Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

math_RYaDI

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

717.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

1.3 Числові ряди з членами будь-якого знака. Абсолютна та умовна збіжність. Узагальнена ознака Даламбера

Розглядатимемо ряди, які мають нескінченну кількість додатних та нескінченну кількість від’ємних членів:


u1 u2 ... uk ... uk .	(1.24)

k 1

Разом із рядом (1.24) будемо розглядати ряд


u	u	2	... u	k	...		u	k	.	(1.25)
1		2		k				k
						k 1

Якщо збігається ряд (1.25), то збігається і ряд (1.24). В цьому випадку кажуть, що ряд (1.24) збігається абсолютно. Якщо ряд (1.24) збігається, а ряд (1.25) розбігається, кажуть, що ряд (1.24) збігається умовно.

Для вивчення збіжності ряду (1.24) з членами будь-якого знака можна використовувати узагальнену ознаку Даламбера. Якщо існує границя

lim	uk 1		,	(1.26)

k	u	k

то: 1) при ℓ<1 ряд (1.24) збігається абсолютно; 2) при ℓ>1 ряд (1.24) розбігається; 3) при ℓ=1 ознака не дає відповіді на поставлене питання.

Приклад 1.9. Розглянемо ряд

	cos	5k 1
	cos	3
		3		.	(1.27)
			k	.	(1.27)
k 1		3
k 1
Порівняємо ряд
	cos		5k 1
	cos
		3			(1.28)
		3k			(1.28)
k 1		3k

з рядом

	1
	1
k .		(1.29)
k 1	3
k 1

Оскільки члени ряду (1.29) не менше членів ряду (1.28), а ряд (1.29) збіжний, то за першою теоремою порівняння ряд (4.27) абсолютно збіжний.

На істотну відмінність між абсолютною та умовною збіжностями рядів указують наступні властивості таких рядів.

1.Якщо ряд збігається абсолютно, то він залишається абсолютно збіжним при будь-якій перестановці членів ряду. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів.

2.Якщо ряд збігається умовно, можна таким чином переставити члени цього ряду, що сума отриманого ряду буде дорівнювати будь-якому наперед заданому числу А. В частинному випадку, можна так переставити члени ряду, що ряд, отриманий після перестановки, буде розбігатися.

1.4 Знакопочережні ряди. Теорема Лейбніца

Знакопочередним рядом будемо називати ряд


u u		... ( 1)	n 1	u		...		( 1)	n 1	u		,	(1.30)
u u	2	... ( 1)		u	n	...		( 1)		u	n	,	(1.30)
1	2				n						n
							n 1

де un 0 .

Теорема Лейбніца (про знакопочережні ряди). Якщо виконуються умови

1) u1 u2 ... un ...;

2) lim un 0,

то, по-перше, ряд (1.30) збігається; по-друге, сума цього ряду S не перевищує u1.

Приклад 1.10. Розглянемо знакопочережний гармонічний ряд

	1	1	1		1		1
1				... ( 1)n 1		... ( 1)k 1		.	(1.31)

	2	3	4		n	k 1	k

Для нього виконано умови теореми Лейбніца, тому ряд (1.31) збігається (але не абсолютно, оскільки ряд з модулівгармонічний). Залишок цього ряду має вигляд

r	( 1)	n	1	1		(1.32)
					... .
n		n 1		n 2

Тому за теоремою Лейбніца

rn	1	,

	n 1
	n 1

(для довільного знакопочережного умови теореми Лейбніца) для справджується оцінка

(1.33)

ряду, що задовольняє залишку цього ряду

r	u	,	(1.34)
r	u	,	(1.34)
n	n 1

Отже, якщо наближено за суму ряду (4.31) взяти його частинну суму

S		1	1	1	1	... ( 1)	n 1	1	,	(1.35)

	n		2	3	4			n

то похибка не буде перевищувати

1 n 1

Приклади для самостійного розв’язування

Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінні ряди.

1. ( 1)

n 1

( 1)

(2n 1)

n 1

2. ( 1)

n 1

( 1)

n 1

n ln n

		sin(n)
5.		n		4
				4
	n 1
	n 1
					1
6. ( 1)			n		1
				ln 1
				ln 1	n	2
	n 1				n

(n!)2

7.( 1)n (2n)!n 1

2n 1

8. ( 1)n 1

n(n 1)

n 1

9. ( 1)

n 1

2n 1

10.

( 1)

n 1

sin n

11.

n 1

( 1)

12.

n ln(4n)

n 1

13.

( 1)

n 1

14.

cos

( 1)

n 1

( 1)

15.

2n 5

n 1

( 1)

16.

(n 1) ln(2n)

n 1

cos n

17.

n 1


18.
	n 1

19.
	n 1

20.
	n 1

21.
	n 1

22.
	n 1

23.
	n 1

24.
	n 1

25.
	n 1

26.
	n 1

27.
	n 1

28.
	n 1

29.
	n 1

30.
	n 1

( 1)n

(n 1)42n

( 1)	n	2n 3
	n
		n(n 1)

( 1)n

ln(n 2)

( 1)n

n ln(n 2)

( 1)

7n 8

( 1)n

n4 2n2 2

( 1)

(n 1)7

( 1)

5n 4

( 1)

(n 5)

ln(n 3)

( 1)

n 3

( 1)

2n 1

(2n 1)3

( 1)

sin

sin 4

( 1)

2 ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

2.1Функціональні ряди. Область збіжності.

Типи збіжності

Розглянемо послідовність функцій 1(x), 2(x),…, n(x),… зі спільною областю визначення U.

Вираз вигляду

1(x) + 2(x) + … + n(x) +… (2.1)

називається функціональним рядом.

При кожному фіксованому x ряд (2.1) перетворюється в числовий, поняття збіжності та розбіжності якого введено раніше.

Означення 1. Множина точок x, для яких збігається ряд (2.1), називається областю збіжності V цього функціонального ряду.

При вивченні функціональних рядів важливим є поняття правильно збіжного ряду.

Означення 2. Ряд (2.1) правильно збігається в області V, якщо для нього існує збіжна числова мажоранта, тобто

існує числовий ряд

ak k 1

з додатними членами такий, що

\|f	(x)\| a	,	k,	x V.	(2.2)
k	k

Для довільного x із області збіжності функціонального ряду

		n
lim Sn	(x) lim	fk (x) f (x).	(2.3)
n	n	k 1
		k 1

Якщо ряд (2.1) збігається правильно на сегменті [a,b],то з того, що члени ряду є неперервні на [a,b] функції, випливає, що й сума ряду (x) – неперервна на [a,b] функція і що

b	b
f (x)dx fk (x)dx,		(2.4)
a	k 1a

тобто ряд (2.1) можна почленно інтегрувати (так само, як і для скінченних сум).

Якщо члени ряду (2.1) – диференційовні на [a,b] функції,

ряд (2.1) збігається на [a,b], а ряд



fk (x)

правильно

збігається на [a,b] і похідні

k fk (x)

k 1,2,... ,

неперервними на [a,b], то сума ряду (x) - диференційовна функція і

		k
f (x)		k
f (x)		f (x) .	(2.5)
	k 1

2.2 Степеневі ряди. Теорема Абеля та наслідки з неї. Знаходження радіуса та області збіжності степеневого ряду

На практиці дуже

функціонального ряду

важливим є частинний випадок


f	k	(x) , в якому	f	k	(x) a (x c)k ,
	k			k	k

k k 1,2,... . Такий ряд

називається степеневим. Якщо

ввести нову змінну

x c , то

ряд , в якому c 0 .

Отже, розглянемо степеневий ряд

a0 a1x a2 x2 ... an xn ...

отримаємо степеневий


ak xk .	(2.6)

k 1

Основою теорії степеневих рядів є

Tеорема Абеля. Якщо степеневий ряд (2.6) збігається при деякому x0 (x00), то він абсолютно збігається для всіх x, для яких |x|<|x0| (рис.2.1).

Збігається



x0	О	x0
	Рис.2.1

З теореми Абеля безпосередньо випливають такі наслідки.

1. Якщо степеневий ряд (2.6) розбігається при деякому x1, то він розбігається при всіх x, для яких |x|>|x1| (рис.2.2).

Розбігається Розбігається

x1	О	x1
	Рис.2.2
2. Для кожного степеневого ряду (2.6) існує число R0
таке, що для всіх	x(R, R)	ряд збігається, а для всіх
x(R, R) розбігається (рис.2.3).
Розбігається	Збігається	Розбігається

R О R

Рис.2.3

Число R називається радіусом збіжності степеневого ряду

(2.6).

Для знаходження області збіжності степеневого ряду (2.6) необхідно:

1)знайти радіус R збіжності ряду (2.6);

2)дослідити збіжність числових рядів


ak R	k	,	ak (R)	k
ak R		,	ak (R)
k 1			k 1

;

3) зробити висновок про область збіжності степеневого ряду.

Якщо виявиться, що

lim	a	k	1		,	(2.7)

	a			1
k
			k

то	R	1	. Якщо
то	R		. Якщо

		1

то

	R	1
	R

		2

lim k	a	2	,	(2.8)
k	k	2
k

Наведемо серію прикладів на знаходження області збіжності степеневих рядів.

Приклад 2.1.

	k
x	k	(2.9)
x		(2.9)
k 1

Ряд (2.9) сума членів геометричної прогресії. Областю збіжності є інтервал ] 1, 1[.

Приклад 2.2.

	x	k

	k
k 1

Розв’язання. Згідно з формулою (2.7)

		(2.10)
lim	k 1	1	1 .
	k
k

			1
Отже,	R 1. Розглянемо ряди			, ( 1)k

		k 1 k		k 1

ряд гармонічний, він розбігається; другий теоремою Лейбніца) знакопочережний ряд.

1k . Перший збіжний (за

Висновок. Область збіжності ряду (2.10) напівінтервал

[ 1, 1).

Приклад 2.3.

									xk

										2
								k 1 k		2
								k 1 k
Розв’язання.											lim
											k
	1				k	1
			,	( 1)	k			збіжні.
		2	,	( 1)			2	збіжні.
k 1 k		2		k 1		k	2
k 1 k				k 1		k

Висновок. Область збіжності ряду Приклад 2.4.

				(2.11)
(k 1)		2
(k 1)		1	1 .	Ряди
k	2	1	1 .	Ряди
	2

(2.11) відрізок [ 1, 1].

		k		k
k		k	x	k			(2.12)
k			x				(2.12)
k 1

Розв’язання. lim k k k lim k						2	.
	k				k	2
	k				k

Висновок. Область збіжності ряду (2.12) {0}(одна точка x=0).

Приклад 2.5.

	x	k
			(2.13)
	k!
k 1

Розв’язання. Знайдемо

	1
lim	(k 1)!	lim	1	0	.
lim		lim		0	.
k	1	k k 1		1
k	1	k k 1
	k!

Висновок. Степеневий ряд збігається на всій числовій осі.

Властивості збіжних степеневих рядів

1.Ряд (2.6) з радіусом збіжності R правильно збігається на будь-якому відрізку [R1, R1], де R1 – довільне додатне число, менше ніж R.

2.Ряд, одержаний почленним диференціюванням ряду

(2.6) з радіусом збіжності R, правильно збігається на [R1, R1], де R1 – довільне число з інтервалу (0, R).

3. Сума (x) степеневого ряду (2.6) нескінченно диференційовна функція на (R, R) і диференціювання можна проводити почленно.

4.	ak	f

(k ) (0) k!

, тобто будь-який степеневий ряд можна

зобразити у вигляді.

			f	(k )	(0)
f (x) ak x	k		f		(0)	x	k	.	(2.14)
	k						k
				k!
k 1		k 1		k!
k 1		k 1

Ряд, який знаходиться справа, називається рядом Маклорена функції (x), тобто кожний степеневий ряд (2.14) є ряд Маклорена своєї суми.

Приклади для самостійного розв’язування

Знайти інтервал збіжності степеневого ряду та дослідити збіжність на кінцях інтервалу.

		(x 1)					n
1.		(x 1)
1.				n2		n
						n
	n 1
	n 1

2.	n!(x						5)	n
2.	n!(x						5)
	n 1
		x		2n 1
3.		x
3.		2n 1
	n 1	2n 1
	n 1
			n
4.		2		n!	x2n
4.				n	x2n
	n 1	n

n 1

2n 1

(4n 3)

n 1

( 1)

n 1

( 1)

(x 2)

n 1

8. ( 1)n

n ln n

n 1

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf
#
03.08.2019298.18 Кб7math.docx
#
25.11.20191.43 Mб10MathCAD ukr 2.docx
#
12.05.20152.99 Mб59math_meth_teoriyzpolya.doc
#
12.05.2015717.02 Кб4math_RYaDI.pdf
#
12.05.20155.26 Mб29matved_lections.docx
#
12.05.20151.13 Mб72matznav_tkm_DKR.pdf
#
17.03.20166.67 Mб55MDVM.doc
#
17.03.20161.23 Mб11MDVM.pdf
#
17.03.2016908.81 Кб10MDVM.pdf


18.
	n 1

19.
	n 1

20.
	n 1

21.
	n 1

22.
	n 1

23.
	n 1

24.
	n 1

25.
	n 1

26.
	n 1

27.
	n 1

28.
	n 1

29.
	n 1

30.
	n 1


18.
	n 1

19.
	n 1

20.
	n 1

21.
	n 1

22.
	n 1

23.
	n 1

24.
	n 1

25.
	n 1

26.
	n 1

27.
	n 1

28.
	n 1

29.
	n 1

30.
	n 1


18.
	n 1

19.
	n 1

20.
	n 1

21.
	n 1

22.
	n 1

23.
	n 1

24.
	n 1

25.
	n 1

26.
	n 1

27.
	n 1

28.
	n 1

29.
	n 1

30.
	n 1