Практична робота № 4

Економічні задачі, пов’язані з використанням рівнянь кривих першого порядку.

Задача 1.

Скласти рівняння й побудувати графік прямої, що відображає зміну врожайності 1 га протягом 17 років, якщо в перший рік із 1 га було зібрано 9,1 ц зернових культур, а в останній – 21 ц.

Розв’язання.

Будемо шукати рівняння прямої у вигляді: , (х – рік). Використовуючи умови, знайдемо невідомі k і b:

або

_{Побудуємо графік:}

Можна змінити властивості графіка, обравши з контекстного меню команду Формат. Подумайте, які опції форматування варто встановити, щоб графік набув такого вигляду:

Задача 2.

Витрати на перевезення двома видами транспорту виражаються функціями:

,

де х – відстань перевезень (від 3 до 5 км); у_1,2 – транспортні витрати 1, 2 видами транспорту (грош. од.). Побудувати графіки й визначити графічно, при яких відстанях економічніше користуватися тим чи іншим видом транспорту.

Розв’язання.

Знайдемо координати точки перетину:

1. У контекстному меню графіка виберіть команду Масштаб (з’явиться діалогове вікно «X–Y Zoom») для збільшення частини графіка в області точки перетину. На графіку виділіть пунктирним прямокутником той окіл точки перетину, який потрібно збільшити. Натисніть кнопку Масштаб, щоб перерисувати графік. Щоб зробити це зображення постійним, виберіть ОК.

2. Для визначення за графіком координат точок використовуйте допоміжні переміщувані прямі (слід), що викликаються з меню Формат / Графік / Слід, – з’явиться діалогове вікно «X–Y Trace». Щоб ці прямі ковзали тільки по точках графіка, потрібно у вікні цього сліду встановити прапорець Відстеж. точок даних. Усередині креслення натисніть кнопку миші й перемістіть позначку миші на точку перетину прямих. Для копіювання координат точки використовуйте кнопки Copy X та Copy Y, що копіюють значення в буфер обміну. Потім можна вставити їх на аркуш, наприклад, у вираз Xper := (або Yper :=).

Не забудьте надрукувати відповідь задачі.

Задача 3.

Механічний цех може виготовити за зміну або 600 деталей А, або 1200 деталей В, або їх комбінацію в межах своєї потужності. Виробнича потужність термічного цеху дозволяє обробити або 1400 деталей А, або 800 деталей В, або їх припустиму комбінацію. Деталі А надходять потім у третій цех, пропускна спроможність якого не перевищує 400 деталей. Побудувати область планів випуску деталей.

Розв’язання.

Нехай a та b відповідно кількість деталей А й В, планованих до випуску за зміну. Потужність механічного цеху приймемо за одиницю. Таким чином, на виготовлення однієї деталі А припадає 1/600 усієї потужності цеху, а однієї деталі В – 1/1200 усієї потужності. Для реалізації плану буде потрібно зайняти всієї потужності. При цьому дана величина не може бути більшою, ніж уся виробнича потужність цеху, прийнята за одиницю:

Аналогічно, умова для термічного цеху:

Обмеження пропускної спроможності третього цеху: .

Із практичних міркувань зрозуміло, що й .

Побудуємо граничні прямі, що відповідають записаним нерівностям:

Область, обмежена графіками й рамкою, є областю планів випуску деталей.

Економічні задачі, пов’язані з використанням рівнянь кривих другого порядку.

Задача 4.

Два однотипні підприємства A та B роблять продукцію з однаковою оптовою відпускною ціною m за один виріб. Однак автопарк, що обслуговує підприємство A, оснащений більш новими й потужнішими вантажними автомобілями. У результаті цього транспортні витрати на перевезення одного виробу становлять на 1 км: для підприємства A 10 грош. од., а для підприємства B – 20 грош. од. Відстань між підприємствами 300 км. Як територіально повинен бути розміщений ринок між двома підприємствами для того, щоб витрати споживача при навантажуванні виробів та їх транспортуванні були мінімальними?

Розв’язання.

Нехай S1 і S2 – відповідні відстані до ринку від пунктів A та B.

Тоді витрати споживачів становитимуть:

Знайдемо множину точок, для яких , тобто випадки розміщення ринку, коли :

; ;

Для споживача усередині побудованого кола вигідніше купувати в пункті В, поза колом – у пункті А, на колі – байдуже.

Задача 5.

При розробці плану замовлення путівок проведені дослідження потреб у путівках за туристичними маршрутами (q1) і путівках санітарно-курортного лікування (q2). У результаті регресивного аналізу отримана така залежність коштів, унесених за путівки, від числа путівок зазначених видів:

.

Побудувати карти байдужості.

Розв’язання.

Криві байдужості є лініями однакового рівня витрат U, що залежать від q1, q2.

Для побудови кривих байдужості варто виразити одне з благ через інше і рівень витрат, величина якого приймається за константу.

Підставляючи різні значення q1 при рівних значеннях U(q1, q2), можна одержати розрахункові точки й побудувати по них криві байдужості.

Через те що розміри q1 і q2 позитивні, дуги кривих розташовані тільки в першому квадранті системи координат.

_Нехай ,

Тоді для кожного значення U :

Результати побудови:

Задача 6.

Нехай у момент t = 0 почалося виробництво певного типу машин, які раніше не вироблялися. Випуск їх відбувається рівномірно за часом, річний обсяг продукції становить 1 млн. грош. од., а повний термін експлуатації машин дорівнює 10 рокам. Визначити вартість машинного парку (за відрахуванням суми зносу) на кінець t-року, припускаючи, що t[0,10]. Побудувати графік функції вартості.

Розв’язання.

Позначимо шукану вартість через y. Вартість машинного парку на кінець t-го року без урахування зносу становить t∙ 10⁶, але фактично вартість машинного парку менша унаслідок фізичного й морального зносу. Через те що машини були введені у виробництво не всі відразу, будемо вважати, що середній вік машин t/2. Вартість річного зносу машини дорівнює 1/10 її вартості. Тому в t-му році вартість зносу автопарку буде дорівнювати:

Таким чином, у t-му році фактична вартість буде дорівнювати: y(t):=10⁶·t–50000·t². Отже, функція залежності вартості машин від часу експлуатації є квадратичною, а її графік – парабола:

Анімація, що ілюструє процес побудови функції.

Задача 7.

А) Побудуйте графік функції f(x):=1. 2^-xsin(x), що залежить від параметра End:

End:= 20; X:=0,0.1..End.

Змініть значення параметра End:= 20 на End:= FRAME, задайте параметри змінної FRAME і створіть анімацію.

Б) Створіть анімацію для побудови полярного графіка функції r(x):=x, де x:=0,0.1..FRAME.

В)**Анімація «кулька, що скочується».

Задайте значення змінної x:=0..10, від якої залежить функція y(x) – функція, що описує пряму лінію, по якій буде скочуватися «кулька»,

y(x):=–2–х.

Щоб накреслити коло, необхідно розв’язати рівняння:

(x–x^c)² + (y–y^c)² = R²,

де R – радіус кола (нехай ); x_c, y_c – координати центра кола.

Центр кола буде рухатися по прямій , тому, якщо, наприклад,

x_c = t, то y_c. = – t.

Розв’язавши рівняння щодо y, одержимо дві функції: функція

визначає верхнє півколо, а

нижнє, де _–– змінна, яка визначає горизонтальну координату центрів кіл (розв’язати рівняння можна засобами MathCAD, – див. розділ «Розв’язання рівнянь», стор. 19).

Побудуємо графік кола на похилій прямій, наприклад, при t = 5:

Відформатуйте коло, встановивши однакові масштаби осей і непреривні лінії слідів (trace2, trace3) одного кольору. Підкорегуйте вертикальний розмір графіка.

Задайте параметр t у вигляді : і створіть анімацію, установивши границі зміни змінної FRAME від 0 до 28.

5. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

• Похідна;

• числове й символьне диференціювання;

• застосування похідних при розрахунку продуктивності праці, граничних витрат виробництва, еластичності, при аналізі виробничих функцій.

1. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Для обчислення похідної достатньо поставити функцію під знак

Цей знак уводиться або з панелі математичного аналізу, або за допомогою клавіші ? (англ. мовою).

2. ЧИСЛОВЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Для числового диференціювання:

• спочатку присвойте значення аргументу;

• потім уставте знак похідної та функцію, що диференціюється, й натисніть =.

3. Символьне ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Для символьного диференціювання можна запропонувати декілька способів:

А) уставити знак диференціювання та вираз, що диференціюється, і натиснути знак символьної рівності  (або з панелі інструментів Символіка, або за допомогою клавіатури: Ctrl+.);

Б) уставити знак диференціювання і вираз, що диференціюється, виділити увесь вираз (синім кутком) і вибрати меню Символіка / Обчислення / Символьно (або комбінацію клавіш Shift+F9);

В) надрукувати лише вираз, що диференціюється, виділити змінну, за якою диференціюємо, і вибрати меню Символіка / Змінна / Диференціювати.

Перший спосіб відрізняється від двох наступних тим, що вони вразливі до присвоєння значення змінній, що диференціюється. Якщо перед диференціюванням визначити значення змінної, то отримаємо числове значення похідної:

Цього ж результату можна досягти, використовуючи звичайний знак рівності:

Перевіримо:

Другий і третій способи видають похідну в символьному вигляді, навіть якщо перед цим змінній, що диференціюється, було присвоєне значення. Наприклад, присвоїмо х:=10 і викличемо команду Символіка / Обчислення / Символьно для виділеного виразу :

Приклад. Обчислити значення похідної третього порядку функції y(x)=sin⁵ x + ln x у точках х=3 та х=10. Побудувати графіки функції та її третьої похідної.