Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

math_RYaDI

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

717.02 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ ТА ОСВІТИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Рекомендовано вченою радою фізико-математичного факультету протокол № 2 від 27 березня 2014 р.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ВАРІАНТИ ТИПОВОРОЗРАХУНКОВИХ РОБІТ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

РЯДИ

КИЇВ - 2013

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ ТА ОСВІТИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ВАРІАНТИ ТИПОВОРОЗРАХУНКОВИХ РОБІТ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

РЯДИ

Затверджено на засіданні кафедри математичної фізики

протокол № 7 від 30 травня 2013 року

КИЇВ - 2013

НТУУ «КПІ»

Методичні вказівки та варіанти типово-розрахункових робіт з вищої математики. Ряди / Уклад.: Г.В. Журавська, І.М.

Копась, Г.М. Кулик, Н.В.Рева, Н.В. Степаненко - К.:

НТУУ«КПІ», 2013. - с.

Укладачі: Г.В. Журавська І.М. Копась Г.М. Кулик Н.В.Рева Н.В. Степаненко

Відповідальний редактор С.Д.Івасишен

Рецензент:

1ЧИСЛОВІ РЯДИ

1.1Числовий ряд.

Збіжність, розбіжність числових рядів. Сума збіжного числового ряду.

Властивості збіжних числових рядів

Нехай задано нескінченну числову послідовність Вираз


u u	2	... u	k	...		u	k
1	2		k				k
					k 1

u		.

	k	k 1
	(1.1)

називається числовим рядом. Загальним членом ряду називається un, а n-ою частинною сумою ряду (1.1) – сума

S	n	u	u ... u .			(1.2)
	n	1	2		n
Якщо існує скінченна границя послідовності S
Якщо існує скінченна границя послідовності S
					n	n 1
		S lim S		n	,	(1.3)
			n	n
			n

то ряд (1.1) називається збіжним, а число S сумою ряду (1.1). У противному разі ряд називається розбіжним (тобто якщо границя (1.3) не існує або вона є нескінченною).

Приклад 1.1. Розглянемо суму членів геометричної прогресії

Сума

lim S
n	n

S	n

lim
n

	a aq ... aqn 1 ... .			(1.4)
a aq	n
	. Якщо \|q\|<1, то qn0 при n , тому
1 q

a aq	n	a
			. Якщо \|q\|>1, то	lim Sn ;
1 q		1 q
				n

при q=1, Sn=an при n .	При	q 1 ряд (1.4) має
вигляд a a a a a ... і,	відповідно S2m=0, S2m+1=a,
тобто границі Sn при n не існує.

Відповідь. Геометричний ряд (1.4) збігається при |q|<1 і розбігається при |q|1.

Найпростіші властивості збіжних рядів


1. Якщо ряди	uk та	vk
	k 1	k 1

дорівнюють S1 та S2, то ряд його сума дорівнює S1+S2.

збіжні та їх суми відповідно


(uk vk )	також збіжний та
k 1


2. Якщо ряд	u
	k 1

буде збіжним ряд

k	збіжний та його сума дорівнює S1, то

	uk	( довільне дійсне число), та
k 1

його сума дорівнює S1.

3. Для збіжності ряду (1.1) необхідно й досить, щоб

				n
	k			n	0.
lim		u	lim r		0.	(1.5)
n	k n	1	n
	k n	1

З властивості 3 безпосередньо випливає, що розбіжність не порушується, якщо до ряду відняти скінченне число доданків.

4. (Необхідна умова збіжності). Якщо збігається, то

lim un 0 .

Доведення.			Ряд (1.1) збіжний, тобто							lim Sn
										n
lim u		lim (S	n	S	n 1	) lim S	n	lim S	n 1	S S
n	n	n	n		n 1	n	n	n	n 1
n		n				n		n

Властивість 4 доведено. Приклад 1.2. Розглянемо ряд

збіжність і додати чи

ряд (1.1)

	(1.6)
S	. Тоді
0 .

					k
					k			.			(1.7)
				2k 1				.			(1.7)
		k 1		2k 1
		k 1
Для нього uk	k				1	. Оскільки загальний член цього
Для нього uk	2k					. Оскільки загальний член цього
	2k	1 k			2
ряду не прямує до нуля, то ряд (1.7) розбіжний.
Приклад 1.3. Розглянемо гармонічний ряд
		1				1			1
	1	1	...			1	...		1	.	(1.8)
	1	2	...			n	...		k	.	(1.8)
		2				n		k 1	k
								k 1

Доведемо, що він розбігається. Дійсно, якщо б ряд (1.8)

					n
збігався, то			lim	uk lim Sn
			n	k 1		n
				k 1
	1	...	1		m	1	, що
	m 1	...	2m		2m	2	, що
	m 1		2m		2m	2

збіжності гармонічного ряду.

S . Розглянемо

S2m Sm

суперечить припущеній

1.2 Числові ряди з додатними членами. Теореми порівняння. Ознаки Даламбера та Коші. Інтегральна ознака збіжності та розбіжності рядів

Будемо вивчати числовий ряд (1.1) з додатними членами. У цьому випадку послідовність частинних сум Sk монотонно зростає, що істотно полегшує дослідження таких рядів. В основі такого дослідження лежать теореми порівняння.

Перша теорема порівняння. Розглянемо два ряди:


uk ,	(1.9)
k 1

vk .	(1.10)

k 1

Припустимо, що для довільного k

uk vk . (1.11)

Тоді зі збіжності ряду (1.10) випливає збіжність ряду (1.9), a з розбіжності ряду (1.9) – розбіжність ряду (1.10).

Друга теорема порівняння. Якщо існує

	u	A 0, ,
lim	k		(1.12)
lim			(1.12)
k v
	k

то ряди (1.9) та (1.10) одночасно збігаються або розбігаються.

Приклад 1.4. Розглянемо узагальнений гармонічний ряд

	1	,	0 1.	(1.13)

k 1 k

Оскільки

1	1	,
k	k

2,3,...

а гармонічний ряд (1.8)

розбіжний, то за першою теоремою порівняння ряд (1.13) розбіжний.

Приклад 1.5. Дослідимо на збіжність ряд

				1			.		(1.14)
	k	2	100k 50				.		(1.14)
k 1		2
k 1
						1
Порівняємо його з рядом						1	. Оскільки
Порівняємо його з рядом						k	. Оскільки
				k 1		k
				k 1
lim				k				1,	(1.15)


			2
k		k	2	100k	50
		k		100k	50

то ряд (1.14) розбігається на підставі другої теореми порівняння і того, що гармонічний ряд розбіжний.

Наведемо також декілька ознак збіжності та розбіжності рядів з додатними членами, які найширше використовуються на практиці.

Ознака Даламбера. Якщо існує границя

lim	uk 1		,	(1.16)

k	u	k

то: 1) при ℓ<1 ряд (1.1) збігається; 2) при ℓ>1 ряд (1.1) розбігається; 3) при ℓ=1 ознака не дає відповіді на поставлене питання.

Приклад 1.6. Розглянемо ряд

			k
			3	.			(1.17)
			k!	.			(1.17)
		k 1	k!
		k 1
Для нього
lim	uk 1	lim		3k 1k!	lim	3	0 1.
lim		lim			lim		0 1.
k	u	k 3k (k 1)!			k k 1
	k

Отже, за ознакою Даламбера ряд (1.17) збіжний.

Ознака Коші. Якщо існує границя

lim	k	u	k	L ,	(1.18)
	k
k
k

то: 1) при L<1 ряд (1.1) збігається; 2) при L>1 ряд (1.1) розбігається; 3) при L=1 ознака не дає відповіді на поставлене питання.

Приклад 1.7. Розглянемо ряд

	k		k

				(1.19)
	3k 1	.
k 1

Для нього

		lim	k		1	1.
lim k u	k

k		k 3k 1		3

Отже, за ознакою Коші ряд (1.19) збіжний.

Інтегральна ознака збіжності та розбіжності.

Розглянемо ряд


uk	(1.20)

k 1

та інтеграл


	f (x)dx .	(1.21)
1

Якщо виконано умови:

1)(x) неперервна, додатна та монотонно спадна функція;

2)(n)=un ,

то ряд (1.20) та інтеграл (1.21) одночасно збігаються або розбігаються.

Приклад 1.8. Розглянемо узагальнений гармонічний ряд

(1.22)

k 1 k

при будь-якому

Вже

доведено,

що при

ряд

розбіжний. Функція

f (x)

задовольняє умови 1)

і 2).

Невласний інтеграл (при 1)

A dx

lim

(1.23)

( 1)

A x

розбігається при 1 і збігається при >1.

Відповідь. Узагальнений гармонічний ряд (1.22) збігається при >1 і розбігається при 1.

Приклади для самостійного розв’язування

Дослідити збіжність наступних рядів.

				1
1.	1	cos
1.	1	cos
	k 1				k

2.	sin
2.	sin		k
	k 1		2
	k 1


3.
	k 1

4.

k 1

2	k	sin

(5k

3k 1

4)(6k 5)

															k		2
								k							k
5.								k
5.
	k 1		k 1

6.	k				3	arctg										k
6.	k					arctg												3k
		k 1																3k
		k 1
7.					k					2		2
7.	ln									2
										2			1
	k 1				k								1
								k
8.								k
8.			(k 1)										3
													3
	k 1
	k 1
					k
9.			3 k!
9.				k		k
						k
	k 1
	k 1
					e				k
10.					e
10.								k
		k 1						k
																				k	2	1
							2k 2 3													k		1
							2k 2 3
11.
11.								k		2		1
		k 1						k				1
					(5k 3)!
12.					(5k 3)!
12.							9		k		k			2
									k					2
		k 1
		k 1						k				6
								k	2			6
13.		ln						k	2			5
								k				5

		k 1
							1																1
14.							1					arctg											1
14.												arctg									3
		k 1			k 1																3		k	1
		k 1			k 1																		k	1
																			1
15.																			1

				(2k 4) ln																2	(2k 2)
		k 1		(2k 4) ln																	(2k 2)
		k 1
																2k							2k


16. k
16. k
		k 1										4k 3
								2k!
17.								2k!

								2k				5
		k 1						2k				5

											2k						k
18.	k			4							2k
18.	k						5k
	k 1						5k							7
					k 2											k	2
			1													k
19.			1
19.				k
			3	k						4k
	k 1		3							4k
			k 6k 2
20.
20.					7	k
	k 1				7
	k 1
			2	k 1							n	2		6
21.			2								n			6
21.					(k 1)!
	k 1				(k 1)!
	k 1
			1									1
22.			1				sin					1
22.				k			sin					k
	k 1			k								k
									k
23.									k
23.			3	(k			2				3)				5
	k 1		3				2								5
	k 1
				k		5		5			k
24.				k				5
24.			(3k								1)		k
													k
	k 1
	k 1
											1
25.											1
25.			k ln				2			(3k 1)
							2
	k 1
	k 1
		n 1												2
26.		n 1						sin						2
26.			k!					sin						k
	k 1		k!										3
	k 1
			3	k	(k				2		1)
27.			3		(k						1)
27.							k!
	k 1						k!
	k 1
			1								1
28.			1		tg						1
28.			k		tg							k
	k 1		k									k

29.	k			2	sin						k
29.	k				sin							2k
	k 1											2k
	k 1

2k! 5k

30.(2k)!k 1

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf
#
03.08.2019298.18 Кб7math.docx
#
25.11.20191.43 Mб10MathCAD ukr 2.docx
#
12.05.20152.99 Mб59math_meth_teoriyzpolya.doc
#
12.05.2015717.02 Кб4math_RYaDI.pdf
#
12.05.20155.26 Mб29matved_lections.docx
#
12.05.20151.13 Mб72matznav_tkm_DKR.pdf
#
17.03.20166.67 Mб55MDVM.doc
#
17.03.20161.23 Mб11MDVM.pdf
#
17.03.2016908.81 Кб10MDVM.pdf