1)Комплексні числа в алгебраїчній формі(озн, який вигляд,дії над ними). Комплексне число Z це вираз z=x+iy, де x,y- дійсні, і-уявна одиниця . x=Re z – реальна частина , y=Im z – уявна частина.

- спряжене до z. Комплексне число z зображується на площині XoY точкою M(x,y) або вектором . Довжина цього вектора називається модулем комплексного числа. Кут між вектором і оX позначається Arg z і називається аргументом. Значення аргумента в межах (-П;П) називається головним і позначається аrg z. , полярні координати точки М. Операції над комплексними числами :

Нехай 1) лише тоді , коли

1. 

2. 

3. 

4. z*

5. = = .

2) Комплексні числа в тригонометричній та показниковій формах.

Скористаємось формуло Ейлера:

.

Операції над комплексними числами у цих формах

Нехай

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

3)ФКЗ – озн, одномістність(?), неперервність в точці і в області, диференційованість. Комплексне число Z це вираз z=x+iy, де x,y- дійсні, і-уявна одиниця . x=Re z – реальна частина , y=Im z – уявна частина.

- спряжене до z. Будемо називати W функцією незалежної змінної z. Якщо кожному z з області D відповідає комплексне значення W , то z , W=u+iv, W=f(z). Ця функція відображає область комплексної площини Z. u=u(x,y), v=v(x,y).

Якщо при виконується умова , то функція W=f(z) називається одномісною.

Функція W=f(z) називається неперервною в точці якщо для всіх точок достатньо малого околу точки і відповідні значення функції належать малому околу Функція неперервна в області якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. Дії додавання, віднімання , множення, ділення (знаменник не дор. 0) дають неперервні функції.Функція W=f(z) називається диференційованою в точці z області D , якщо існує скінченна границя відношень , коли при .

4)Диференціюв-ня ФКЗ, умови Коші-Рімана. Функція W=f(z) називається диференційованою в точці z області D , якщо існує скінченна границя відношень , коли при . Однозначна функція аналітична в області D , якщо в кожній точці цієї області вона має скінченну похідну. Ці функції мають спеціальні властивості. Правила диференціювання такі ж як і для функцій дійсних змінних .Будь-яка диференційовна в точці z функція W=f(z) – неперервна в цій точці.Умови Коші-Рімана. Нехай f(z) має похідну. Так як довільним чином, то .Маємо: .Аналогічно одержуємо: ; ; ; ; ; ;

5)Інтеграл від ФКЗ – озн та обчислення. Нехай Функція W=f(z) – неперервна функція комплексної змінної z, яка визначена в області D і - довільна гладк а лінія в цій області. Розіб’ємо АВ на довільне число n елементарних дуг в додатному напрямку від А до В . Позначимо

Доведемо що (1) прямує до скінченної границі, яка не залежить від того закону за яким елементарні дуги прямують до нуля. Введемо такі позначення: .

Коли , то обидві суми в (2) прямують до відповідних границь: та .Отже, ліва частина (2) теж прямує до скінченної границі. Її називають інтегралом функції f(z) по кривій .

У правій частині маємо два дійсних інтеграла другого роду. Для запам’ятовування запишемо так:

Обчислення інтегралів Нехай рівняння кривої : z=z(t); . Тоді або де

Таким чином в обчисленні інтеграла від функції f(z) зводиться до обчислення двох звичайних визначених інтегралів по t.

6)Основні властивості інтеграла від фкз, теорема Коші. Вони випливають з означення цього інтеграла:

1. 

2. 

3. 

4. =

5. Довжина .

Доведення Теорема Коші.Якщо функція f(z) – однозначна в однозв’язній області D і має в кожній точці цієї області неперервну похідну , то інтеграл цієї функції вздовж замкненого контура , що належить області D, дорівнює нулю.

Доведення. З умови теореми випливає що u(x,y) та v(x,y) неперервні разом зі своїми частинними похідними в області D. Отже, виконуються умови Коші-Рімана:

;Нехай – довільний замкнутий контур , тоді ,то

7)Інтегральна формула Коші. Нехай D односвязна область що обмежена довільною кусково-гладкою кривою Г і f(z) – функція яка аналітична в замкнутій області Це означає, що f(z) має визначену скінченну похідну в кожній точці деякої області G, яка містить . Формула Коші виражає значення функції f(z) у деякій точці z, внутрішньо відносно Г , через значення цієї функції на контурі Г. Вона має такий вигляд: Інтегрування іде у додатному напрямі. Для доведення розглянемо допоміжну функцію: Ця функція аналітична всюди, крім точки t=z. Опишемо контур радіуса ρ навколо точки z. Тоді функція аналітична у кільці.За теоремою Коші для складеного контура маємо: не залежить від радіуса ρ і дорівнює сталому числу .Далі маємо Отже, якщо прийняти як значення функції в точці t=z, то стає неперервною всюди в і можна стверджувати , що М=const. Для будь-якої точки t . Користуючись цією нерівністю і властивістю . тому що ρ можна взяти як завгодно малим, а значення інтеграла – стале число, тому Замінюєм її значенням і одержимо: Очислимо останній інтеграл( t- змінна, z- const) ; ; ; ;

8)Інтегральне зображення похідних аналітичної функції(інтеграли типу Коші). Функція F(z) , що визначена за допомогою інтеграла типу Коші , є аналітична у всякій однозв’язній області D, яка не містить точок лінії L, а для її похідної має місце формула: F’(z)= .Доведення: Розглянемо відношення [Переходимо до границь при h 0:] [Скористаємось теоремою про перехід до границі в інтегралі, що залежить від параметра h.] Функція F(z), що визначена за допомогою інтеграла Коші має в кожній точці z, яка лежить ззовні лінії L, похідні всіх порядків, для яких мають місце формули:

9) Ряд Тейлора для аналітичної функції. Якщо функція f(z) аналітична в крузі то в цьому крузі має місце рівність : (1) , де … ; (2) або ; (3). При чому Г – будь-який замкнутий контур , що лежить всередині круга радіуса R з точкою в центрі . Нехай z – будь-яка точка круга радіуса R . Візьмемо коло так, щоб воно лежало всередині круга і містило точку z. Оскільки f(z) – аналітична функція , то згідно формули Коші маємо . В знаменнику віднімемо і додамо : |маємо суму нескінченно спадної геометричної прогресії | | Одержаний в дужках ряд можна почленно інтегрувати так як він збігається рівномірно, бо маємо мажоранту геометричної прогресії | де коефіцієнт визначається рівністю (2). Згідно інтегрально форми Коші контур можна замінити на Г. Зауваження 1. Представлення функції f(z) рядом Тейлора єдине в околі даної точки .Зауваження 2. Для знаходження Ряду Тейлора використовуємо основні розклади . Рисуночек(pict003)

10)Ряд Лорана (без дов). Класифікація ізольованих особливих точок однозначної аналітичної функції. Теорема. Нехай функція f(z) – аналітична і однозначна в кільці . Тоді у будь-які точці z, що належить кільцю , цю функцію можна представити у вигляді ряду Лорана за додатніми і від’ємними степенями бінома |Запишемо ряд у розгорнутому вигляді| .Цей ряд складається з головної частини, яка містить від’ємні степені бінома і правильної частини , що містить невід’ємні степені бінома . Представлення функції рядом Лорана єдине.Класифікація ізольованих особливих точок однозначної аналітичної функції. Особливі точки – це ті, в яких порушується умова аналітичності функції.Точка – ізольовано особлива, якщо ряд Лорана збігається в області .Особливі точки класифікуються за допомогою головної частини ряду Лорана. Є 3 типи особливих точок:1)Точка - називається усувною особливою точкою, якщо головної частини ряду Лоран немає зовсім. При чому .2)Точка полюс кратності «n», якщо головна частина має скінченне число «n» доданків для функції маємо: . Якщо «n»=1, то маємо простий полюс. Полюси знаходимо з рівняння: ; ;3)Коли кількість від’ємних степенів бінома у головній частині ряда Лорана нескінченна, то називається істотно особливою точкою. В цьому випадку - не існує.

11)Лишки аналітичної функції - озн та обчисл. Лишком аналітичної функції у нескінченно віддаленій точці називається коефіцієнт при в розкладі цієї функції в ряд Лорана, взятий з протилежним знаком.1)Нехай - простий полюс функції , тоді вона має такий ряд Лорана : Помножимо обидві частини рівності на ( ): Перейдемо до границі при : . (2). ( ) Нехай функція , при чому . В точці z=a маємо полюс першого порядку, тоді можемо записати : ; (3);2)Нехай z=a – полюс “n”-го порядку , тоді ряд Лорана для має такий вигляд: помножимо обидві частини на : Продиференціюємо ( разів і перейдемо до границі при , тоді одержимо: (4)

12)Лишки аналітичної функції – озн. Основна теорема про лишки(без дов). Лишком аналітичної функції у нескінченно віддаленій точці називається коефіцієнт при в розкладі цієї функції в ряд Лорана, взятий з протилежним знаком.Теорема. Нехай - однозначно аналітична функція в замкнутій однозначній області за винятком скінченного числа «n» особливих точок , що лежать всередині G. Тоді має місце рівність : (1).

Доведення. За теоремою Коші для складного контура .Помножимо обидві частини на : . .Справа стоїть сума лишків функції відносно відповідних точок .Зауваження. Якщо особливих точок немає , то лишки дорівнюють нулю і ця теорема перетворюється в теорему Коші.