13. Гидродинамическое подобие

83

Полученный комплекс величин представляет собой производный кри­терий, который носит название критерия Галилея:

Р²ё

^аа = ~^ (П.87)

Умножая этот критерий на разность плотностей жидкости в различных

ее точках, выраженную в относительных единицах, — ~■.*?- (эта разность

является причиной возникновения конвективных токов), находят новый производный критерий — критерий Архимеда:

^Аг=-^^£--^£^ (11,88)

Если заменить симплекс ^р- пропорциональной ему относительной

разностью температур, более удобной для определения в опытах, то можно получить новый производный критерий, являющийся критерием тепло­вого подобия Грасгофа (см. главу VII).

Соблюдение равенства критериев ва или Аг необходимо при модели­ровании разных процессов, протекающих под действием силы тяжести.

Применение анализа размерностей в гидродинамике. Проиллюстрируем применение общих принципов анализа размерностей к частной задаче определения в общем виде перепада давлений при движении жидкости по трубопроводу.

Допустим, что дифференциальные уравнения, описывающие процесс (уравнения Навье—Стокса), отсутствуют. Известно лишь, что при уста­новившемся движении жидкости по прямой трубе перепад давлений Ар зависит от скорости жидкости да, ее плотности р и вязкости р., ускорения силы тяжести g, длины трубы I и ее эквивалентного диаметра

Таким образом, известна только функциональная зависимость общего вида:

Ар = !(ш. р, ц, g, I, й_э)

Пользуясь анализом размерностей, заменим эту функцию зависи­мостью между критериями подобия. В данном случае число переменных п = 7, число их единиц измерения (длины, времени и массы) т = 3. Тогда, согласно я-теореме, число безразмерных комплексов, описывающих процесс, должно быть равно (п — т) = 4.

Представим исходную функцию, по аналогии с уравнением (11,77), в степенном виде:

Д р — xnPp^z\i^ug^rl^sd^t_э

Единицы измерения в СИ и размерности величин, входящих в эту зависимость:

1⁴»1 = М«‘! - [тЗ£г] ~ ЫЫ “

[ъи] = [м/сек] = [ЬТ'¹]

[р] = [кг/м?] = [М^³]

м-^Н^ЬЫУ-^-¹¹⁴'

Ы = [м/сек?] =

[I] = [м] = [Ц

№1 = М = [Ч

Тогда аналогично уравнению (11,78)

£Ар] = [ш\^у [Р]^г М“ [яГ № К]'