованих одним працівником.
Варіант 12
У січні автотранспортним підприємством було перевезено вантажів на загальну вартість доставки 462 000 грн. Перевезення здійснювалися 7 однаковими трейлерами вантажопідйомністю по 11 т кожний. Кількість поїздок кожного трейлера – 15 на місяць. У лютому перевезення здійснювалися 6 тими ж трейлерами, кожен із яких зробив по 14 поїздок, а ціна доставки 1 т вантажу була піднята до 420 грн. Оцінити вплив на зменшення вартості доставки: а) зміни кількості автотранспортних засобів; б) зміни кількості поїздок кожним трейлером; в) зростання ціни доставки 1 т вантажу.
Варіант 13.
Порівнявши показники випуску продукції двох послідовних місяців, зробити висновок про вплив на випуск продукції таких показників: а) зміни робочого часу, витраченого на випуск одиниці продукції; б) зміни годинної тарифної ставки. Вихідні дані. Місяць 1: вартість випущеної продукції – 573 500 грн; час, витрачений на випуск одиниці продукції, – 18,5 год; годинна тарифна ставка – 6,2 грн; місяць 2: вартість випущеної продукції – 534 000 грн, годинна тарифна ставка – 6 грн. Кількість випущеної продукції не змінилася.
Варіант 14.
У січні при організації робіт у цеху в дві зміни 15 працівників кожної зміни (бригади) обробляли за тиждень у середньому 142,75 деталі, кожна вартістю в 7,5 грн. У лютому при тризмінній роботі бригад по 15 чоловік у кожній продуктивність праці кожної зміни впала, однак вартість кожної деталі збільшилася до 8,3 грн. Загальна вартість випущеної в лютому продукції – 12 225,9 грн. Оцінити вплив на зміну загальної вартості випущеної в січні й лютому продукції таких чинників: а) зміни вартості деталей; б) переходу на тризмінний графік; в) зміни продуктивності праці.
Варіант 15.
При організації залізничних перевезень у 1 кварталі використовувалися 15 потягів вантажопідйомністю 20 тис. т кожний. За цей період кожним потягом було здійснено в середньому по 35 поїздок, середня протяжність однієї поїздки – 408 км. Ціна доставки вантажів – 650 грн за 10 т на 100 км. У наступному кварталі потяги були переформовані в 13 потягів іншої вантажопідйомності, кожний із них здійснив по 36 поїздок на відстань у 422 км. Ціна доставки вантажів упала до 635 грн за 10 т на 100 км. Загальна вартість доставки вантажів за другий квартал збільшилася і склала 2 млрд 821 млн 724 тис 100 грн Оцінити вплив на зростання вартості таких чинників: а) зміни загальної вантажопідйомності експлуатованих потягів; б) зміни числа поїздок потягів; в) зміни середньої протяжності однієї поїздки; г) зміни ціни доставки вантажів.
Варіант 16.
У першому півріччі було випущено продукції на 5 762 304 грн, а в другому – на 5 762 880 грн. При цьому середньоденний виробіток одного працівника зменшився з 122 грн до 120 грн, а число днів, відпрацьованих одним працівником, зменшилося з 576 до 552. Проаналізувати вплив на випуск продукції: а) зміни продуктивності праці; б) зміни числа днів, відпрацьованих одним працівником; в) зміни кількості працівників.
Варіант 17.
Будівельна фірма виконала в 1 кварталі опоряджувальні роботи на об’єктах загальною площею 872 кв. м, витративши при цьому матеріалів на суму 31 451,3 грн. У другому кварталі були змінені норми витрат матеріалів – із 1,27 кг на 1 кв. м на 1,315 кг на 1 кв. м, а також змінилася ціна матеріалів. У зв’язку з цим вартість матеріалів на опорядження 883 кв. м склала в другому кварталі 30 631 грн. Оцінити вплив на зменшення вартості: а) зменшення ціни матеріалів; б) збільшення норм витрат; в) зміни обсягів робіт.
Варіант 18
Протягом березня на виконання кожного з трьох етапів будівельних робіт було витрачено по 1250 т матеріалу. У квітні аналогічні роботи було вирішено проводити в 4 етапи, на кожний із який витратили по 970 т матеріалу. При цьому ціна матеріалу збільшилася в квітні на 2,70 грн/кг. Визначити вплив на збільшення загальної вартості витраченого матеріалу з 56 250 грн у березні до 68 676 грн у квітні: а) етапності проведених робіт; б) зростання ціни матеріалу.