7. Інтегрування

• Первісна й інтеграл;

• визначений і невизначений інтеграли;

• числове інтегрування;

• символьне інтегрування;

• продуктивність праці й обсяг випущеної продукції;

• крива Лоренца й коефіцієнт Джинні;

• неперервне дисконтування;

• середній час виготовлення одного виробу.

1. Обчислення первісних

Для знаходження первісних потрібно виділити змінну й скористатися командою меню Символіка – Змінні – Інтеграція:

Приклад 1. Знайти первісну функції sin(x)(x+1).

• Виділимо змінну функції sin(x)(x +1).

• Виконаємо команду Символи – Змінні – Інтеграція.

У результаті одержимо: sin(x)–xcos(x)–cos(x).

Перевірка. Виділимо змінну первісної sin(x)–xcos(x)–cos(x) і продиференціюємо вираз (меню Символіка – Змінні – Диференціювати). У результаті одержимо: xsin(x)+ sin(x).

2. Обчислення інтегралів

Для обчислення інтегралів використовується один із операторів, поданих на панелі інструментів Математичний аналіз.

3. Обчислення невизначених інтегралів

_{Приклад 2}. Обчислити інтеграл від функції .

• Дамо відповідні команди:

• Запишемо вираз:

• Скористаємося символічним знаком рівності:

• У результаті одержимо: (MathCAD не виводить константу інтегрування).

Приклад 3.

Приклад 4.

Як видно, MathCAD не міг обчислити в аналітичному вигляді такий інтеграл, тому повернув вихідний вираз.

4. Обчислення визначених інтегралів

Приклад 5. Обчислити інтеграл

• Викликаємо шаблон для побудови визначеного інтеграла:

• Заповнимо відповідні поля шаблона і скористаємося символічним знаком рівності:

_{У результаті одержимо:}

Приклад 6. Обчислити визначений інтеграл від функції sin ²(x) з границями інтегрування від 0 до /4.

• Розв’язання в символьному вигляді буде таким:

• Числову відповідь одержимо, використовуючи клавішу «=»:

• Числовий результат із точністю до тридцятьох знаків після роздільника:

Приклад 7. Обчислити визначений інтеграл.

• У символьному вигляді:

.

• За умови, що a>0: .

5. Визначення підінтегральної функції таблично

Приклад 8. Вивести таблицю значень інтеграла функції sin(x)(x+1) із границями інтегрування від 1 до 5.

Розв’язання.

У результаті одержимо:

Питання для самоконтролю

1. Як розрахувати первісну функції в MathCAD?

2. Як перевірити правильність узяття первісної?

3. Які способи організації символьного інтегрування Ви знаєте?

4. Які Ви знаєте економічні задачі, розв’язання яких вимагає обчислення інтегралів?

5. Як розрахувати обсяг випущеної продукції при відомій продуктивності праці?

6. Що характеризує коефіцієнт Джинні? Як він розраховується? Як він пов’язаний із кривою Лоренца?

7. Як розрахувати дисконтний прибуток при неперервному дисконтуванні?

Практична робота № 7

Економічні задачі, що зводяться до обчислення визначених інтегралів.

Економічний смисл визначеного інтеграла.

Задача 1.

Визначити обсяг продукції, зробленої робітником за другу годину робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією:

.

Розв’язання.

Якщо f(t) – продуктивність праці в момент t, то: – обсяг продукції, що випускається за проміжок [0, T];

– обсяг продукції, що випускається за проміжок .

Шуканий обсяг визначається за формулою: .

У нашому випадку , . Тоді розв’язок у символьному вигляді: , у числовому: .

Графік функції :

Графік первісної :

Задача 2.

За даними досліджень з розподілу прибутків у одній із країн, крива Лоренца може бути задана рівнянням , де х – частка населення, у – частка прибутків населення. Обчислити коефіцієнт Джинні.

Розв’язання.

Крива Лоренца характеризує ступінь нерівності в розподілі прибутків серед населення і показує залежність відсотка прибутків від відсотка населення, що їх має. При рівномірному розподілі прибутків крива Лоренца вироджується в пряму – бісектрису ОА.

Коефіцієнт Джинні характеризує ступінь нерівності в розподілі прибутків серед населення і числово дорівнює: .

Площа під графіком функції числово дорівнює інтегралу від цієї функції, тому коефіцієнт Джинні дорівнює:

Задача 3. Дисконтуванняє

Визначення вихідної суми за її кінцевим значенням, отриманим через t років при річному відсотку i, називається дисконтуванням. Задачі такого класу зустрічаються при визначенні ефективності капіталовкладень. Якщо річний прибуток змінюється в часі й описується функцією , то дисконтний прибуток за T років визначається формулою:

Нехай, наприклад, потрібно визначити дисконтний прибуток за 5 років при процентній ставці 10%, якщо базові капіталовкладення становили 10 млн грн, а очікуване зростання капіталу 2 млн грн.

Розв’язання. Унесемо вихідні дані: F(t):=10+2t, i:=0.1, T:=5 і скористаємося шаблоном визначеного інтеграла панелі інструментів Матаналіз:

Одержання рівномірно нарощуваної суми щорічних внесків від 10 до 20 млн грн через п’ять років рівносильне одноразовому внеску 57,388 млн грн при тій же неперервній процентній ставці.

Задача 4. Застосування теореми про середнє.

Нехай відома функція t=t(x), що задає зміну витрат t на виготовлення продукції в залежності від ступеня освоєння виробництва, де x – порядковий номер виробу в партії товару. Середній час t_{середнє}, що затрачається на виготовлення одного виробу в період освоєння від a до b виробів, обчислюється за теоремою про середнє визначеного інтеграла:

Нехай, наприклад, потрібно знайти середній час, витрачений на освоєння випуску одного виробу в період освоєння від 10 до 20 виробів, якщо t(x)=x^–, де  – витрати часу на один виріб,  = 200 хв.,  – показник виробничого процесу,  – 0,5.

Розв’язання. Внесемо вихідні дані на аркуш MathCAD і скористаємося шаблоном визначеного інтеграла панелі інструментів Матаналіз, позначивши середній час te:

te(52.394331793248002430 або te= 52.394 хв.