- •Рисуночек(pict002)
- •7)Задача про роботу силового поля. Робота силового поля обчислюється двома шляхами: 1)в основу покладена властивість адитивності 2)основою даного розв’язку є формула Гріна: , де ;
- •4)Теор про середнє значення функції для потрійного інтегралу. Якщо функція f(X,y,z) – неперервна в замкнутій області , то існує точка в якій
- •9)Потрійні інтеграли у сферичних координатах. З маємо Отже, Обчислюємо якобіан переходу
- •10)Застосування потрійних інтегралів у геометрії та механіці. 1)Обчислення об’єму тіла.Якщо тіло однорідне і густина то об’єм дорівнює :
- •2)Координати центра мас тіла:
- •3)Момент інерції тіла відносно координатних осей:
- •2) Комплексні числа в тригонометричній та показниковій формах.
- •6)Основні властивості інтеграла від фкз, теорема Коші. Вони випливають з означення цього інтеграла:
- •Довжина .
- •1) Властивість лінійності перетворення Лапласа. Зображення функцій . T.Якщо , ,а і дійсні сталі то, ;і взагалі
- •7) Теор про інтегрування оригіналу.
1) Властивість лінійності перетворення Лапласа. Зображення функцій . T.Якщо , ,а і дійсні сталі то, ;і взагалі
Дов. =
Скористаемося властивістю лінійності інтеграла
Так як властивість лінійності має місце для «n» властивість лінійності мае місце для доданків то одержемо загальне співвідношення.
;
;
2)Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Теорема про подібність. Т.Нехай оригінал причому диференційована при і також оригінал. Якщо то: ЯКЩО оригінали то .Дов. Розглянемо інтеграл Лапласа для похідної U= t ; ; = Формула для зображення похідної n-го порядку: .; ; або ; Є і інші позначення відносності . Перехід від функції за формулою (1) називається перетворенням Лапласа.Для збіжності невласного інтеграла у формулі (1):а) неперервна на всій осі за винятком хіба що скінченного числа точок розриву 1 роду на кожному інтервалі скінченної довжини.б) ; М і - деякі сталі; ; ; ; Вважають ;Функція яка задовольняє вище згаданим трьом умовам називається оригіналом. Відповідно функція яка визначається формулою (1) називається зображенням .Теорема єдності (без дов) ЯКЩО ДВІ НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ І мають одне і те саме зображення то ці функції тотожно рівні.Теорема про подібність і ,то ; Дов. ; зробимо заміну змінної інтегрування [ ; ;]
3)Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Теорема про зсув. Т.Нехай оригінал причому диференційована при і також оригінал. Якщо то: ЯКЩО оригінали то .Дов. Розглянемо інтеграл Лапласа для похідної U= t ; ; = Формула для зображення похідної n-го порядку: .; ; або ; Є і інші позначення відносності . Перехід від функції за формулою (1) називається перетворенням Лапласа.Для збіжності невласного інтеграла у формулі (1):а) неперервна на всій осі за винятком хіба що скінченного числа точок розриву 1 роду на кожному інтервалі скінченної довжини.б) ; М і - деякі сталі; ; ; ; Вважають ;Функція яка задовольняє вище згаданим трьом умовам називається оригіналом. Відповідно функція яка визначається формулою (1) називається зображенням .Теорема єдності (без дов) ЯКЩО ДВІ НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ І мають одне і те саме зображення то ці функції тотожно рівні. Теорема про зсув:Якщо то ;Дов. ;
4)Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Теорема про запізнювання. Т.Нехай оригінал причому диференційована при і також оригінал. Якщо то: ЯКЩО оригінали то .Дов. Розглянемо інтеграл Лапласа для похідної U= t ; ; = Формула для зображення похідної n-го порядку: .; ; або ; Є і інші позначення відносності . Перехід від функції за формулою (1) називається перетворенням Лапласа.Для збіжності невласного інтеграла у формулі (1):а) неперервна на всій осі за винятком хіба що скінченного числа точок розриву 1 роду на кожному інтервалі скінченної довжини.б) ; М і - деякі сталі; ; ; ; Вважають ;Функція яка задовольняє вище згаданим трьом умовам називається оригіналом. Відповідно функція яка визначається формулою (1) називається зображенням .Теорема єдності (без дов) ЯКЩО ДВІ НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІЇ І мають одне і те саме зображення то ці функції тотожно рівні. Теорема про запізнюванняЯкщо і то ;Дов. ; [ ; ; ] [Скористаємося адитивності невласного інтеграла] [ коли отже 1 інтеграл = 0] .
5)Теор про диференціювання оригінала Нехай f(t) – оригінал, пичому f(t) диференційована при і f’(t) також оригінал. Тоді якщо , то , якщо крім того - є оригіналом, то .Дов. розглянемо інтеграл Лапласа для похідної f’(t): =[про інтегруємо частинами ]= . Після ‘n’ кратного застосування цього способу одержимо формулу для зображення похідної ‘n’ го порядку.
6)Теор про диференціювання зображення Нехай , то з теорії ФКЗ відомо, що f(p) є аналітична функція півплощини , тобто має похідні всіх порядків. Тоді похідна ‘n’ го порядку є зображення функції . .Дов. ; за теоремою про диференціювання невласного інтегралу за параметром маємо: . Диференціюючи ‘n’ разів за параметрои р, одержуємо відповідне спріввідношення.