Питання для самоконтролю

1. Які можливості диференціювання є в MathCAD?

2. Як організувати числове диференціювання виразу?

3. Які способи символьного диференціювання в MathCAD Ви знаєте?

4. У чому відмінність символьного диференціювання за допомогою меню Символіка і за допомогою знака символьної рівності?

5. Як обчислити похідну другого, третього й більш високих порядків?

6. Як розрахувати часткову похідну?

7. Які Ви знаєте економічні задачі, що вимагають для свого розв’язання узяття похідних?

8. Як розраховується еластичність функції?

9. Які властивості еластичності функції?

10. Що таке граничні витрати, граничний продукт? Як вони розраховуються?

Практична робота № 5

Завдання 1.

Нехай функція K(x)=20x–x²/20 встановлює залежність витрат виробництва від кількості х продукції, що випускається. Знайти граничні витрати виробництва й коефіцієнт еластичності, якщо обсяг продукції становить 100 одиниць, 20 одиниць. Побудувати графіки виробничої функції, її еластичності та граничних витрат виробництва.

Розв’язання.

1. Графік виробничої функції:

2. Граничні витрати виробництва: K′ (x) =

За x = 100 та x = 20 – граничні витрати виробництва відповідно дорівнюють 10 та 18.

Чим більше виробляється продукції, тим повільніше зростають витрати на її випуск.

3. Еластичність функції дорівнює:

Графік еластичності:

При х = 100 – еластичність функції дорівнює:

При х = 20 – еластичність функції дорівнює: :

Відповідь: при обсязі випуску в 100 одиниць, якщо кількість продукції, що випускається, збільшиться на 1%, тобто на одиницю, то відносні витрати виробництва збільшаться на 0,67%; при обсязі в 20 одиниць збільшення випуску продукції на 1% спричинить збільшення відносних витрат приблизно на 0,95%.

Завдання 2.

Побудувати графік та ізокванти виробничої функції, яка задає залежність результатів виробництва від двох факторних показників – праці й капіталу: . Обчислити граничні продукти праці й капіталу, а також коефіцієнт замінності ресурсів.

Розв’язання.

1. Графік виробничої функції:

2. Для побудови графіка ізоквант (або виробничих кривих байдужості – ліній, що відповідають однаковому випуску продукції) виберіть при побудові графіка в MathCAD меню Вставка / Графік / Контурний графік:

3. Обчислимо граничний продукт праці:

4. Обчислимо граничний продукт капіталу:

5. Обчислимо коефіцієнт замінності ресурсів:

Завдання 3.

Фірма виробляє два види товарів і продає їх за ціною 1000 грош. од. і 800 грош. од. відповідно. Обсяги випуску товарів – Q₁ и Q₂. Функція витрат має вигляд C(Q₁,Q₂) = 2Q₁²+2Q₁Q₂+Q₂². Потрібно визначити, за яких обсягів випуску товару прибуток буде максимальним. Знайти цей прибуток. Побудувати графік залежності прибутку від обсягів випуску.

Розв’язання.

1. Сумарний доход від продажу товарів: R(Q₁,Q₂) = 1000Q₁+800Q₂. Тоді прибуток (різниця між доходом і витратами):

P(Q₁,Q₂) = R(Q₁,Q₂) – C(Q₁,Q₂).

.

1. Для пошуку максимуму прибутку P(Q₁,Q₂) визначимо стаціонарні точки (у яких часткові похідні дорівнюють нулю):

Прирівнявши ці похідні до нуля, одержуємо систему рівнянь:

Таким чином, стаціонарна точка М₀(100; 300).

2. Перевіримо, чи є дана точка точкою максимуму. Для цього знаходимо часткові похідні другого порядку.

3. Прибуток при обсягах випуску товарів 100 і 300 відповідно буде дорівнювати (грош. од.).

4. Побудуємо графік залежності прибутку від обсягів випуску: