191

2. Уравнения фильтрования

Скорость фильтрования. Обычно ввиду небольшого размера пор в слое осадка и фильтровальной перегородке, а также малой скорости движения жидкой фазы в порах можно считать, что фильтрование протекает в лами- нарной области. Как показывает опыт, при таком условии скорость филь- трования в каждый данный момент прямо пропорциональна разности дав- лений, но обратно пропорциональна вязкости жидкости фазы и общему гидравлическому сопротивлению слоя осадка и фильтровальной пере- городки. Так как в общем случае в процессе фильтрования значения раз- ности давлений и гидравлического сопротивления слоя осадка с течением времени изменяются, переменную скорость фильтрования (м!сек) выра- жают в дифференциальной форме:

(IV

га

В соответствии с изложенным основное дифференциальное уравнение фильтрования имеет вид

йу Ар

Sdx (г (Rqc -j- /?ф_п)

(V.24)

где V—объем фильтрата, ж³; S—поверхность фильтрования, м^г\ т — продолжитель- ность фильтрования, сек\ Ар — разность давлений, «/-и²; |Л — вязкость жидкой фазы сус- пензии, н-сек/м²'. Roc — сопротивление слоя осадка; /?ф_п — сопротивление фильтроваль- ной перегородки.

Уравнение (V.24) является частным случаем более общего закона, в соответствии с которым скорость процесса прямо пропорциональна движущей силе и обратно пропорциональна сопротивлению (стр. 17). В данном случае разность давлений представляет собой движущую силу, а общее сопротивление складывается из сопротивлений осадка (|л/?_ос) и фильтровальной перегородки (|л/?ф_п). Оба указанные сопротивления являются сложными функциями многих переменных. Так, величина R_oe тем больше, чем меньше пористость осадка и больше удельная поверх- ность составляющих его твердых частиц; на величину R_oa влияют также размер и форма частиц (стр. 100).

Из уравнений (V,23) и (V,24) следует, что R_oc и /?_фп выражаются в м~^х. Величинув процессе фильтрования можно считать приблизи- тельно постоянной, пренебрегая некоторым возможным ее увеличением вследствие проникания в поры перегородки новых твердых частиц. Величина R_oc с возрастанием толщины слоя осадка изменяется от нуля в начале фильтрования до максимального значения в конце процесса.

Для интегрирования уравнения (V,24) необходимо установить зави- симость между сопротивлением слоя осадка и объемом полученного филь- трата. Учитывая пропорциональность объемов осадка и фильтрата, обо- значим отношение объема осадка к объему фильтрата через х_а. Тогда объем осадка будет равен x_QV. Вместе с тем объем осадка может быть выра- жен произведением h_0CS, где h_oc — высота слоя осадка в м. Следова- тельно,

XqV — Л_ос 5

откуда толщина равномерного слоя осадка на фильтровальной перегородке составит

_У

S

/(ОС = *о — (V.25)

Сопротивление слоя осадка можно выразить равенством

RОС = r₀h₀c = Г₀хо -у (V.26)

где г₀ — удельное объемное сопротивление слоя осадка, м~².

Гл. V. Разделение неоднородных систем

Из равенства (У,2С) следует, что величина г₀ характеризует сопротив- ление. оказываемое потоку жидкой фазы равномерным слоем осадка тол- щиной 1м.

Подставив згачепие Л⁵_СС из равенства (У,26) в уравнение (У,24), полу- чим >

= Г = ^ (У,27)

ьа т

Н' ^?о^хо 4* ^?фп ^

Нередко вместо х₀ используют отношение х_в массы твердых частиц, отложившихся на фильтровальной перегородке, к объему фильтрата, а вместо г_а применяют удельное массовое сопротивление осадка г_в, т. е. сопротивление, оказываемое потоку жидкой фазы равномерным слоем твердых частиц, отложившихся на,фильтровальной пере­городке в количестве 1 кг!м¹. Для перехода от объемных единиц к массовым достаточно в уравнении (У,27) заменить г₀х₀ на г_вх_&.

Приняв, что сопротивлением фильтровальной перегородки можно пренебречь (Н_фп — 0), с учетом равенства (У,25) из уравнения (У,27) найдем

Ар

\ih_0(:W

(V.28)

При (х = 1 н-сек/м², /г_ос = 1 м и V? = І місек величина г₀ = Ар. Таким образом, удельное сопротивление осадка численно равно разности давлений, необходимой для того, чтобы жидкая фаза с вязкостью * 1 н ■сек/м^г фильтровалась со скоростью 1 м/сек, сквозь слой осадка толщиной 1 м. Очевидно, что эта гипотетическая разность давлений, которая на практике не используется, должна быть очень велика. Для сильно сжимаемых осадков значение г₀ достигает 10¹² м~² и более.

Приняв V = 0, что соответствует началу фильтрования, когда и а фильтровальной перегородке еще не образовался слой осадка, из уравне­ния (У,27) получим

^фп '

(V,28a)

pW

При [х — 1 н-сек/м" и W = 1 м/сек величина Rф_П = Ар. Это означает, что сопротивление фильтровальной перегородки численно равно разности давлений, необходимой для того, чтобы жидкая фаза с вязкостью 1 н-сек/м² проходила сквозь фильтровальную перегородку со скоростью. 1 м/сек. Для ряда фильтровальных перегородок величина /?_фп имеет порядок 10^1и м~¹.

Уравнение фильтрования при постоянной разности давлений. При Ар = const и неизменной температуре для фильтра данной конструкции и выбранной фильтровальной перегородки все входящие в уравнение (V,27) величины, за исключением V и т, постоянны. Проинтегрируем это уравнение в пределах от 0 до У и от 0 до т:

V т

J ^ ( ГоХо + Я_фп) dV = J ApS dx (V,29)

или

v-

V₀x₀ -?>£- + ЦЯфпУ = ApSx

Разделив обе части последнего уравнения на \xr₀x₀/2S, окончательно получим

_V2 ₊ 2 R^S_ _{v = 2} Ap&_ ^ _(V^₃₀₎

T qXq f^Q*^Q

* Вязкость воды при 20° С равна 10'³ н-сек/м².

193

Уравнение (V,30) показывает непосредственно зависимость продолжи­тельности фильтрования от объема фильтрата; решая его относительно У, получим зависимость объема фильтрата от продолжительности филь­трования. Это уравнение применимо к несжимаемым и сжимаемым осадкам, поскольку при Ар = const величины г_а и х_а также постоянны.

Из уравнения (V,27) следует, что при Ло = const по мере увеличения объема фильтрата, а следовательно, и продолжительности фильтрования скорость фильтрования уменьшается.

Уравнение фильтрования ^ПР^И постоянной скорости процесса. Для фильтрования при постоянной скорости производную dV/dx можно заме­нить равным отношением конечных величин Vtx. После такой замены, решая уравнение (V,27) относительно Ар, находим

Д/> = ц/-₀х₀^г +ц/?_фп -Jrr V⁰''

Умножив и разделив первое слагаемое правой части этого уравнения на т и приняв во внимание, что постоянная скорость фильтрования

Г = -~ (V.32)

получим

\р = \nroXoWH + цЯфпй? (V, 33)

Уравнение (V,33) показывает, что при W = const разность давлений возрастает по мере увеличения продолжительности фильтрования.

Это уравнение применимо к несжимаемым осадкам; при использова­нии его для сжимаемых осадков следует иметь в виду зависимость удель­ного сопротивления осадка от разности давлений.

Уравнение фильтрования при постоянных разности давлений и ско­рости. Такой вид фильтрования осуществим, если чистая жидкость филь­труется сквозь слой осадка неизменной толщины при постоянной разно­сти давлений. Промывку осадка на фильтре способом вытеснения, когда над осадком находится слой промывной жидкости, можно рассматривать как фильтрование промывной жидкости сквозь слой осадка неизменной толщины при постоянных разности давлений и скорости.

Приняв в уравнении (V,27) в соответствии с равенством (V,25) вместо х₀У/5 эквивалентную этому выражению толщину слоя осадка на фильтре h_oc и заменив в упомянутом уравнении dV/dx на постоянное значение К/т, при Ар = const найдем

^Vz= ( (V'³⁴)

Ц (fohoc + #фп)

Это уравнение дает зависимость объема фильтрата от продолжитель­ности фильтрования чистой жидкости, в частности промывной жидкости. Поскольку в рассматриваемом случае Ар = const, уравнение (V,34) при­менимо для несжимаемых и сжимаемых осадков.

Наибольшая производительность фильтров. Из основного уравнения фильтрования (V,27) следует, что при прочих равных условиях скорость фильтрования тем больше и производительность фильтра тем выше, чем меньше объем полученного фильтрата или пропорциональная этому объему толщина слоя осадка на фильтровальной перегородке. Поэтому для повышения производительности фильтра необходимо стремиться к возможно быстрому удалению осадка с фильтровальной перегородки.

Для фильтров непрерывного действия это равносильно требованию удалять с фильтровальной перегородки слой осадка наименьшей толщины, обусловленной свойствами осадка и особенностями устройства, применяе­мого для его снятия с перегородки.

7 А. Г. Касаткин

Гл. V. Разделение неоднородных систем

Для фильтров периодического действия характерно, что операция уда­ления осадка вызывает прекращение фильтрования. Полный цикл работы на таком фильтре состоит из операций подготовки фильтра, загрузки суспензии, фильтрования, промывки осадка, продувки его и удаления. Фильтрование, промывку и продувку называют основными опе- пациями, причем продолжительность их возрастает с увеличением объема фильтрата или толщины осадка. Подготовку фильтрата, загрузку суспен­зии и удаление осадка объединяют как вспомогательные опе­рации, продолжительность которых в практических расчетах может быть принята независимой от объема фильтрата или толщины осадка.

Для увеличения производительности периодически действующего фильтра по основным операциям целесообразно как можно чаще повто­рять циклы его работы, подавая на фильтр по возможности небольшие порции суспензии. Однако частое повторение циклов работы фильтра обусловливает столь же частое повторение вспомогательных операций, когда основные операции прерываются. Отсюда следует, что в каждом случае существует такая оптимальная продолжительное^ цикла работы, при которой фильтр обладает наибольшей производительностью.

Найдем оптимальную продолжительность цикла работы на фильтре периодического действия для простого случая, когда операции промывки и продувки отсутствуют, а сопротивлением фильтровальной перегородки можно пренебречь, причем фильтрование производится при постоянной разности давлений.

Производительность фильтра можно выразить условной средней ско­ростью фильтрования W_yc„ (м/сек), которая получается от деления объема фильтрата, собранного за операцию фильтрования и отнесенного к еди­нице поверхности фильтрования, q (м³1м², или м) на продолжительность цикла т_ц, равную сумме продолжительностей основных т_осн (сек) и вспо­могательных т_всп (сек) операций.

Воспользуемся уравнением фильтрования при постоянной разности давлений (V,30). Приняв в нем, в соответствии с приведенными выше условиями, /?ф_П = 0, т = т_осн и <7 = V/S, после простых преобразова­ний найдем

<7 = V At ос (V.35)

где постоянная в данных условиях величина

А = —^Д^- (V.36)

fJ-Г о-^о

Используя значение q из равенства (V,35), на основании данного ранее определения условной средней скорости фильтрования можно написать

_г _ V Ахоса (V, 37)

^ГУСЛ“ Тосн + Твсп

Для нахождения максимального значения W_усл это уравнение следует продифференцировать по переменной величине т_осн и первую производ­ную приравнять нулю. После дифференцирования рассматриваемого уравнения и соответствующих преобразований будем иметь

dWусл УА_ (^ТВСП Tqch) (V.38)

<*Т_осн 2 V т_осн

(^тосн ^всп)⁸

Поскольку знаменатель правой части последнего уравнения не равен нулю

Твсп Тосн = О

ИЛИ

Тосн “ ^твсп (V.39)

195

При т_осн = т_всп вторая производная отрицательна. Таким образом, наибольшая производительность периодически действующего фильтра при условии, что сопротивлением фильтровальной перегородки можно пренебречь, достигается при одинаковой продолжительности основных и вспомогательных операций.

Установлено, что при значительном сопротивлении фильтровальной перегородки наибольшая производительность периодически действующего фильтра достигается при ^т'сн.> "Свсп- Так, при зтсутствии в цикле работы фильтра операций промывки и продувки применимо уравнение

В производственных условиях сопротивление фильтровальной перегородки может незакономерно изменяться от операции к операции в результате закупоривания ее пор тонкодисперсными твердыми частицами. Соответственно этому будет изменяться и опти­мальная продолжительность основных операций, отвечающая наибольшей производитель­ности фильтра. Это затрудняет практическое использование уравнения (V,40). Однако ана­литическим путем установлена закономерность, устраняющая указанное затруднение: для достижения максимальной производительности фильтра при переменном сопротивлении фильтровальной перегородки следует получать за один цикл всегда такой объем фильтрата, какой соответствует максимальной производительности фильтра при сопротивлении филь­тровальной перегородки, равном нулю.

Экономически оптимальная продолжительность цикла фильтрования.

Работа фильтров периодического действия при наибольшей производи­тельности обычно не совпадает с экономически целесообразными усло­виями фильтрования. Это связано с тем, что для достижения наибольшей производительности фильтра необходимо довольно часто производить вспомогательную операцию разгрузки осадка, которая, как правило, требует определенной затраты труда или энергии.

Рассмотрим приближенный, но практически применимый способ нахо­ждения экономически оптимальной продолжительности цикла фильтро­вания при постоянной разности давлений. Примем, что для некоторых условий работы фильтра величина А, вычисленная по уравнению (У,36), равна 1,266 -10 “ ® м²/сек, а т_всп = 600 сек. Воспользовавшись уравнением (У,37), определим для ряда значений т_осн в пределах 0—5000 сек соответ­ствующие величины №_усл, нанесем найденные таким образом точки на график в координатах т_осн—№_усп (рис. V-11) и соединим эти точки плав­ной кривой. Как и следовало ожидать, из указанного графика видно, что максимальное значение №_усл = 2,29 • 10~⁵ м/сек соответствует г_осн = = т_всп = 600 сек. Кроме того, из рассматриваемого графика видно, что кривая №_усл = / (т_осн) имеет сравнительно небольшой наклон вправо от максимума. Это позволяет, значительно увеличив продолжительность основных операций, обеспечить работу фильтра при достаточно высокой производительности. Так ,при увеличении т_осн от 600 до 3000 сек, в резуль­тате чего операции разгрузки осадка будут производиться в 5 раз реже, величина №_усл уменьшается от 2.29 • 10^{_ 5} до 1,72 -10“⁵ м/сек, т. е. только

Для фильтров периодического действия в качестве ориентировочной зависимости можно принять (при Ар — const и /?_фп = 0)

где т_э — экономически оптимальная продолжительность цикла, сек.

Определение постоянных в уравнениях фильтрования. Под постоян­ными в уравнениях фильтрования (У,30), (У,33) и (У,34) понимают отно­шение объема осадка к объему фильтрата х₀, удельное объемное сопротив­ление осадка г_а и сопротивление фильтровальной перегородки /?_фп. Для осадков, встречающихся в химических производствах и состоящих, как правило, из частиц размером менее 100 мкм, эти величины находят экспериментально.

(V.40)

на 25%.

^тэ — (4 — 6) Твсп

(V.4I)

Гл. V. Разделение неоднородных систем

Рассмотрим один из способов определения опытным путем, указанных величин в уравнении фильтрования при постоянной разности давлений IV,30), характеризующийся большой точностью получаемых результатов. Для этого преобразуем упомянутое уравнение к виду

Му + N

где

М = №^г°^х° г Д р$*

N —

ЛрБ

(У.42)

(У.43)

(У.44)

При постоянных температуре и разпостн давлений все величины, вхо- дящие в правые части равенств (¥,43) и (У,44), постоянны. Поэтому зна- чения М и N также постоянны, и уравнение (У,42) является уравнением прямой линии, наклоненной к горизонтальной оси под углом, тангенс

которого равен М, и отсекающей на оси ординат отрезок N. Для построения указанной прямой

‘‘ОСИ'

уел

Рчс. У-12. К определе­нию удельного сопротив­ления осадка и сопро­тивления фильтровальной перегородки.

в координатах V—т/1/ наносят ряд точек, на основании измеренных з опыте и соо^ ветствующих одно другому значений V

и т/У (рис. \М2). Затем по графику определяют величины М и N, после чего из равенств (У,43) и (У,44) вычисляют г₀ и /?_фп. Величину х₀ на- ходят в результате непосредственного измерения объемов осадка и фильт- рата.

Выполнив серию экспериментов при различных, но постоянных для каждого опыта разностях давлений, можно найти зависимость удельного объемного сопротивления сжи­маемого осадка от разности давлений. Установлено, что такая зависимость обычно выра­жается одним из следующих імгирических уравнений:

= г„ 'МГ г'₀+а (Ар)³",

(У.45)

(^46)

где г₀, г₀, 8 , Б , а, — постоянные, определяемые из опыта.

Величины 5' и 5" для встречающихся кя практике осадков обычно находятся в пре­делах 0—1, хотя в очень редких случаях они могут быть больше 1. Эти величины характе­ризуют степень сжимаем ости осадков и называются показателями сжимае­мости.