Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

math_RYaDI

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

717.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

3.5Розклад в ряд Фур’є функції з періодом 2ℓ

Часто треба розкласти в тригонометричний ряд функції, період яких відмінний від 2. Якщо періодична функція (x) періоду 2ℓ задовольняє умови теореми Діріхле, то в

точках неперервності функції має місце розклад

f (x)

де

an	1
		f (
		f (

a					n		n x
0					n
0			(a			cos
2			(a			cos
2	n 1
	a0				1
						f (x)dx;
						f (x)dx;


x) cos		n x		dx,			b
x) cos				dx,			b
							n

b sin	n x	),

n

1		n x
	f (x) sin		dx.
	f (x) sin		dx.

(3.11)

(3.12)

У точках розриву функції ряд збігається до середнього арифметичного граничних значень функції справа та зліва. Покладаючи в формулах (3.11), (3.12) ℓ =, отримаємо формули (3.3), (3.4).

Зокрема, якщо функція (x) парна, то

	a	0		n x
f (x)			an cos		,	(3.13)
	2
			n 1

n x

f (x)dx;

f (x) cos

dx,

а якщо ж (x) непарна, то

n x

f (x)

sin

n 1

n x

f (x) sin

dx.

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Приклад 3.4. Розкласти в ряд Фур’є функцію (x), задану на інтервалі ( 2, 2 ) виразом

0,			2 x 0;

f (x)	1	x,	0 x 2,
		x,	0 x 2,
	2

і таку, що має період 2ℓ=4 (рис.3.4).

-6

-4

-2

Рис.3.4

Розв’язання. Функція (x) задовольняє умови розкладу в ряд Фур’є. У даному випадку ℓ=2. Покладаючи в формулі (3.11) ℓ=2, отримаємо ряд

										a							n						n x								n			n x
									0								n														n
						f (x)			0						a				cos								b					sin				.
									2					n 1										2										2
	Обчислюємо коефіцієнти Фур’є:
a				1	2	f (x)dx			1		2	1		xdx				1				x2		2				1		;
a	0				2	f (x)dx					2			xdx																;
	0			2 2					2 0			2						4 2 0										2
				2 2					2 0			2						4 2 0										2
				1 2				n x				dx				1 2 x									n x								1	2				n x		dx
a	n					f (x) cos															cos								dx						x cos
a						f (x) cos															cos								dx						x cos
				2 2					2							2 0 2										2							4 0					2
				2 2					2							2 0 2										2							4 0					2
		1		2			n x		2					2	2					n x												1					n x		2
						x sin									sin									dx											cos
		4				x sin	2						n		sin						2			dx								2	2		cos		2
		4	n				2		0				n		0						2										n						2		0
									0						0																								0

																						0,		n	- парне ;
		1				(cos n 1)				1		2 (( 1)					n	1)
		2	π		2	(cos n 1)				2		2 (( 1)						1)						2		,	n - непарне .
	n		π							n														2		,	n - непарне .
																								2
																							n
			1			2			n x			1	2	x					n x					1	2			n x
n			1				f (x) sin		n x	dx		1		x		sin			n x			dx		1		x sin		n x	dx
n
b				2					2			2		2						2				4				2
				2		2			2			2	0	2						2				4	0			2
						2							0												0
	1						2		n x	2		2	2					n x
	1						2	x cos	n x			2	cos					n x			dx

	4					n			2		n								2
	4					n			2	0	n		0						2
										0			0
	1						4			4					n x				2			( 1)		n 1
	1						4	cos n		4		sin			n x							( 1)				.

	4					n				n	2					2							n
										2	2								0
																			0

У кожній точці неперервності функції маємо

f (x)	1		2			cos	(2n 1) x	( 1)n 1	sin	n x
				2	2
	4		(2n-1)				2	n		2
		n 1

а в точках розриву функції ряд збігається до значення

  

1 2

середнього арифметичного граничних значень функції справа та зліва.

3.6 Зображення функції рядом Фур’є на деякому обмеженому проміжку

Нехай функція (x) або задана на деякому обмеженому інтервалі (a, b), або визначена на всій числовій осі, але не є періодичною. Треба зобразити цю функцію на інтервалі (a, b) рядом Фур’є. Припустимо, що функція (x) задовольняє на цьому інтервалі умови Діріхле. Розглянемо періодичну функцію (х) з періодом T=2ℓ=|b a|, яка збігається з (x) на (a, b). Розкладемо функцію(х) в ряд Фур’є. Сума цього ряду в усіх точках неперервності функції (х) збігається з

(х), а, отже, дорівнює з (x) у кожній точці її неперервності, що належить до інтервалу (a, b).

Розглянемо важливий частинний випадок. Нехай функція (x) задана на інтервалі (0, ℓ) і задовольняє на цьому інтервалі умови Діріхле. Можна довільним способом продовжувати цю функцію на інтервал (ℓ, 0) (головне, щоб виконувались умови Діріхле на (ℓ,ℓ)) та розглянути періодичну функцію (х) з періодом 2ℓ, яка збігається з (x) на інтервалі (0, ℓ). Тому задана функція в інтервалі (0, ℓ) нескінченною кількістю способів може бути розкладена в ряд Фур’є. Суми цих рядів будуть збігається з заданою функцією (x) в точках її неперервності на інтервалі (0, ℓ). Але доцільно продовжити функцію на інтервал (ℓ, 0) таким чином, щоб ряд Фур’є був найбільш простим, тобто продовжити парним або непарним способом.

Приклад 3.5. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах

функцію

	f (x) x	1
	f (x) x	2
		2

x	2

, яка задана в інтервалі (0, 2).

Розв’язання. Для розкладу функції в ряд по косинусах треба спочатку продовжити її на інтервал ( 2, 0) парним способом (рис.3.5), а потім отриману функцію періодично продовжити на всю числову вісь. Таким чином, отримаємо функцію (х) з періодом T=2ℓ=4, яка збігається з (x) на інтервалі (0, 2).

-6

-4

-2

Рис. 3.5

Парна функція задовольняє умови розкладу в ряд Фур’є, отже, використовуючи формули (3.13), (3.14), отримаємо

																		a		0														n x
											(x)									0			an cos															,
											(x)							2					an cos												2			,
																		2					n 1												2
де
	2						2										2																		x		2								2
	2						2										2						1				2										2			1		3						2
a		(x)dx							f (x)dx														1		x		2													1	x	3						2	;
a		(x)dx							f (x)dx									x							x				dx												x								;
0																							2													2				6								3
	0						0										0						2													2				6					0			3
	2					n x									2									n x											2					1			2					n x
n	2														2																				2
n		(x) cos																												dx						x								cos
a		(x) cos									dx					f (x) cos														dx						x					x			cos						dx.
	0							2							0											2									0					2									2
Інтегруючи частинами, отримаємо
				2								1		2								n x		2							2		2										n x
				2								1		2								n x									2												n x
		n
		n					x								sin																				(1 x) sin												dx
		a					x						x		sin																				(1 x) sin												dx
				n								2										2		0					n				0											2
																								0									0
				2	2											n x													4												n x					2
					2
					(1 x) sin																	dx											(1		x) cos
			n		(1 x) sin												2					dx						2			2		(1		x) cos								2
			n		0												2								n																		2			0
					0																																									0
					4					2				n x											1
					4					cos				n x				dx							1					( cos n 1)
					2			2		cos					2			dx					n		2	π			2	( cos n 1)
				n						0					2								n			π
										0
					4																	0,						n			- непарне ;
					4					(( 1)					n	1)
						2			2	(( 1)						1)											8
				n																					n			2			,		n		- парне .
																									n
Таким чином,
			(x)							1			8						cos n x												1				2					cos n x							.
			(x)							3				2							(2n)			2							3					2						n		2			.
														2		n 1								2												2		n 1						2
																n 1																						n 1
На відрізку (0, 2)													функція (х) дорівнює																										(x), тобто,
						1				2			1				2					cos n x
				x					x	2																						,					0 x 2.
				x		2			x				3					2							n			2				,					0 x 2.
																		2		n 1								2
																				n 1

Приклади для самостійного розв’язування

I.	Розкласти задану Т-періодичну функцію в ряд Фур’є.
1.	f (x) 1 \| x \|,							1 x 1,		T 2
2.	f (x)	4,					x 0,		T 2
						0 x ,
		1,

3.	f (x) x2 ,						2 x 2,		T 4
4.	f (x)	0,					x 0,				T 2
			x		1,			0 x ,


5.	f (x)	x,					1 x 0,		T 2
						0 x 1,
		1,

6.	f (x) x 1,						x ,			T 2
7.	f (x)				x		,	x ,			T 2
		4			2

8.	f (x) x( x),							x ,			T 2
9.	f (x) 4 2x,							2 x 2,		T 4
10.	f (x)		x 1,					1 x 0,			T 2
							0 x 1,
			1,
11.	f (x)		0,				x 0,			T 2
							0 x ,
				1,

12.	f (x) x 2,							2 x 2,			T 4
			0,				2 x 0,
13.	f (x)						0 x 1,			T 4
			x,
							1 x 2,
				1,

14.

15.

f (x) x	2	2x,	x ,	T 2
	2
2x,			x 0,
f (x)			x ,	T 2
3x, 0			x ,

16.	f (
17.	f (
18.	f (
19.	f (
20.	f (
21.	f (
22.	f (

23.f (

24.f (

25.

f (

26. f (

27.

f (

28. f (

x) x)

x,	x 0,
	0 x ,			T 2
0,	0 x ,

1,	x 0,		T 2
	0 x ,		T 2
3,	0 x ,

3 x,		3 x 3,		T 6
1,	2 x 1,
	1 x 0,			T 4
x,	1 x 0,			T 4
	0 x 2,
0,	0 x 2,

2x,	1 x 0,
		0 x 1,		T 2
3x,		0 x 1,

x,	1 x 0,
	0 x 1,		T 2
2x,	0 x 1,
2,	1 x 0,
	0 x 1,			T 2
0,	0 x 1,

x 1,		1 x 0,
	0 x 1,			T 2
2,	0 x 1,
10 x,		5 x 5,		T 10
x,	x 0,
	0 x ,		T 2
1,	0 x ,

0,	2 x 0,
	0 x 2,		T 4
2,	0 x 2,
1,	1 x 0,
	0 x 1,		T 2
2,	0 x 1,

x 1,		1 x 0,
	0 x 1,			T 2
0,	0 x 1,

29.	f
30.	f

(x)	x ,			x 0,	T 2
(x)				x ,	T 2
	0,		0	x ,

(x)		x,		x ,	T 2
(x)	4	x,		x ,	T 2
	4

II. Розкласти в ряд Фур’є, функцію, задану графічно, продовживши її на період заданим способом.

f (x) f (x)

0,5

0 1 2 x 0 1 2 x

f (x) f (x)				4.	f (x)		f (x)
y					y
2					1
1
					0	1	2	3 x
0	1	2	3 x		-1

f (x) f (x)				6.	f (x)		f (x)
y					y
1					1
0	1	2	3 x		0	1	2	3 x
-1					-1

7.	f (x) f (x)
y
1

0			1	2	3	4	x
-1
9.	f (x) f (x)
y
1
0			1	2	3	4	x
11.		f (x) f (x)
y
1
0			1	2	3	4	x
13.		f (x) f (x)
y
1
1
0			1	2	x
-1
15.		f (x) f (x)
		y
	2
	1
	0		1	2	3	x

8.	f (x) f (x)
y
1
0		1	2	π	x
-1
10.	f (x)		f (x)
y
1
0	1	2	3		4		x
12.	f (x)		f (x)
y
1
1
0	1	2	3		4		x
14.	f (x)		f (x)
y
1
1
0		1	2	x
-1
16.	f (x)		f (x)
	y
	2
	1
	0	1	2	3		x

17.	f (x) f (x)
y
1

0	1	2	3	x
-1
19.	f (x) f (x)
y
2
1
0	1	2	3	x
21.	f (x) f (x)
y
1
1
0	1	2	3	x
-1
23.	f (x) f (x)
y
1
0	1	2	3	x
-1
-1

18.	f (x)	f (x)
y
1
0	1	2	π	x
-1
20.	f (x)	f (x)
y
0	1	2	π	x
-1
-2
22.	f (x)	f (x)
y
1
0	1	2	π	x

-1

24. f ( x) f (x)

3 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf
#
03.08.2019298.18 Кб7math.docx
#
25.11.20191.43 Mб10MathCAD ukr 2.docx
#
12.05.20152.99 Mб59math_meth_teoriyzpolya.doc
#
12.05.2015717.02 Кб4math_RYaDI.pdf
#
12.05.20155.26 Mб29matved_lections.docx
#
12.05.20151.13 Mб72matznav_tkm_DKR.pdf
#
17.03.20166.67 Mб55MDVM.doc
#
17.03.20161.23 Mб11MDVM.pdf
#
17.03.2016908.81 Кб10MDVM.pdf