6)Заміна змінних у подвійному інтегралі. Полярні координати, узагальнені полярні координати. Нехай функції x=φ(uv);y=ψ(uv) неперервні і мають похідні у деякій області . Ці функції встановлюють взаємооднозначну відповідність між областями D і . , - формула Остроградського.Полярні координати. ; ; . Тут роль u виконує , а роль v – .Якобіан переходу до полярних координат ; . Тоді маємо: . У полярних координатах маємо площу фігури .Узагальнені пол. коорд. ; ; . . . Ці координати застосовуються тоді, коли область інтегрування є еліпс, або його частина

5)Обчислення подвійного інтегралу у декартовій системі координат. Область називається правильною у напрямі якої-небудь осі, якщо пряма лінія, що паралельна цій осі перетинає границю області не більше ніж у 2х точках. Подвійний інтеграл від неперервної функції по правильній області , дорівнює двократному(повторному) інтегралу по цій області: . Обчислимо об’єм тіла іншим способом, а саме за допомогою поперечних перерізів площинами, які перпендикулярні OX. , при одержуємо криволінійну трапецію, яка обмежена зверху кривою . Тоді , у загальному випадку маємо ,

4)Теорема про оцінку подвійного інтеграла, теор про середній подвійний інтеграл. Теорема про оцінку. Нехай функція f(x;y) неперервна в області D, тоді мають місце нерівності (1), де найменше і найбільше значення в області , площа області .Доведення. Відмітимо, що коли , то відповідний подвійний інтеграл є площа області , тобто . Згідно теореми Веєрштрассе всяка неперервна у замкненій області функція приймає свої найбільше і найменше значення. Маємо . .

Геометричний зміст даної теореми: об’єм циліндричного тіла знаходиться між об’ємами 2х циліндрів, які мають ту ж основу – область і висоти m і M.Теор про середній подвійний інтеграл. Нехай функція f(x;y) неперервна в області D, тоді має місце рівність , .Доведення: для неперервної функції в замкненій області знайдеться така точка , що значення функції в цій точці співпадає з заданим числом ; . Геометричний зміст цієї теореми – об’єм циліндроїда дорівнює об’єму циліндра з висотою

3) Подвійний інтеграл – озн, властивості, довести будь – яку одну властивість. Озн. Нехай функція f(x;y) визначена в області D. Аналогічно складемо інтегральну суму . якщо існую скінченна границя інтегральної суми коли і ця границя не залежить від способу поділу області D на та вибору точок в , то f(x;y) називається інтегрованою в області D, а ця границя називається подвійним інтегралом і позначається так:

Властивості. А. інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів, Б. сталий член можна виносити за знак інтегралу, В. , при - адитивність. Границя між і повинна бути гладкою лінією, Г. якщо f(xy)≤ (xy) в області то

Доведення. сталий член можна виносити за знак інтегралу

2)озн, теор існування, геом. Зміст подвійного інтегралу Озн. Нехай функція f(x;y) визначена в області D. Аналогічно складемо інтегральну суму . якщо існую скінченна границя інтегральної суми коли і ця границя не залежить від способу поділу області D на та вибору точок в , то f(x;y) називається інтегрованою в області D, а ця границя називається подвійним інтегралом і позначається так: .Теорема існування. (без дов)Якщо f(x;y) неперервна в області D, то подвійний інтеграл існує.Геометричний смисл. Якщо f(x;y)≥0 в області D, то подвійний інтеграл дорівнює об’єму тіла

1)Задача, яка приводить до поняття подвійного інтеграла (обч об’єму тіла) Нехай в області D задана неперервна додатня функція z=f(x;y). Треба знайти об’єм V тіла обмеженого зверху поверхнею z=f(x;y), знизу областю D, та циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ. Таке тіло називається циліндроїдом. Розібємо область D на елементарні частинки довільними лініями. Площу однієй частинки позначимо . Всередині області вибиремо довільну точку . Області відповідає невелике циліндричне тіло, обєм якого дорівнює ; , тоді обєм даного тіла наближено дорівнює .Нехай максимальний діаметр го. Очевидно, що тим точніше виражає обєм , чим більша і чим менше . Озн1: під обємом тіла будемо розуміти вираз .

9)Моменти інерції плоскої фігури. Формула Гріна про зв'язок подвійного інтеграла 2го роду вздовж замкненого контура L та подвійного інтеграла, обмеженого областю D. Моментом інерції , матеріальної точки , що має масу m, відносно деякої точки О називається добуток маси m на квадрат відстані від точки до точки О - . . Елементарні моменти інерції відносно координатних осей: ; ; Тоді моменти інерції всієї області відносно координатних осей: момент інерції відносно початку координат: . зауваження: якщо пластинка однорідна, , то покладають .Формула Гріна: якщо P та Q неперервно диференційовані в області D, яка обмежена гладкою кривою L, то - формула Гріна. Доведення: ; кожен з цих інтегралів дорівнює криволінійному інтегралу від функції по відповідному шляху; ; Аналогічно ; Додаємо одержані рівності і одержуємо формулу Гріна:

7)Обчислення об’єму тіла, площі фігури, площі поверхні, за допомогою подвійного інтеграла. Обчислення об’єму тіла Нехай тіло обмежено двома поверхнями і циліндричною поверхнею. Тоді об’єм такого тіла . площа фігури обчислюється за формулою .площі поверхні - рівняння площі поверхні, де - неперервна і диференційована. Використовуючи інтегральну суму можна довести, що площа поверхні обчислюється за формулою:

8)Маса плоскої пластинки. Статичні моменти пластинки. Координати центра мас пластинки. Розглянемо матеріальну плоску область , на якій розподілено деяку речовину з густиною . неперервна в області . Розіб’ємо область на елементарні частинки лініями . Тоді елементарна маса . Елементарні статичні моменти відносно координатних осей визначаються рівностями , , тоді маса ; ; ; згідно означення центра мас системи матеріальних точок виконуються такі співвідношення: ; ; отже координати центра мас: ; ; зауваження: якщо пластинка однорідна, , то покладають .

1)Криволінійні інтеграли 1го роду (по довжині дуги) – озн та обчислення. Нехай крива і на ній визначена функція . Складемо інтегральну суму: для цього розбиваємо дугу на частинки за допомогою точок , довжини яких - ; - максимальна при 1≤i≤n. Виберемо на дузі довільну точку і запишемо інтегральну суму: .Озн. Скінченна границя інтегральної суми при ; . Якщо вона існує і не залежить від способу ділення кривої на елементарні частини та вибору точок на них, називається криволінійним інтегралом 1го роду від функції по дузі і позначається так: . Відмітимо, що цей інтеграл не залежить від напряму обходу дуги, тобто від шляху інтегрування.Обчислення: Нехай крива задана у параметричній формі ; ; ; ; (скористаємось теоремою про середнє для визначеного інтегралу) ; значенню параметра відповідає точка . ; одержали інтегральну суму для функції границя цієї суми є криволінійний інтеграл 1го роду ;

2)Задача про масу зігнутого стержня. Нехай вздовж просторової кривої розподілена речовина з густиною . Треба знайти масу цієї кривої(тобто зігнутого стержня). Для розвязання задачі розділимо дугу на n елементарних частинок, довжини яких позначимо , - максимальна при 1≤i≤n. Будемо вважати, що густина на відрізку стала. Тоді її маса , де - довільна точка дуги. ; ; ця границя є криволінійний інтеграл 1го роду.

3)Криволінійні інтеграли 1го роду (по довжині дуги) – озн, теор існування, властивості. Нехай крива і на ній визначена функція . Складемо інтегральну суму: для цього розбиваємо дугу на частинки за допомогою точок , довжини яких - ; - максимальна при 1≤i≤n. Виберемо на дузі довільну точку і запишемо інтегральну суму: .Озн. Скінченна границя інтегральної суми при ; . Якщо вона існує і не залежить від способу ділення кривої на елементарні частини та вибору точок на них, називається криволінійним інтегралом 1го роду від функції по дузі і позначається так: . Відмітимо, що цей інтеграл не залежить від напряму обходу дуги, тобто від шляху інтегрування.Теор існув. (без дов) – якщо крива гладка і функція неперервна на ній, то криволінійний інтеграл 1го роду існує на ній.Властивості. А. інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів, Б. сталий член можна виносити за знак інтегралу, В. якщо , то ; Г. не залежить від вибору початкової точки на замкненому контурі.

4)Криволінійні інтеграли 2го роду (по координатам) – озн, теор існування, властивості. Озн. Скінченна границя інтегральної суми при ; , Скінченна границя інтегральної суми при ; . Якщо вона існує і не залежить від способу ділення кривої на елементарні частини та вибору точок на них називається криволінійним інтегралом 2го роду і позначається так: . Цей інтеграл змінює свій знак при зміні напряму шляху інтегрування.Теорема існування. Якщо крива гладка, а функції P,Q,R – неперервні, то інтеграл існує.Властивості. А. інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів, Б. сталий член можна виносити за знак інтегралу, В. якщо , то ;

5)Криволінійні інтеграли 2го роду (по координатам) – озн і обчислення. Озн. Скінченна границя інтегральної суми при ; , Скінченна границя інтегральної суми при ; . Якщо вона існує і не залежить від способу ділення кривої на елементарні частини та вибору точок на них називається криволінійним інтегралом 2го роду і позначається так: . Цей інтеграл змінює свій знак при зміні напряму шляху інтегрування.Обчисл. Нехай задана параметрично формі ; ; ; , використовуючи інтегральну суму можна довести, що ; якщо z=0, то одержимо плоский випадок .

6)Криволінійні інтеграли від повного диференціалу. Виконання умови рівносильно тому, що вираз є повний диференціал деякої функції . Тобто . В цьому випадку вектор дорівнює і є градієнт функції . , тоді функція є потенціал векторного поля .Теорема: нехай , тоді криволінійний інтеграл по будь-якій кривій L дорівнює різниці значень функції в точках M і N (кінцях кривої L). Тобто .Доведення: нехай L задана параметрично ; ; , причому точка M відповідає значенню параметра , а точка N - . Тоді маємо , вираз у квадратних дужках є повна похідна по t. . Отже криволінійний інтеграл від повного диференціала не залежить від форми кривої, по якій проводиться інтегрування.

7)Поверхневий інтеграл 1го роду – озн, властивості, фізичний смисл та обчислення. Поверхневий інтеграл 1го роду є узагальнення криволінійного інтегралу 1го роду на випадок простору. Нехай функція неперервна і задана на поверхні S. - рівняння гладенької поверхні S. Складемо інтегральну суму . Для цього розділимо поверхню на елементарні частини , 1=1;2;3…n. - площа кожної із них, λ – максимальне значення при i=[1…n]. На вибираємо довільні точки з координатами . . Озн. Границя інтегральної суми , при називається поверхневим інтегралом 1го роду від функції по поверхні S. Тобто . Властивості: А. інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів, Б. сталий член можна виносити за знак інтегралу, В. якщо , то .Фізичний смисл: якщо функція на поверхні S, то цей інтеграл виражає собою масу матеріальної поверхні S, густина в кожній точці якої дорівнює . За допомогою поверхневого інтеграла 1го роду можна також обчислити статичні моменти та координати центра мас поверхні.

Обчислення: нехай поверхня S проектується однозначно на XOY в деяку область , це означає, що пряма лінія паралельна осі OZ перетинає таку поверхню тільки в одній точці. Можна довести, що в цьому випадку має місце формула: .

8)Поверхневий інтеграл 2го роду – озн, властивості, фізичний смисл та обчислення. , P,Q,R – неперервні функції, які задані на поверхні додатній стороні поверхні S. Поверхня характеризується напрямком нормалі , . Побудуємо інтегральну суму. Для цього розділимо S на елементарні частинки , з точками і знайдемо вектор . Фізичний смисл: Складемо добуток скалярного добутка на площу поверхні: . Якщо - швидкість рідини, що протікає через поверхню S, то цей добуток дорівнює кількості рідини, що протікає через за одиницю часу у напрямі вектора - це потік векторного поля через поверхню S.Озн. Поверхневим інтегралом 2го роду називається ; і позначається так: , або в координатній формі .Властивості: А. інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів, Б. сталий член можна виносити за знак інтегралу, В. якщо , то .Обчислення – поверхневий інтеграл 2го роду обчислюється за допомогою подвійних інтегралів по відповідним областям. рисуночек(pict001)

9)Умови незалежності криволінійного інтеграла 2го роду (по координатам) від форми шляху інтегрування. Розглянемо криволінійний інтеграл вздовж довільної кривої L, яка з’єднує M i N: (1). Будемо вважати, що функції P,Q, - неперервні в області D, яка містить L. Виникає питання – при яких умовах цей інтеграл не залежить від форми кривої L, а залежить тільки від положення точок M i N? Розглянемо дві довільні криві, які з’єднують M і N і лежать в області D. Нехай криволінійний інтеграл (1) не залежить від шляху інтегрування, тобто . Звідки маємо: . . ; L=MBNAM. Тобто криволінійний інтеграл будь-якого замкненого контуру, що лежить в області D, =0. Має місце і обернене твердження – якщо криволінійний інтеграл по замкненому контуру =0, то він не залежить від вибору шляху інтегрування. Якими ж умовами повинні задовольняти функції P i Q, щоб криволінійний інтеграл по замкненому контуру = 0? Має місце така теорема: нехай функції P i Q неперервні в D, тоді для того, щоб криволінійний інтеграл по будь-якому замкненому контуру L, LєD, =0, тобто (2), необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова , (3), у всіх точках в області D.Достатність: розглянемо формулу Гріна для довільного замкненого контуру L, LєD: , якщо скористатися умовою (3), то подвійний інтеграл тотожно=0: .

Необхідність: нехай виконується (2). Доведемо (3) від супротивного. Припустимо , хоча б в одній точці. Нехай в точці має місце нерівність . Так як функції - неперервні, то в деякому околі точки маємо: . Тоді: . З формули Гріна випливає, що криволінійний інтеграл теж >0, а це суперечить умові (2), отже умова (2) виконується у всіх точках області D. Необхідність доведена.

Рисуночек(pict002)

10)Обчислення площі плоскої фігури за допомогою криволінійного інтеграла 2го роду. Нехай задана правильна область D обмежена замкненою кривою L. Ця область проектується на ох у відрізок ab і обмежена лініями y=y1(x);y=y2(x); причому y1(x)<y2(x). Тоді площа фігури D дорівнює ; але перший інтеграл = криволінійному інтегралу по кривій NTM. ; другий інтеграл = , виберемо напрям інтегрування як показано на рисунку, тоді ; - циркуляція по контуру. Аналогічно можна довести і іншу формулу: ; на практиці ;

1)Скалярне поле – озн, приклади, геометричні характеристики. Озн: частина простору або весь простір в кожній точці якого визначена деяка величина, називається полем цієї величини. Якщо величина скалярна, то і поле називається скалярним. Наприклад, а) скалярне поле у просторі, де знаходиться нагріте тіло, б) скалярне поле електричного потенціала у просторі навколо електричного заряду і тд. Якщо скалярна функція U(xyz) не залежить від часу, то таке поле називається стаціонарним.Геометричні характеристики: важливою характеристикою є поверхня рівня: U(xyz)=C. У випадку площини маємо лінії рівня – U(xy)=C. Наприклад, лінії висот точок земної поверхні над рівнем моря (топографія).

2)Скалярне поле – озн, диференціальні характеристики, оператори Гамільтона. Озн: частина простору або весь простір в кожній точці якого визначена деяка величина, називається полем цієї величини. Якщо величина скалярна, то і поле називається скалярним. Наприклад, а) скалярне поле у просторі, де знаходиться нагріте тіло, б) скалярне поле електричного потенціала у просторі навколо електричного заряду і тд. Якщо скалярна функція U(xyz) не залежить від часу, то таке поле називається стаціонарним.Диференціальні характеристики: 1ою такою характеристикою є швидкість зміни U(xyz) при переміщенні даної точки у різні напрями у просторі. Ця швидкість дорівнює похідній за напрямком: ; . У випадку площини . 2ою характеристикою є градієнт: , для площини z=f(xy), . Похідна за напрямом і градієнт зв’язані між собою співвідношенням: . Модуль градієнта дорівнює найбільшому значенню похідної за напрямком від функції U(xyz) у даній точці М, а напрям співпадає з вектором нормалі до поверхні рівня в цій точці. Оператор Гамільтона: для позначення градієнта та інших величин в теорії поля часто використовується символічний вектор набла , що був введений Гамільтоном, він позначається так: . Тоді . Слово набла в перекладі з грецької – арфа.

3)Векторне поле – озн, приклади, геометричні характеристики. Озн: частина простору або весь простір, в кожній точці якого визначений вектор , називається полем цього вектора, коротше – векторним полем. Наприклад, а) у просторі навколо Землі існує стаціонарне гравітаційне векторне поле, на матеріальну точку М, що знаходиться в цьому просторі діє сила тяжіння , яка практично не залежить від часу, б) навколо тіла, що має електричний заряд маємо векторне поле напруги, яка проявляє себе по відношенню до зарядженої частинки, внесеної в це поле, в) нехай в деяку просторову область Ω протікає рідина зі швидкістю , тоді маємо гідродинамічне стаціонарне поле швидкостей рідини, що протікає.Геометричні характеристики: це векторні лінії та векторні трубки. Векторною лінією називається крива, дотична в кожній точці якої співпадає з напрямом вектора поля в цій же точці. Якщо , то диференціальні рівняння векторних ліній мають вигляд: . Векторною трубкою називається поверхня, утворена векторними лініями, що проходять через точки замкненої кривої. Ця крива не повинна співпадати з якою-небудь векторною лінією.

4)Векторне поле – диференціальні характеристики(div i rot). Озн: частина простору або весь простір, в кожній точці якого визначений вектор , називається полем цього вектора, коротше – векторним полем. Наприклад, а) у просторі навколо Землі існує стаціонарне гравітаційне векторне поле, на матеріальну точку М, що знаходиться в цьому просторі діє сила тяжіння , яка практично не залежить від часу, б) навколо тіла, що має електричний заряд маємо векторне поле напруги, яка проявляє себе по відношенню до зарядженої частинки, внесеної в це поле, в) нехай в деяку просторову область Ω протікає рідина зі швидкістю , тоді маємо гідродинамічне стаціонарне поле швидкостей рідини, що протікає.Диференціальні характеристики. 1) дивергенція (розходження) векторного поля називається скалярна функція: – формальне означення. Інваріантне означення: . V – об’єм, обмежений поверхнею S. За допомогою оператора Гамільтона дивергенція записується: . Дивергенція характеризує потужність джерела або стоку поля швидкостей рідини. Якщо , то в точці знаходиться джерело, а якщо , то в точці - стік. 2) другою важливою характеристикою є ротор. Ротором (вихором) векторного поля Називається вектор, що задовольняє рівності: . Цей символічний детермінант є векторний добуток оператора Гамільтона і даного вектора . - це формальне означення ротора, інваріантне означення таке: . Ротор – вектор, проекція якого на будь-який напрям нормалі дорівнює границі відношення циркуляції вектора вздовж замкненого контура L до площі нескінченно малої S, яка містить точку М і перпендикулярна . З фізичної точки зору ротор характеризує обертальну складову поля швидкостей потока рідини. Якщо є градієнт деякої скалярної функції U, то поле називається потенціальним. , величина U називається потенціалом поля.

5)Інтегральні характеристики векторного поля – робота, циркуляція, теор Стокса, формула Гаусса-Остроградського. Робота векторного поля(циркуляція). Роботою векторного поля вздовж лінії L називається величина криволінійного інтегралу або . Якщо L – плоска, то . Якщо контур замкнений, то робота векторного поля називається циркуляцією вектора вздовж цього замкненого контура. Теорема: циркуляція потенціального вектора вздовж замкненого контура дорівнює нулю. Доведення: , тому ; . Інтеграл від повного диференціалу дорівнює різниці значень функції U(xyz) у кінцевій та початковій точках інтегрування, а так як контур замкнений, то ці точки співпадають, отже циркуляція дорівнює нулю. Теорема Стокса: циркуляція вздовж будь-якого замкненого контура L дорівнює потоку ротора через поверхню S, обмежену цим контуром. Це перша інтегральна характеристика векторного поля. .Теорема Гаусса-Остроградського: ця формула є аналог формули Стокса для випадку замкненої поверхні. Вона зв’язує потрійний інтеграл по просторовій області V з поверхневим інтегралом по зовнішній стороні поверхні S, що обмежує цю область. Формула має вигляд: , у векторній формі: . Теорема: потік через замкнену поверхню S у напрямі нормалі до S дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції цього вектора по області V, обмеженій поверхнею S. Фіз. Смисл – потрійний інтеграл – кількість рідини, що знаходиться в об’ємі V, за рахунок джерел з потужністю div . Ця кількість рідини дорівнює потоку через поверхню S. Формула ГО – це друга інтегральна характеристика поля .