СтатистичНа Обробка даних
Апроксимація та інтерполяція;
лінійна інтерполяція;
кубічна сплайн-інтерполяція;
інтерполяція функції двох змінних;
регресія.
Апроксимація та інтерполяція
Дуже часто економічна інформація подається у вигляді набору деяких статистичних даних за певні періоди. Для аналізу цих даних часто виникає потреба визначити відсутні значення в проміжках між цими періодами або спрогнозувати розвиток подій на подальші періоди.
Для цих цілей статистичні дані варто апроксимувати, тобто побудувати деяку досить просту функцію, яка в зазначених точках буде приймати значення з наявного статистичного ряду. Тоді можна обчислити значення цієї функції між заданими точками (тобто зробити інтерполяцію даних) і за їх границями (екстраполяція).
MathCAD дозволяє провести апроксимацію даних за допомогою побудови лінійної функції і за допомогою кубічного полінома.
Лінійна інтерполяція
Лінійна інтерполяція дозволяє розрахувати проміжні значення за лінійною залежністю. Це означає з’єднання заданих точок ряду відрізками прямих. Для такої кусково-лінійної інтерполяції в MathCAD призначена функція linterp( ). Формат функції:
Linterp(vx,vy,x),
де vx, vy – вектори вихідних даних, причому дані мають бути упорядковані за зростанням, x – аргумент, для якого повертається значення y.
Приклад 1.
Є такі виробничі показники:
Кількість виробів |
12 |
13 |
14 |
16 |
17 |
18 |
25 |
26 |
28 |
Витрата ресурсу |
37 |
32 |
31 |
34 |
35 |
41 |
45 |
44 |
40 |
Потрібно провести лінійну інтерполяцію наявної залежності для того, щоб обчислити значення для х=15, х=20, х=30.
Розв’язання.
Тоді для побудованої функціональної залежності y(x) (кусково-лінійної) можна обчислити значення
Для цілей екстраполяції функція linterp( ) практично не призначена, тому значення в точці х = 30 обчислювати не будемо.
Кубічна сплайн-інтерполяція
Лінійна інтерполяція дає досить грубе наближення (особливо для невеликого числа точок). У вузлових точках спостерігаються різкі перегини, за границями області визначення функція непередбачена.
MathCAD надає можливість апроксимувати вихідні дані іншим способом – відрізками кубічних поліномів, – так звана кубічна сплайн-інтерполяція.
Кубічна сплайн-інтерполяція дозволяє провести через набір точок гладку криву так, щоб у цих точках були неперервні перша й друга похідні. Інтерполяція здійснюється у два етапи:
спочатку обчислюється вектор других похідних vs у точках, що розглядаються;
потім обчислюється значення функції в точці x за допомогою функції interp(vs,vx,vy,x).
Для обчислення вектора других похідних vs у MathCAD існує цілих три функції. Вони відрізняються одна від одної тільки граничними умовами:
cspline(vx,vy) наближає криву у вузлових точках до кубічного поліному;
pspline(vx,vy) наближає криву в опорних точках до параболи;
lspline(vx,vy) наближає криву в заданих точках до прямої.
Приклад 2. Інтерполюємо ті ж вихідні дані за допомогою кубічної сплайн-інтерполяції. Скористаємося для першого етапу функцією cspline(vx,vy):
Обчисліть другі похідні двома способами, що залишилися. Побудуйте для всіх трьох способів розрахунку вектора vs графіки відповідної кубічної сплайн-інтерполяції. Порівняйте візуально відмінності всіх трьох графіків.
Порівняйте також значення в точках х=15, 20, 30 для всіх трьох функцій, що утворилися:
Інтерполяція вектора точок.
Ми могли б побудувати інтерполяційну таблицю з однаковим кроком, використовуючи оператор векторизації. Наприклад, для розглянутої задачі нам потрібно укласти таблицю значень функції на інтервалі від 5 до 6.
Лінейне передбачення.
У MathCAD є функція predict(v, m, n), яка дозволяє зробити передбачення поведінки функції поза інтервалом її задання. Ця функція використовує лінійний алгоритм передбачення. Тут v – вектор даних, m – кількість послідовних точок вихідного вектора, що використовуються для передбачення (усі точки задані з однаковим кроком), n – кількість передбачуваних точок.
Подивимося, як за допомогою цієї функції можна передбачити значення для розглянутої задачі.
Функція використовує останні m точок, щоб обчислити коефіцієнти передбачення, після чого обчислює координати n точок вперед.